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sabato 12 luglio 2014

I numeri primi e la ricerca delle fondamenta

Nel momento in cui affermiamo che un dato numero è primo, ovvero nel momento in cui affermiamo matematicamente che
$n$ è un numero primo
stiamo, in effetti, affermando che $n$ è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per l'unità. Questa definizione può però essere ulteriormente ridotta come segue(1):
$n$ è un numero naturale e, presi comunque due numeri naturali $h$ e $k$, se $n$ è $h \cdot k$, allora $h$ o $k$ è 1.
E' chiaro, in questo caso, che il senso di riduzione per una definizione matematica va nella direzione del non utilizzare notazioni che necessitano di ulteriori definizioni, ovvero una ricerca delle basi fondamentali della matematica, di un linguaggio irriducibile che permetta di descriverla(1), possibilmente in maniera completa. In quest'ordine di pensieri, è evidente che la nuova definizione di numero primo non è ancora sufficientemente ridotta. Sono infatti molti gli elementi che possono essere ridotti ai loro minimi termini, partendo dal prodotto tra $h$ e $k$. Il modo usuale per arrivare alla definizione fondamentale di numero primo è passando attraverso la teoria degli insiemi, quella sviluppata da Georg Cantor, che diventa, quindi, il linguaggio fondamentale della matematica(2).
All'interno di questo contesto, la definizione di numero primo è(1):
Scritta così, perde sicuramente di chiarezza, ma ha il vantaggio di utilizzare esclusivamente un vocabolario fondamentale, lasciando quindi la sensazione che
(...) tutta la matematica possa essere riscritta nel vocabolario della teoria degli insiemi.(1)
Il problema è che si scoprì relativamente presto che la teoria degli insiemi è meno solida della matematica, che si fonda su di essa. La storia, infatti, è nota: nel 1901 Bertrand Russell scoprì il paradosso che porta il suo nome(1):
Esiste almeno un $y$ tale che per ogni $x$, $x \in y$ se e solo se non $x \in x$
peccato che tale affermazione non sia dimostrabile. Da un punto di vista divulgativo, però, il paradosso è equivalente al famoso paradosso del barbiere (ispirato a un altro paradosso simile, ideato da Lewis Carroll), o, in una reinterpretazione vignettistica, il paradosso del postino(3):
Forse il vero punto nel processo di esame e discussione della teoria degli insiemi cantoriana attraverso i paradossi è che, generalizzando, nessuna altra teoria degli insiemi alternativa può considerarsi esente dall'esistenza (o dalla generazione) di paradossi. La ricerca dei fondamenti della matematica ha, infatti, stimolato la ricerca di teorie degli insiemi alternative a quella che è oggi la teoria degli insiemi standard, tutto con l'obiettivo di costruire (o scoprire) delle fondamenta solide, il più complete possibile per la matematica. Il punto cruciale, dimostrato nel 1931 da Kurt Godel(5) è che:
Non c'è nessuna speranza di trovare una procedura di dimostrazione abbastanza forte da permettere di ottenere tutte le verità della matematica classica, o anche solo quelle dell'aritmetica, e da escludere tutte le proposizioni false.(1)
In pratica Godel introduce all'interno del linguaggio matematico le proposizioni indecidibili, ovvero di cui non è possibile dimostrare la verità o la falsità. Ciò, però, ha stimolatoi matematici, forse ancor di più della scoperta del paradosso di Russell, a scoprire nuove teorie degli insiemi e quindi una struttura assiomatica differente rispetto a quella standard, che si basa sulla famosa ipotesi del continuo di Cantor e sull'assioma (o teorema) della scelta(6) di Zermelo e Fraenkel(2).
Seguendo il parallelo tra teoria degli insiemi e geometria proposto da Cohen e Hersh(2), l'assioma della scelta gioca un ruolo non troppo diverso dell'assioma della parallela nella geometria euclidea. Quest'ultimo, infatti, pur restando un assioma per la geometria che impariamo a scuola, ha permesso di aprire la strada alla geometria non euclidea nel momento in cui non lo si considerava più un assioma fondamentale: in un certo senso è proprio quello che hanno fatto matematici come Gauss o come il suo allievo Riemann, o ancora a Janos Boylai o a Nikolai Ivanovic Lobacevskij, ovvero negare il postulato della parallela scoprendo così geometrie che erano altrettanto consistenti della geometria euclidea(2).
Se, dunque, accostiamo l'assioma della scelta con quello della parallela, possiamo definire come teoria degli insiemi ristretta la teoria standard senza l'assioma di scelta. All'interno della versione ristretta, Godel, nel 1938(7), dimostrò che se la teoria ristretta è consistente, lo è anche quella standard, o detto in termini più espliciti, che qualunque inconsistenza sia presente nella teoria standard non dipende dall'assumere vero o meno l'assioma di scelta. E lo stesso discorso vale anche per l'ipotesi del continuo(2).
E' a questo punto che si inserisce il lavoro di Cohen del 1963(8, 9): se Godel fu in grado di dimostrare che l'ipotesi del continuo non è refutabile, ora Cohen, all'interno della teoria ristretta, è riuscito a dimostrarne la non dimostrabilità. Procediamo, però, con ordine: innanzitutto Godel, partendo dagli assiomi della teoria degli insiemi ristretta, utilizzò gli insiemi costruibili, un concetto mutuato dalle macchine di Turing, ovvero insiemi costruiti per passi successivi, riuscendo a dimostrare all'interno di questa teoria degli insiemi costruibili sia l'assioma della scelta, che in questo caso diventa teorema della scelta, sia l'ipotesi del continuo(2).
Cosa succede se, invece, si nega l'assioma di scelta all'interno della teoria ristretta? Questa resta ancora una teoria consistente?
Per rispondere a queste domande, il modo di procedere di Cohen è semplice: introdurre nella teoria di Godel un insieme non costruibile e da questo generare, utilizzando le usuali operazioni della teoria degli insiemi, altri insiemi non costruibili(2). In effetti basta un unico insieme $a$ non costruibile: il solo problema è far in modo che questo $a$ non abbia proprietà fastidiose tali da alterare il modello di partenza. Solo in questo modo si riesce a costruire un modello non cantoriano consistente che, non basandosi più sulla costruibilità, permette di inserire tra gli insiemi dei numeri naturali e dei numeri reali un insieme con cardinalità intermedia.
Tutto questo discorso, dal gusto apparentemente filosofico(4), apre le porte a strutture assiomatiche che, come le geometrie non euclidee, restando comunque consistenti, consentirebbero delle descrizioni differenti della realtà, magari anche matematicamente più semplici. In un certo senso si potrebbero vedere i risultati di Godel e Cohen come l'apertura delle porte verso un multiverso matematico dentro il quale si può saltare a piacere in base agli usi e alle necessità, sapendo perfettamente che, mantenendo saldo il rigore matematico dovuto agli assiomi utilizzati, la teoria in uso è valida tanto quanto quella standard.
(1) Quine, W. V. (1964). The Foundations of Mathematics Scientific American, 211 (3), 112-127 DOI: 10.1038/scientificamerican0964-112
(2) Paul J. Cohen, & Reuben Hersh (1967). Non-Cantorian Set Theory Scientific American, 217 (6), 104-116 DOI: 10.1038/scientificamerican1267-104
(3) Howard DeLong (1971). Unsolved Problems in Arithmetic Scientific American, 224 (3), 50-60 DOI: 10.1038/scientificamerican0371-50
(4) In effetti, da un punto di vista filosofico, è lo stesso Godel a proporre un inestricabile dilemma:
o la matematica è incompletabile in questo senso: che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, vale a dire, la mente umana (perfino nell'ambito della matematica pura) supera infinitamente la potenza di ogni macchina finita, oppure esistono problemi diofantei del tipo indicato assolutamente insolubili (e il caso che ambedue i termini del dilemma siano veri non è escluso, così che ci sono a rigore, tre alternative).
Godel, riferendosi a problemi diofantei si riferisce a:
sia $P (x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m)$ un polinomio a coefficienti interi nelle $n+m$ variabili $x_1, \cdots, x_n$, $y_1, \cdots, y_m$, e considerando le $x_i$ come incognite e le $y_i$ come parametri. Allora il problema è: l'equazione $P=0$ ha soluzioni intere per ogni scelta di valori interi per i parametri, oppure esistono valori interi dei parametri per i quali l'equazione non ha soluzioni intere?
Ogni assioma della teoria degli insiemi può essere associato con un differente polinomio $P$, per cui un assioma diventa decidibile se lo si può associare a un problema diofanteo risolubile.
Kurt Gödel (1951), Some basic theorems on the foundations of mathematics and their philosophical implications, da Kurt Gödel, Collected Works, edito da Solomon Feferman, Oxford University Press (1995)
(5) Kurt Gödel (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I Monatshefte für Mathematik und Physik, 38-38 (1), 173-198 DOI: 10.1007/BF01700692
Versione in inglese, On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems (pdf) nella traduzione di Martin Hirzel, 27 novembre 2000
(6) Zermelo, E. (1904). Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann Mathematische Annalen, 59 (4), 514-516 DOI: 10.1007/BF01445300
(7) Kurt Gödel (1938). The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis Proceedings of the National Academy of Sciences, 24 (12), 556-557 DOI: 10.1073/pnas.24.12.556
(8) Paul J. Cohen (1963). The independence of the continuum hypothesis Proceedings of the National Academy of Sciences, 50 (6), 1143-1148 DOI: 10.1073/pnas.50.6.1143
(9) Paul J. Cohen (1964). The independence of the continuum hypothesis, II Proceedings of the National Academy of Sciences, 51 (1), 105-110 DOI: 10.1073/pnas.51.1.105
Gli articoli (1), (2), (3) consultati sono tratti da Verità e dimostrazione. Questioni di matematica (1978), volume della serie Letture da Le Scienze
L'articolo (4) è stato consultato da Kurt Gödel. Scritti scelti (2011) della Bollati Boringhieri
La vignetta sul paradosso del postino è di Bernarda Bryson

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