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giovedì 4 aprile 2013

Limiti logaritmici

Questa mattina, alla quinta, ho proposto lo studio della seguente funzione, tratta da MatePratica: \[f(x) = (x+1) \log (x+1) - 2\] Più che allo studio della funzione in sé, ho poi cercato di puntare l'attenzione su un paio di punti. Il primo è legato agli asintoti obliqui. La teoria dice che esistono asintoti obliqui se il limite \[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\] esiste ed è un numero finito qualsiasi.
Ho allora proposto ai ragazzi questi due esercizi:
(1) Trovare $n$ naturale tale che \[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^n}\] esiste ed è un numero finito.
(2) Mostrare che, per trovare l'asintoto obliquo si possono indifferentemente utilizzare il limite di definizione o il limite seguente: \[\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)\] dove $f'(x)$ è la derivata prima della funzione.
Se in (1) bisogna solo fare un po' di conticini, il (2) lo si risolve con un unico passaggio, del quale non chiedo dimostrazione del teorema utilizzato per completare la dimostrazione stessa.

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