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giovedì 17 luglio 2014

Matematica automobilistica: curve di Bézier e metodo della continuazione

E' interessante osservare come fino a una trentina di anni fa almeno l'industria automobilistica, almeno quella non italiana, aveva nella matematica una delle linee di ricerca fondamentali. In particolare ci sono due esempi cui sono incappato recentemente, le curve di Bézier e il metodo della continuazione.
Iniziamo con le prime: le curve di Bézier sono delle particolari curve parametriche sviluppate dall'ingegnere Pierre Bézier per la Renault da utilizzare per il design delle sue vetture. La matematica dietro queste curve prende le mosse dall'algoritmo sviluppato dal matematico francese Paul de Casteljau, che tra l'altro utilizzò questo metodo per conto, guarda un po' il caso, della Citroen. Oltre alle curve, però, si possono realizzare anche le superfici di Bézier, che insieme sono uno strumento importante nel mondo della computer graphics. Le curve vengono definite a paritre da due o più punti di controllo opportunamente ordinati. Detto $P_0$ il punto iniziale e $t \in [0,1]$ il parametro, le curve di Bézier possono essere definite o in modo ricorsivo \[B_{P_0} (t) = P_0\] \[B(t) = B_{P_0 P_1 \cdots P_n} (t) = (1-t)B_{P_0 P_1 \cdots P_{n-1}} (t) + t B_{P_0 P_1 \cdots P_n} (t)\] sia in maniera esplicita \[B (t) = \sum_{i=0}^n b_{in} (t) P_i\] dove $b_{in}$ sono i polinomi di Bernstein, così definiti \[b_{in} (t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\] per $i = 0, \cdots, n$.
Ovviamente si possono distinguere tra vari tipi di curve, partendo da quella lineare, ovvero un segmento tra due punti $P_0$, $P_1$, e quelle di ordine successivo (quadratica, tre punti; cubica, quattro punti; e così via)


Le superfici, invece, sono rappresentate da funzioni a due parametri, generalmente $u, v \in [0,1]$: \[p(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m b_i^m (u) b_j^n (v) b_{ij}\] con $b_{ij}$ i punti di controllo della superficie.
Approfondimenti sulle curve di Bézier
Articoli su curve e superfici di Bézier si possono trovare su MathWorld e Encyclopedia of Mathematics. Interessante, ben approfondito è sicuramente From Bézier to Bernstein di Bill Casselman per la American Mathematical Society. Estremamente dettagliato è poi A Primer on Bézier Curves.
Sull'uso delle superfici di Bézier nella grafica computerizzata, potete dare un'occhiata a Free-form deformation of solid geometric models (pdf) di sederberg e Parry, mentre per una applicazione allo studio dei tessuti eccovi A Bernstein-Bézier based approach to soft tissue simulation (pdf) di Roth et al.
Il metodo della continuazione (o anche della continuazione numerica) viene utilizzato per valutare le soluzioni di sistemi di equazioni non lineari. In pratica, dato un sistema di equazioni $F (x) = 0$, si sceglie un opportuno sistema $G (x) = 0$ che sia al tempo stesso più semplice da risolvere e che si possa far evolvere con continuità nel sistema $F (x)$, tale che il processo di continuazione sia convergente. Alexander Morgan, matematico, ha sviluppato agli inizi degli anni 80 del XX secolo, per conto della General Motors, presso i cui laboratori di ricerca (che avevano un dipartimento di matematica) lavorava, un metodo che permette di selezionare $G$ in modo da avere una rapida convergenza.
Graficamente il metodo della continuazione può essere rappresentato come segue:

utilizzando così il parallelismo tra geometria e sistemi di equazioni.
Come abbiamo visto, quindi, anche le aziende automobilistiche straniere sono interessate allo sviluppo e alla ricerca nella matematica, qualcosa che, giusto per dirne una, quelle italiane non hanno mai pensato di supportare (spesso non supportano nemmeno la ricerca applicata più strettamente legata al loro ambito, ma questa è un'altra storia...)
I metodi di continuazione, sebbene ben noti ai matematici, non sono molto utilizzati nella scienza e nell'ingegneria. Acustica, cinematica e progettazione di circuiti non-lineari sono giusto alcuni campi che potrebbero beneficiarne immediatamente. Mi aspetto di vedere un più grande utilizzo di questo strumento matematico in futuro.
(Alexander Morgan)

Le gif animate sono prese da en.wiki
L'articoletto The Continuation Method (issuu) sui risultati della ricerca di Alexander Morgan è, a tutti gli effetti, una pubblicità all'interno dell'articolo Methamagical Themas di Douglas Hofstadter su Scientific American 244, 22-32 (January 1981) doi:10.1038/scientificamerican0181-22

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