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lunedì 15 dicembre 2014

Il secondo principio di relatività

Durante i suoi primi passi, la relatività speciale incrociò la strada con l'elettrone e la ricerca della sua massa
La relatività speciale di Albert Einstein proponeva alcuni elementi rivoluzionari, fornendo innanzitutto una serie di strumenti matematici e di discorsi epsitemologici a supporto di una serie di osservazioni apparentemente assurde, prima fra tutte la non conservazione delle equazioni di Maxwell sotto l'azione delle trasformazioni di Galileo.
Le trasformazioni di Galileo sono una serie (sistema) di equazioni che permettono di comporre le velocità relative di sistemi di riferimento in moto uno rispetto all'altro. Quando si applicano queste trasformazioni alle equazioni di Maxwell, ovvero l'insieme di equazioni che descrivono il comportamento del campo elettromagnetico, si scopre che queste vengono in qualche modo modificate. I casi erano due: o il campo elettromagnetico aveva realmente un comportamento differente in base al sistema di riferimento, o le trasformazioni di Galileo non erano così universali come si pensava. In effetti a non essere universali sono le trasformazioni di Galileo (su cui, per esempio, si basa l'equazione di Schroedinger, che funziona benissimo perché il sistema che descrive non è relativistico), per cui erano necessarie delle nuove trasformazioni in grado di esprimere l'universalità dell'elettromagnetismo: le trasformazioni di Lorentz su cui si basa la relatività speciale. Queste ultime infatti vengono ricavate a partire dalla variazione relativistica del principio di inerzia(11) (o dal primo principio di relatività), ispirato dal lavoro di Mach:
Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
e da quello che può essere considerato come il secondo principio della relatività(11):
La velocità della luce è la stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale
Un modo semplice per comprendere il funzionamento di questo principio è immaginare che tre sorgenti di luce poste alla stessa distanza da noi, di cui una fissa, una in allontanamento e una in avvicinamento rispetto a noi, ci mandano un raggio luminoso e una pallina, quest'ultima lanciata alla stessa velocità iniziale da ciascuna sorgente. Indipendentemente dal moto di ciascuna delle tre sorgenti, i tre raggi luminosi ci arriveranno contemporaneamente, mentre le palline arriveranno in tre istanti differenti in base al moto relativo di ciascuna sorgente.
La relatività e la massa dell'elettrone
Questo comportamento della luce è da considerarsi basilare, fondamentale per l'universo in cui viviamo, e quindi è giustamente un postulato (o principio). A differenza della matematica, dove postulati e assiomi sono considerati veri (sono, cioè, enunciati che non necessitano di essere dimostrati), in fisica una qualche dimostrazione empirica diventa necessaria anche per loro. Così anche il secondo principio della relatività viene dimostrato attraverso degli esperimenti, come il noto esperimento di Michelson e Morley, o un esperimento interessante realizzato da Richard Tolman(17) con uno specchio per verificare se la velocità della luce proveniente dai due poli del disco solare venisse in qualche modo influenzata dalla sorgente. Come per il più noto esperimento, anche in questo caso il risultato conferma il principio einsteiniano e quindi la validità delle conseguenze che da esso nascono all'interno della relatività speciale.

Set-up dell'esperimento di Michelson e Morley
Un'altra conferma, però, arriva dal mondo delle particelle elementari, in particolare dagli esperimenti di Kaufmann e Bucherer sulla massa della particella $\beta$.
Dopo la scoperta, nel 1896, dei decadimenti radioattivi da parte di Becquerel (che gli valse il Nobel per la Fisica nel 1903), si associò, anche grazie al lavoro di Thomson sui raggi catodici, alle particelle prodotte durante il decadimento $\beta$ gli elettroni. Lo stesso Thomson, nel 1881(1), aveva mostrato che l'energia elettromagnetica contribuiva in qualche misura alla massa di una particella carica in movimento, introducendo così il concetto di massa elettromagnetica. A Thomson si aggiunse, nel 1897, Searle(2) che calcolò come questa massa dipendeva dalla velocità, e che questa diventava infinitamente grande alla velocità della luce (rispetto all'etere). La massa elettromagnetica venne quindi separata in massa trasversale e longitudinale, anche detta massa apparente, mentre la massa newtoniana venne indicata come massa reale. E' all'interno di questo contesto che Walter Kaufmann e Alfred Bucherer svolgono, separatamente, i loro esperimenti sulle particelle $\beta$.
In particolare Kaufmann perfezionò una serie di esperimenti tutti con una struttura sperimentale simile. Si parte da una sorgente di particelle $\beta$, prodotte con una velocità variabile tra $0.3 \, c$ e $0.9 \, c$ (con $c$ velocità della luce). Per ovviare alla disomogeneità della radiazione, Kaufmann pensò bene di applicare dei campi elettrici e magnetici allineati parallelamente, così che ogni punto di impatto rilevato alla fine della corsa degli elettroni venisse associato a una velocità differente. I risultati, pubblicati nel 1901(3), mostravano come la massa o il momento aumentassero all'aumentare della velocità, ma, come osservò Max Abraham, questi risultati presentavano alcuni errori, che vennero successivamente corretti da Kaufmann nel 1902(4). Il nostro, però, non si accontentò e tra il 1902 e il 1903(5, 6) perfezionò dei nuovi esperimenti, che sembravano accordarsi con la previsione teorica dello stesso Abraham(7).
Sfida tra teorici
Quest'ultimo, nel 1902, aveva modellizzato l'elettrone come una sfera rigida perfetta con la carica distribuita sulla superficie. Propose anche un valore per la massa elettromagnetica, che divenne in concorrenza con altri due valori analoghi. Un primo concorrente venne proposto nel 1904 da Alfred Bucherer e Paul Langevin(8), mentre il valore associato con il secondo principio di relatività nacque dalla sintesi di Einstein(11) dei lavori precedenti di Lorentz(9) e Poincaré(10). A questo punto, nel 1905, Kaufmann, che era convinto della giustezza del risultato di Abraham, decise di portare a termine una nuova e più precisa serie di dati(12), che sperava conclusiva della diatriba. Il problema, nei risultati di Kaufmann, che confermavano ancora una volta Abraham, era che, secondo l'analisi degli stessi fatta da Max Planck(13), avrebbero portato a velocità superluminali.
A questo punto della storia, Bucherer, utilizzando l'approccio sperimentale di Adolf Bestelmeyer(14) (porre campi elettrici e magnetici in modo perpendicolare uno rispetto all'altro) ma con una strumentazione più precisa di questi, ripeté gli esperimenti di Kaufmann, confermando la previsione teorica di Lorentz ed Einstein(15, 16): è interessante notare come, nonostante Bestelmeyer sconfessò, in parte, i risultati di Kaufmann, espresse anche delle perplessità intorno ai risultati di Bucherer, non considerandoli ancora conclusivi.

Il laboratorio di Bucherer
A chiudere il discorso fu, nel 1914, Günther Neumann che, migliorando l'esperimento di Bucherer utilizzando le critiche di Bestelmeyer come guida, mostrò in maniera conclusiva la correttezza della previsione di Einstein e Lorentz(18), e quindi del secondo principio di relatività.
La storia, ad ogni modo, non è da considerarsi esaustiva: non solo esperimenti coevi a quelli citati sono stati condotti per verificare l'esattezza di una delle varie ipotesi teoriche raccontate, ma anche nei decenni successivi vennero proposte nuove verifiche, fino a quelle moderne all'interno degli acceleratori di particelle.
Nota finale: la maggior parte degli articoli citati nel presente post è da considerarsi, legalmente, di pubblico dominio. Tali articoli, però, non sono liberamente scaricabili dai siti degli editori, ma per fortuna wikisource arriva in aiuto, presentando sia la versione originale, sia la sua traduzione in inglese. I link alle versioni in pubblico dominio, laddove presenti, sono quindi proposti ai lettori all'interno della bibliografia.
(1) Thomson J.J. (1881). XXXIII. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies , Philosophical Magazine Series 5, 11 (68) 229-249. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/14786448108627008 (wikisource)
(2) Searle G.F.C. (1897). XLII. On the steady motion of an electrified ellipsoid , Philosophical Magazine Series 5, 44 (269) 329-341. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/14786449708621072 (wikisource)
(3) Kaufmann, W. (1901), "Die magnetische und elektrische Ablenkbarkeit der Bequerelstrahlen und die scheinbare Masse der Elektronen", Göttinger Nachrichten (2): 143–168
(4) Kaufmann, W. (1902), "Über die elektromagnetische Masse des Elektrons", Göttinger Nachrichten (5): 291–296
(5) Kaufmann, W. (1902), "Die elektromagnetische Masse des Elektrons", Physikalische Zeitschrift 4 (1b): 54–56 (english translation)
(6) Kaufmann, W. (1903), "Über die "Elektromagnetische Masse" der Elektronen", Göttinger Nachrichten (3): 90–103 (archive.org)
(7) Abraham, M. (1902). "Prinzipien der Dynamik des Elektrons". Physikalische Zeitschrift 4 (1b): 57–62 (english translation)
(8) A.H. Bucherer, Mathematische Einführung in die Elektronentheorie, Teubner, Leipzig 1904, p. 57
(9) Lorentz, Hendrik Antoon (1904), "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light", Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 6: 809–831 (wikisource)
(10) Poincaré M.H. (1906). Sur la dynamique de l’électron, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 21 (1) 129-175. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/bf03013466 (wikisource - english translation)
(11) Einstein, A. (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper Annalen der Physik, 322 (10), 891-921 DOI: 10.1002/andp.19053221004 (pdf - english translation)
(12) Kaufmann W. (1906). Über die Konstitution des Elektrons, Annalen der Physik, 324 (3) 487-553. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/andp.19063240303 (english translation)
(13) Planck, Max (1906), "Die Kaufmannschen Messungen der Ablenkbarkeit der β-Strahlen in ihrer Bedeutung für die Dynamik der Elektronen", Physikalische Zeitschrift 7: 753–761 (english translation)
(14) Bestelmeyer A. (1907). Spezifische Ladung und Geschwindigkeit der durch Röntgenstrahlen erzeugten Kathodenstrahlen, Annalen der Physik, 327 (3) 429-447. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/andp.19073270303
(15) Bucherer, A. H. (1908), "Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie.", Physikalische Zeitschrift 9 (22): 755–762 (wikisource - english translation)
(16) Bucherer A.H. (1909). Die experimentelle Bestätigung des Relativitätsprinzips, Annalen der Physik, 333 (3) 513-536. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/andp.19093330305 (wikisource)
(17) Tolman R.C. (1910). The Second Postulate of Relativity, Physical Review (Series I), 31 (1) 26-40. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/physrevseriesi.31.26
(18) Neumann G. (1914). Die träge Masse schnell bewegter Elektronen, Annalen der Physik, 350 (20) 529-579. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/andp.19143502005

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