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venerdì 15 marzo 2013

Una (sempre troppo) breve storia del pi greco

Mi sembrava giusto estrarre le "notizie pi greche" che ho disseminato all'interno del Carnevale #59 e dedicare loro un post apposito, come ho fatto su Doc Madhattan. A maggior ragione mi sembrava giusto perché in questo modo mi posso sentire più libero di inserire gli script di aggregazione (automatica su Mathblogging e manuale su Researchblogging). E quindi ecco il motivo di un post che, in parte, è un doppio di quanto già scritto sempre qui:

Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics
Come sapete il $\pi$ è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. Questo numero, che è trascendentale, visto che è impossibile ottenere contemporaneamente circonferenza e diametro interi, era, a quanto pare, noto fin dall'antichità. Ci sono, infatti, alcuni egittologi che ritengono che $\pi$, o forse $\tau = 2 \pi$ era loro noto, visto che il rapporto tra il perimetro e l'altezza della piramide di Giza, costruita tra il 2589 e 2566 a.C., è di 6.2857.
Non ci sono prove esplicite del fatto che, all'epoca, la matematica egiziana fosse venuta a conoscenza di un numero come il $\pi$, però, tra i 600 e i 1000 anni più tardi su una tavoletta babilonese viene geometricamente stabilito il primo valore di $\pi$: $25/8 = 3.1250$. Da documenti redatti più o meno nello stesso arco di tempo si deduce poi che anche gli egiziani erano arrivati al calcolo del valore di $\pi$, ottenendo $(16/9)^2 ≈ 3.1605$.
La matematica indiana, invece, sembra leggermente in ritardo, visto che nel 600 a.C. nelle Shulba Sutras, si calcola per $\pi$ un valore di $(9785/5568)^2 \simeq 3.088$, che verrà successivamente aggiornato nel 150 a.C. come $\sqrt{10} \simeq 3.1622$, che è un valore molto più vicino a quello calcolato dagli egiziani.
Un valore molto vicino a quello oggi noto è invece quello calcolato da Rabbi Nehemiah nel suo trattato geometrico Mishnat ha-Middot, dove, correggendo il valore presente in un passo della Bibbia che indicava in 3 il valore del $\pi$, trova $3 + 1/7 \simeq 3.14286$.
L'approssimazione però più stupefacente non solo per la precisione ma soprattutto per il metodo è quella proposta da Archimede, il matematico italo-greco che ideò il metodo dei poligoni per calcolare quella che per un millennio divenne nota semplicemente come la costante di Archimede. Il nostro, semplicemente, calcolò il perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza data, ottenendo così una stima inferiore e una superiore al valore della costante: \[223/71 < \pi < 22/7\] ovvero \[3.1408 < \pi < 3.1429\] E' evidente che questo metodo di calcolo è estremamente moderno e soprattutto suggerisce come Archimede fosse ben conscio della natura trascendentale della costante, che poteva essere conosciuta solo attraverso delle approssimazioni.
Oggi il pi greco è noto fino a 5 trilioni di cifre (se non ce la fate ad andare così lontano, c'è il primo milione sul sito del Pi Day) e se provate a digitare il simbolo di $\pi$ sulle moderne calcolatrici scientifiche, il valore che esse vi forniscono è, per le prime cifre decimali, 3.14159265...

3.1416? di Thaves via Bamdad's Math Comics
Calcolarele cifre del $\pi$ è, in un certo senso, una sottile arte matematica, che combina la tecnica degli algoritmi iterativi con la più sottile tecnica delle serie convergenti. Ad esempio il raggiungimento dell'ultimo record di 5 trilioni di cifre è stato possibile grazie alla formula dei Chudnovsky \[\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}\] Oltre questa formula, Alexander J. Yee e Shigeru Kondo, i detentori del record, hanno anche utilizzato come controllo la formula di Plouffe, nota anche come formula di BaileyBorweinPlouffe \[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)\] e la formula di Bellard \[\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left (-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}\right.\] \[\left.-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\right )\] Interessante notare come tutte queste serie si basino, in un modo o nell'altro, sulle serie sviluppate a partire dal 1914 dal matematico indiano Srinivasa Ramanujan. Questa è solo una delle più note e delle più rapide: \[\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k!) (1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\] Esistono, poi, un altro paio di serie interessanti su cui spendere un paio di parole. Innanzitutto c'è la curiosa serie di Gregory, che ha lo spiacevole difetto di sbagliare poche cifre sparse in tutto lo sviluppo, ad esempio 6.a, 11.a, 12.a, 23.a, ... Tutte le altre, invece, sono corrette! \[\pi = 4 \sum_{k=1}^{500000} \frac{(-1)^{k-1}}{2k - 1}\] Invece Stanley Rabinowitz e Stan Wagon propongono la seguente serie \[\frac{\pi}{2} = \sum_{i=0}^\infty \frac{i!}{(2i+1)!!}\] dove $k!!$ è il prodotto di tutti i numeri dispari fino a $k$.

It's a fractal! su Super Glitch
Scrive Aaron Klebanoff:
L'insieme di Mandelbrot è probabilmente uno dei più begli insiemi in matematica. Nel 1991 Dave Boll scoprì la sorprendente occorrenza del numero $\pi$ mentre esplorava una proprietà dell'insieme di Mandelbrot apparentemente non collegata. La scoperta di Boll è semplice da descrive re e comprendere ma non è ancora nota, probabilmente a causa del fotto che il risultato non è stato rigorosamente dimostrato.
Boll è uno studente di informatica presso la Colorado State University e si interessa di frattali. E proprio giocando con i frattali si imbatte nella sua curiosa scoperta. Il giovane, infatti, cerca di capire se l'insieme di Mandelbrot si restringe in maniera infinita e così, dato un numero piccolo $\varepsilon$ a piacere, calcola il prodotto tra $\sqrt{\varepsilon}$ e il numero di iterazioni $N (\varepsilon)$ necessarie per l'orbita nulla. E questo prodotto, per $\varepsilon$ sempre più piccolo, coincide con $\pi$! \[\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \sqrt{\varepsilon} N(\varepsilon) = \pi\] Klebanoff, a questo punto, prova a dimostrare rigorosamente la scoperta di Boll, che è stata diffusa attraverso il sito internet di quest'ultimo:
Piuttosto che tentate di completare la dimostrazione del percorso verticale Boll, facciamo qualcosa di molto più semplice. Congetturiamo che ci siano infiniti percorsi di questo genere per ognuna delle infinite punte di $M$.
In questo modo Klebanoff dimostra la congettura di Boll, mettendola anche alla prova utilizzando il calcolo numerico.
Si conclude così, quindi, il breve viaggio nella storia del $\pi$. Per maggiori approfondimenti, c'è il Carnevale #59!
Chudnovsky D.V. (1989). The Computation of Classical Constants, Proceedings of the National Academy of Sciences, 86 (21) 8178-8182. DOI:
Bailey D., Borwein P. & Plouffe S. (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants, Mathematics of Computation, 66 (218) 903-914. DOI:
Fabrice Bellard. Computation of the $n-th$ digit of pi in any base in $O(n^2)$
Borwein J.M. & Borwein P.B. (1988). Ramanujan and Pi, Scientific American, 258 (2) 112-117. DOI: (pdf)
Borwein J.M., Borwein P.B. & Dilcher K. (1989). Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, The American Mathematical Monthly, 96 (8) 681. DOI: (pdf)
Rabinowitz S. & Wagon S. (1995). A Spigot Algorithm for the Digits of π, The American Mathematical Monthly, 102 (3) 195. DOI: (pdf)
Dave Boll, Pi and the Mandelbrot set
Klebanoff A. (2001). π in the Mandelbrot set, Fractals, 09 (04) 393-402. DOI:


Pi-links: Pi su en.wiki | Digits of Pi | Pi to 1,000,000 places

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