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mercoledì 9 gennaio 2013

Soluzione di un'equazione quartica

L'equazione in questione è $x^4 + Ax + B = 0$ e la soluzione è quella proposta da A. M. Sawin sul primo numero di "Annals of Mathematics". E come avrete capito prosegue la serie (di tre) di traduzioni tratte da quello storico primo numero:
Dalle leggi di Harriot(1) deriviamo semplicemente le relazioni per le radici: \[x = -a, x = -b\] \[x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{-3a^2 + 2ab + 3b^2}\] da cui \[x^4 + (a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) x + (a^3b + a^2b^2 + ab^3) = 0\] \[A = a^3 + a^2b + ab^2 + b^3\] \[B = a^3b + a^2b^2 + ab^3\] Posto $y = a-b$, $z=a+b$, abbiamo \[z^3 + zy^2 = 2A\] \[3z^4 - 2z^2y2 - y^4 = 16B\] Eliminando $y$ otteniamo il risolvente cubico(2) nella forma \[z^6 - 4Bz^2 - A^2 = 0\] da cui può essere trovato $z$. Allora troviamo $y$ dalla relazione \[y^2 = \frac{2A}{z} - z^2\] e calcolando $a$ e $b$, possiamo formare in una volta le quattro radici. La forma dell'equazione è interessante per la sua occorrenza in occasionali problemi sulla resistenza dei materiali e nell'ingegneria idraulica.
[La combinazione delle radici qui utilizzata è stata impiegata per la prima volta da Bette in una oscura dissertazione (Neue Auflosung der biquadratischen Gleichungen, 1854). La forma del risolvente ottenuta è quella dovuta a Cartesio. - ED.]
Sawin A.M. (1884). Solution of the Quartic Equation, x 4 + Ax + B = o, The Annals of Mathematics, 1 (1) 14. DOI:
(1) Thomas Harriot è uno degli scienziati britannici più importanti, ma al tempo stesso uno dei meno noti. Ad esempio come astronomo anticipò Galileo Galilei nell'uso del telescopio come strumento di osservazione delle stelle.
Si possono trovare una serie di articoli e biografie, come quella di Anna Faherty o quella sul classico MacTutor. La sua opera principale in campo matematico è l'Artis Analyticae Praxis, ad aequationes algebraicae nova methodo resolvendas: definito lavoro essenziale nella storia dell'algebra, potete trovare una traduzione dal latino in inglese di Ian Bruce.
Riguardo le leggi di Harriot, ho trovato quella sui segni:
(2) Per risolvere un'equazione cubica, potete dare un'occhiata alla brevissima guida sul sito del Goddard, oppure c'è la guida molto completa di Timothy Gowers, o anche una sorta di via di mezzo su tricki.org. Ovviamente per vedere le soluzioni dell'equazione di cui sopra, c'è Wolfram Alpha.

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