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mercoledì 12 dicembre 2012

Potenze del 12

Oggi è il 12/12/12 (accorciando il 2012 con 12) e allora viene immediatamente da pensare a un elevamento a potenza incredibile: 12^12^12
Il 12, poi, è un numero particolare, protagonista tra l'altro di quella che potremmo considerare come una sorta di disputa per il sistema metrico. Oggi, infatti, anche grazie alla rivoluzione francese (che al mondo ha dato tanto soprattutto in termini scientifici), si è diffuso il sistema metrico decimale, che a un certo punto aveva anche sostituito il sistema per contare il tempo: erano infatti stati realizzati degli orologi decimali in cui l'intera giornata era suddivisa in 10 ore lunghe ben 144 dei vecchi minuti duodecimali. Ogni ora era a sua volta suddivisa in 100 minuti, ciascuno lungo 86,4 dei vecchi secondi o ancora suddiviso in 100 dei nuovi secondi.
Questo sistema di contare il tempo non ebbe successo e si tornò alla usuale suddivisione del tempo in due porzioni di 12 ore ciascuna, e in un certo senso fu l'unica ma importante vittoria che il sistema duodecimale ottenne durante la riforma metrica della rivoluzione francese. Infatti il sistema decimale, prima di essere scelto per le ovvie ragioni di avere dieci dita, venne sfidato anche da altri sistemi metrici alternativi, tra cui quello a base 12, che viene spiegato molto bene nel video seguente:
Ti estimatori del sistema duodecimale ce ne sono molti in giro. Ad esempio la Dozenal Society of Great Britain vorrebbe sostituire il sistema decimale con quello duodecimale e in un breve pdf ne propone anche i vantaggi:
One advantage of using a base larger than ten is that numbers written in the larger base contain more. For example, the largest base ten number with five digits is 99999, while the largest base twelve number with five digits is EEEEE - and this, expressed in base ten, is 20736 - well over twice as much as the largest base ten number with five digits.
Using base twelve numeration an odometer with seven digits would register up to a total of E,EEE,EEE miles - or, in decimal terms, 35,831,807 miles, while a decimal one would only reach 9,999,999 miles.
Ovviamente c'è anche la tabella con le potenze del 12 confrontate con quelle del 10:
Uno dei principali contributori alla società duodecimale britannica è stato Arthur Fredrick Whillock. Scrive Roger Parsons sull'amico:
Even music provided an opportunity to look for patterns in nature, and underlying systems that suggested the practical virtues of base twelve. He loved to find order and to discover that nature was getting it right when humans were getting it so wrong. In his final weeks in Lincolnshire we were chatting about modelling patterns of seed germination in pyramidal orchids, and what ratios might account for the way they minimized competition and maximised their use of light.
Ed è molto interessante notare come in un lavoro di Daniel Levitin, poi confluito in uno dei suoi libri, Fatti di musica, si osservi che molti sistemi musicali di culture differenti si basano proprio sulla base-12, ovvero presentano 12 note:
Western musical tradition further subdivides the octave into 12 (logarithmically) equally spaced pitch classes. These repeat cyclically throughout the range of useable musical tones. An 'interval' is the distance between two tones. The smallest of these in the Western system is the semitone (1/12th of an octave), equivalent to adjacent keys on the piano. Tones an octave apart share certain perceptual features, and are often confused with one another; such 'octave equivalence' is a musical universal. The cyclical repetition, and the equal spacing of scale tones, enables 'transposition', the ability to play and recognize melodies regardless of their starting tone – it is the pattern of interval distances between the tones that defines the melody, not its absolute pitches. An exception is that the memory schemas for melodies held by AP possessors evidently include an integrated representation of absolute pitch levels that is impossible to separate from the interval information.
Many cultures and traditions have scales with fewer than 12 tones. Western classical music typically uses only seven of the 12 at a time (the 'diatonic scale') and a five-note ('pentatonic') scale is the basis of blues and rock music. No known cultures, however, have scales with more than 12 tones, perhaps because of cognitive processing limits(1)
Al di là del sistema metrico decimale, è interessante però notare come gli esseri umani siano in grado di utilizzare basi differenti per scopi differenti: si passa infatti dal sistema in base 10 che è utilissimo per la vita di tutti i giorni (avendo, noi, dieci dita nelle mani: ovviamente si può utilizzare un sistema a base 20, contando anche le dita dei piedi!) a quello in base 12 utilizzato per molta della musica che si ascolta in giro (il che rende il sistema probabilmente adatto per i calcoli mnemonici), ai sistemi in base 2 e 16 utilizzati in informatica.
E questo dimostra quanto sia matematica la mente degli esseri umani, contrariamente a quel che si dice in giro.

(1) Daniel Levitin, Susan Rogers (2005). Absolute pitch: perception, coding, and controversies Trends in Cognitive Sciences, 9 (1), 26-33 DOI: 10.1016/j.tics.2004.11.007 (pdf)

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