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venerdì 11 aprile 2014

La serie infinita del triangolo aureo

Un triangolo aureo è un triangolo isoscele in cui il rapporto tra uno dei lati uguali con la base è pari alla sezione aurea $\varphi$. Utilizzando un triangolo aureo di lato 1, è possibile dimostrare che \[1 + \frac{1}{\varphi^2} + \frac{1}{\varphi^4} + \cdots = \varphi\] \[\frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi^3} + \cdots = 1\] \[\frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi^2} + \frac{1}{\varphi^3} + \cdots = \varphi\]
Il triangolo aureo qui sopra è lo screenshot della applet realizzata da Irina Boyadzhiev e ispirata alla dimostrazione senza parole di Steven Edwards.
Edwards S. (2014). Proof Without Words: An Infinite Series Using Golden Triangles, The College Mathematics Journal, 45 (2) 120-120. DOI: (twitter)

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