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martedì 19 giugno 2012

Il tetracontainer di Alexander Bell

Tony Smith ha realizzato una sorta di piccola stanzetta ispirata al tetraedro, un particolare poliedro, ma stando a quanto pubblicato su Tropolism, questa idea venne utilizzata a suo tempo già da Alexander Graham Bell:
Il tetraedro è, in generale, un poliedro costituito da quattro lati triangolari. Se descriviamo ciascuno dei suoi vertici con vettori del tipo $(x_i, y_i, z_i)$, dove $i = 1, \cdots, 4$, allora il volume del tetraedro è dato dal determinante: \[V = \frac{1}{3!} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1\\ x_2 & y_2 & z_2 & 1\\ x_3 & y_3 & z_3 & 1\\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}\] Se invece il tetraedro è regolare, possiamo legare in un'unica formula, il volume $V$, l'area $\Delta$ di ciascun triangolo e il raggio $R$ della sfera esterna (o circumsfera) al tetraedro(1, 2) \[6RV = \Delta^2\] Il tetraedro regolare, poi, è anche il solido platonico $P_5$
(...) con quattro vertici, sei lati e quattro facce triangolari equilatere uguali.
Le sue simmetrie sono un po' complesse, con 12 rotazioni possibili. Il gruppo tetraedrico è isomorfo con il gruppo simmetrico $S_4$, ovvero il gruppo di tutte le permutazioni di 4 elementi.
Il tetraedro è anche alla base dell'idea del Four corner project, sviluppato nel 1976 dall'artista David Barr, che aveva in mente di realizzare un tetraedro delle dimensioni della Terra in modo da racchiudere il nostro pianeta.
Il tetraedro, poi, possiamo trovarlo anche in chimica: metano, tetrossido di xenon, gli ioni perclorato, solfato, fosfato e altri ancora. E poi abbiamo anche qualcosa legato con la struttura dell'acqua:
The most common arrangement of liquid water molecules is tetrahedral with two hydrogen atoms covalently attached to oxygen and two attached by hydrogen bonds. Since the hydrogen bonds vary in length many of these water molecules are not symmetrical and form transient irregular tetrahedra between their four associated hydrogen atoms.(3, 4)

(1) Su Doc Manhattan wereatheist mi ha fatto notare che la formula che avevo originariamente pubblicato poteva essere sbagliata: \[6RV = \Delta\] Questa formula è, a un controllo dimensionale, errata. Infatti a sinistra dell'uguale abbiamo una distanza (il raggio) moltiplicata per una distanza al cubo (il volume), mentre a destra abbiamo una superficie, ovvero una distanza al quadrato.
Poiché la formula è tratta dagli articoli pubblicati su MathWorld(2), prima di scegliere la strada del fisico, quella cioè indicata dal controllo dimensionale, provo a dare un'occhiata a questo articolo, che si trova tra le fonti di MathWorld:
Staudt , K.G.C. von (1860). Ueber einige geometrische Sätze. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 88-89 DOI: 10.1515/crll.1860.57.88 (free version on Gottinger Digitalisierungszentrum)
E non trovando niente di definitivo (almeno non mi è sembrato), decido che la via del fisico deve essere quella giusta!
(2) MathWorld: Weisstein, Eric W. Tetrahedron; Jackson, Frank and Weisstein, Eric W. Regular Tetrahedron
(3) Wikipedia: Tetrahedral molecular geometry
(4) Mason, P.E. & Brady, J.W. (2007). “Tetrahedrality” and the Relationship between Collective Structure and Radial Distribution Functions in Liquid Water, The Journal of Physical Chemistry B, 111 (20) 5679. DOI: 10.1021/jp068581n

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