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giovedì 10 gennaio 2013

Estrazione approssimata di una radice

Concludiamo con questo post il trittico di traduzioni di articoli matematici tratti dal primo numero di "Annals of Mathematics". In questo caso è Henry Heaton che ci propone un algoritmo abbastanza semplice per estrarre una buona approssimazione le radici $n$-sime dei numeri naturali.
Questo metodo è basato sull'osservazione che la radice $n$-sima di un numero è uno dei suoi $n$ fattori uguali, la media di $n$ fattori approssimativamente uguali sarà una approssimazione della radice. Ad esempio, 2 è una prima approssimazione della radice quinta di 40, e quindi \[40 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2.5\] \[2.1 = \frac{1}{5} (2+2+2+2+2.5)\] è una approssimazione ancora più stretta. Questa può essere la base per una nuova approssimazione, e così via. Più in generale(3), se $x+h$ è la radice $n$-sima di $R$ \[\xi = \frac{(n-1)x + \frac{R}{x^{n-1}}}{n} = x + h + (n-1) \frac{h^2}{2x}\] che approssimativamente differisce dalla radice vera solo per una piccola quantità del secondo ordine. Quindi possiamo sempre prendere per $x$ il numero intero più vicino alla radice considerata, $h$ sarà una frazione propria minore di $\frac{1}{2}$, e l'errore commesso sarà inferiore di \[\frac{n-1}{8x}\] cioè, meno di $\frac{5}{4}(n-1)$ unità nell'$m$-simo decimale, dove $m$ è il numero di cifre di $x$.
La principale utilità del metodo sarà nell'estendere i limiti di applicazione delle usuali tabelle delle radici. Ad esempio, per trovare \[\sqrt[3]{3.141593}\] otteniamo da una tabella dei cubi 1.46 come prima approssimazione. Troviamo(1) \[3.141593 \div 1.46^2 = 1.47382\] \[\xi = 1.46461\] entro $2 \frac{1}{2}$ unità(2) sull'ultima cifra. La radice vera è 1.46459. La successiva approssimazione dovrebbe portare nove cifre, e così via.
(1) Forse avrò sbagliato io ad applicare la formula, ma trovo 1.46465
(2) Da leggersi come la notazione medievale: $2 + \frac{1}{2}$
(3) La prima formula per calcolare la radice approssimata $\xi$ era già stata proposta in Evans A. (1876). Extraction of Roots, The Analyst, 3 (1) 10-13. DOI: .
In questo caso, però, Evans non propone alcun metodo per valutare l'errore commesso, come invece fa Heaton, ma dimostra già l'accuratezza della formula. A titolo di esempio vi propongo il calcolo per la radice cubica di 37:
Poiché $3 \sqrt[3]{37} = \sqrt[3]{999}$ e $(10)^3 = 1000$ \[\frac{999}{3 \times (10)^2} + \frac{2}{3} \times 10 = 3.33 + 6 \frac{2}{3} = 9.996666\] e $9.996666 \times \frac{1}{3} = 3.3322222 = \sqrt[3]{37}$
Da confrontarsi con la radice vera, che è $3.3322218$.

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