Network Bar

venerdì 24 gennaio 2014

Un problema matematico: le equazioni di Navier e Stokes

In meccanica dei fluidi, le equazioni di Navier-Stokes, sviluppate da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes, descrivono il moto di un fluido nello spazio. Data la sua velocità $\vec{v}$, la sua pressione $p$, e la viscosità cinematica $\nu$, in presenza di una forza esterna $\vec{f}$, il moto delle particelle del fluido può essere descritto dalla seguente equazione differenziale vettoriale: \[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + ( \vec{v} \cdot \vec \nabla ) \vec{v} = -\vec \nabla p + \nu \Delta \vec{v} +\vec{f}(\vec{x},t)\] Il problema è che, per ottenere delle soluzioni di questa equazione bisogna introdurre delle approssimazioni, che semplificano la ricerca delle stesse: ad esempio una delle maggiori difficoltà è determinare le soluzioni in presenza di turbolenze. A questo problema, soprattutto di natura fisica, va aggiunto un altro problema, di natura matematica: la difficoltà nel dimostrare, date le condizioni iniziali, l'esistenza di soluzioni continue delle equazioni. Date queste difficoltà, il Clay Mathematics Institute inserì questo nella lista dei sette Problemi del Millennio:
In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.(7)
Se l'inserimento del problema nella lista ha certamente aumentato l'interesse intorno ad esso, la ricerca delle soluzioni più generali possibili delle equazioni ha una sua storia pregressa, come ricorda Mukhtarbay Otelbayev(1), matematico kazako che sembra sia riuscito finalmente a risolvere completamente le equazioni. In particolare l'aspirante solutore segnala il lavoro della matematica russa Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, che nel 1958(2) dimostrò l'esistenza e l'unicità di soluzioni a lungo termine delle equazioni di Navier-Stokes in due dimensioni, introducendo la disuguaglianza che porta il suo nome; e del matematico francese Roger Temam(4). Altro lavoro importante e fondamentale per Otelbayev è quello di Eberhard Hopf(4) che ha generalizzato per dimensioni superiori a 3 un risultato di Jean Leray(5), che dimostrò l'esistenza di soluzioni deboli per $t > 0$, dove la soluzione al tempo zero è sommabile al quadrato(6). La soluzione ha però un suo limite di validità, ma, come suggerisce il matematico kazako, il limite determinato da Hopf quando la dimensione è non meno di tre è insufficiente per applicare un qualunque metodo perturbativo ed è questa, secondo Otelbayev, la vera ragione per cui la ricerca di una soluzione forte per le equazioni di Navier-Stokes è diventato un Problema del Millennio.
Con questa idea in testa, sviluppata nel corso di decenni (basta guardare la bibliografia, dove sono inseriti molti lavori di Otelbayev stesso(1)), il nostro riduce la dimostrazione dell'esistenza di tali soluzioni alla dimostrazione di un nuovo limite di validità per le soluzioni stesse(1).
E' evidente che, prima di essere certi che la soluzione sia effettivamente arrivata, bisogna attendere il vaglio dei revisori del Clay Mathematics Institute, un lavoro che è inevitabilmente complicato dal fatto che l'articolo, a parte l'ultima pagina, non è in inglese, ma in cirillico.
Approfondimenti sulle equazioni di Navier-Stokes: mathworld.wolfram.com, Localisation and compactness properties of the Navier-Stokes global regularity problem di Terrence Tao
Riguardo la notizia che ha ispirato il post può essere utile dare anche un'occhiata alla discussione su math.stackexchange.com
(1) Mukhtarbay Otelbaev (2013). "The existence of a strong solution to the Navier-Stokes equations". Mathematical Journal Vol 13, Num 4 (50) (pdf - traduzione in inglese in corso di Mikhail Wolfson
(2) Ladyzhensakya, O. A. (1958). "Global solvability of a boundary value problem for the Navier–Stokes equations in the case of two spatial variables". Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR 123 (3): 427–429
(3) Vedi, per esempio, Navier-Stokes equations: Theory and numerical analisys (pdf)
(4) Hopf E. (1950). Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. Erhard Schmidt zu seinem 75. Geburtstag gewidmet, Mathematische Nachrichten, 4 (1-6) 213-231. DOI:
(5) Leray J. (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Mathematica, 63 (1) 193-248. DOI: (pdf)
(6) Calderón C.P. (1990). Existence of weak solutions for the Navier-Stokes equations with initial data in $L\sp p$, Transactions of the American Mathematical Society, 318 (1) 179-200. DOI:
(7) In uno spazio tridimensionale e nel tempo, data una velocità iniziale di campo, esiste un vettore velocità e un campo dio pressione scalare, che sono entrambi continui e globalmente definiti, che risolvono le equazioni di Navier-Stokes.

Nessun commento:

Posta un commento