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mercoledì 2 maggio 2012

Semplificazioni econometriche: l'equazione della massaia

Ovvero Una prima lezione di econometria di John Siegfried(1), o meglio ancora, partiamo da una delle equivalenze più semplici in assoluto, una di quelle che, per essere dimostrata, ha bisogno di un tomo intero, una di quelle che alla massaia non servono poi così tante complicazioni, la citatissima $1+1=2$. Ebbene, è possibile, con una serie di procedimenti successivi, scrivere questa famosissima equazione in modi via via più semplici. Come? Iniziamo!
Si parte con due ben note uguaglianze: \[1 = \ln e\] \[1 = \sin^2 q + \cos^2 q\] A queste due aggiungiamo anche la seguente serie: \[2 = \sum_{n_0}^\infty \frac{1}{2^n}\] e allora l'equazione della massaia possiamo così semplificarla: \[\ln e + \sin^2 q + \cos^2 q = \sum_{n_0}^\infty \frac{1}{2^n}\] Attenzione, adesso, che arrivano un paio di passaggi delicati: sia l'1 sia il numero di Nepero possono essere scritti in maniera più proficua come \[1 = \cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}\] \[e = \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\delta} \right)^\delta\] Usando queste ultime la nostra equazione della massaia assume una forma già molto più chiara e semplice dell'inizio: \[\ln \left ( \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\delta} \right)^\delta \right ) + \sin^2 q + \cos^2 q =\] \[= \sum_{n_0}^\infty \frac{\cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}}{2^n}\] A questo punto utilizziamo le nostre ultime carte che sono rappresentate dalla relazione $0! = 1$ e da una relazione matriciale. Invece, però, di utilizzare la relazione usata da Siegfried, che prevede di sfruttare il fatto che, data una matrice $X$ l'inversa della sua trasposta coincide con la trasposta della sua inversa, utilizziamo l'uguaglianza sui determinanti, ovvero \[\det X^T = \det X\] E così la nostra equazione della massaia raggiunge il massimo grado di chiarezza e semplicità! \[\ln \left ( \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( \left ( \det X^T - \det X \right )! + \frac{1}{\delta} \right)^\delta \right ) + \sin^2 q + \cos^2 q =\] \[= \sum_{n_0}^\infty \frac{\cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}}{2^n}\] Si possono utilizzare altri percorsi e altri metodi per semplificare l'equazione della massaia, ma resta certo che per il giovane econometrico questi saranno ovvi una volta che avrà compreso i principi di base.

(1) Siegfried, J. (1970). A First Lesson in Econometrics Journal of Political Economy, 78 (6) DOI: 10.1086/259717 (pdf via tumblr)

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