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mercoledì 18 marzo 2015

Breve storia del pi greco - parte 3


Calvin & Hobbes di Bill Watterson
Le tecniche di costruzione geometriche degli antichi greci erano dette "con riga e compasso". In questo modo è possibile costruire una gran quantità di poligoni regolari, per esempio, ma esistono tre problemi che risultano impossibili a meno di non utilizzare tecniche differenti: la trisecazione di un angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio.
In particolare per la quadratura, è semplice vedere come, detto $r$ il raggio del cerchio, il lato del quadrato con la stessa area sarà \[l = \sqrt{\pi} r\] Poiché il nostro amato pi greco è un numero trascendentale, la formula qui sopra è la più semplice rappresentazione dell'impossibilità della quadratura del cerchio utilizzando riga e compasso, con i quali è possibile trattare numeri razionali e irrazionali, come per esempio $\sqrt{2}$ (in questo caso basta semplicemente disegnare un quadrato di lato 1).
Utilizzando questi due strumenti è possibile ottenere una costruzione approssimata e, quindi, un corrispondente approssimato valore per il pi greco. In era moderna si contano approssimazioni di C.D. Olds (1963), Martin Gardner (1966), Benjamin Bold (1982), tutte alla fine variazioni sulla costruzione geometrica di Srinivasa Ramanujan del 1913 che approssimò pi greco con la frazione \[\frac{355}{113} = 3.1415929203539823008 \dots\] corretto fino alla sesta cifra decimale.
Sempre Ramanujan ottenne l'anno dopo un'approssimazione ancora più accurata (fino all'ottava cifra decimale), sempre utilizzando riga e compasso: \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525826461252 \dots\]
Se però al compasso e alla riga aggiungiamo anche un po' di meccanica riusciamo a ottenere una interessante quadratura del cerchio (con conseguente misura del pi greco!). Prendiamo una circonferenza di raggio $r$ e facciamola rotolare con velocità costante lungo una sua retta tangente. Il punto di tangenza $N$ descriverà una curva detta cicloide.
E' possibile, poi, costruire una seconda cicloide utilizzando la proiezione del punto $M$ (l'estremo del diametro perpendicolare al raggio cui appartiene $N$) sulla retta tangente. L'intersezione $B$ del diametro $NN'$ con questa seconda cicloide ci fornirà un segmento di lato $NB$ la cui lunghezza sarà pari a $\sqrt{\pi} r$, ovvero il lato del quadrato con area identica al cerchio di partenza. Dividendo, quindi, il segmento così costruito per il raggio del cerchio di partenza è possibile, alla fine determinare il valore del pi greco.
E come suggerito questa costruzione non è semplicemente geometrica, ma possiamo anche farla realmente, magari con un piccolo disco di ottone come suggerisce August Zielinski, il propositore del metodo di quadratura or ora sommariamente descritto.
Ovviamente in questo caso la precisione del valore di pi greco determinato dipende dalla precisione del metodo di misurazione.

Fox Trot di Bill Amend
Tra le molte formule per calcolare il pi greco ha un posto particolare il prodotto di Wallis, scoperto più o meno per caso dal matematico John Wallis mentre stava cercando di calcolare l'area di un cerchio. \[\prod_{n=1}^\infty \left ( \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right ) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot {4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots = \frac{\pi}{2}\] Wallis presentò la sua formula nel suo libro più famoso, Arithmetica infinitorum (l'aritmetica degli infiniti) del 1665, fondamentale per esempio nella formazione di Isaac Newton, che in un certo senso ne prese il posto come punto di riferimento per la matematica britannica.
La storia della formula, però, inizia in Italia nel 1632 con la pubblicazione de Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche dove il matematico Bonaventura Cavalieri calcola l'area sotto "parabole" del tipo $y = x^n$. Cavalieri procedette calcolando l'area compresa tra gli assi e le curve del tipo \[y = \left ( 1-x^2 \right )^0, \; y= \left ( 1-x^2 \right )^1,\] \[y= \left ( 1-x^2 \right )^2, \; y= \left ( 1-x^2 \right )^3, \; \cdots\] ottenendo rispettivamente \[x,\] \[x - \frac{1}{3} x^3,\] \[x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5,\] \[x - \frac{3}{3} x^3 + \frac{3}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7,\] \[x - \frac{4}{3} x^3 + \frac{6}{5} x^5 - \frac{4}{7} x^7 + \frac{1}{9} x^9,\] \[\cdots\] Poiché l'equazione del cerchio di raggio 1 è $y = \left ( 1-x^2 \right )^{1/2}$, il problema si riduce a determinare l'espressione corrispondente all'esponente $\frac{1}{2}$ compresa tra $x$ e $x - \frac{1}{3} x^3$.
Non riuscendo a determinare tale espressione, Wallis portò a termine una serie di calcoli numerici che lo condussero alla fine alla formula che porta il suo nome.
Un dimostrazione più o meno semplice della formula passa attraverso la definizione di tre nuove serie numeriche e il calcolo dell'area di una serie di rettangoli nel piano cartesiano: geometricamente parlando dimostrare la formula è come calcolare il limite di due archi di circonferenza, uno superiore e uno inferiore, che si avvicinano al contorno dei rettangoli, fino ad coincidere con esso al raggiungimento del valore di $\frac{\pi}{2}$.
Una dimostrazione più rigorosa, invece, che prende la strada della dimostrazione della formula di Cavalieri, passa attraverso l'integrale del seno \[\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x dx\] E' poi possibile, utilizzando opportunamente la funzione eta di Dirichlet, determinare un legame tra la zeta di Riemann e la formula di Wallis, il che è anche abbastanza scontato visto che la zeta di Riemann è legata proprio al pi greco (come visto nella seconda parte della storia del $\pi$).

Shoe di MacNelly
Uno degli aspetti più stupefacenti della matematica è la pervasività dei numeri trascendentali nella realtà, che sembra confermare l'idea di Cantor che la matematica e i numeri abbiano una loro realtà su cui si basa quella del nostro mondo. Ad esempio il numero phi è presente in molte strutture naturali grazie alla spirale di Fibonacci. Anche il pi greco è presente, e non solo nella forma del cerchio. Nel 2010, infatti, un gruppo di neuroscienziati hanno scoperto che tre specie differenti di mammiferi (il galago, il toporagno, il furetto) condividono una organizzazione simile dei neuroni della corteccia visiva che presenta una densità molto vicina al valore del pi greco!
Il capo del gruppo di ricerca, Fred Wolf, si è interessato per anni dell'argomento, provando a sviluppare una teoria riguardo lo sviluppo della mappa cerebrale basata su metodi matematici utilizzati nella fisica per lo studio della formazione delle strutture. L'idea di base è quella di utilizzare due variabili (preferenza di orientamento e selettività) e quindi svilupparle introducendo nel gioco delle interazioni mutuali. A questo si aggiunge l'assunzione che queste interazioni rispettano una simmetria di base (ad esempio siti vicini dovrebbero avere una forma simile) e l'assunzione dell'esistenza di interazioni a lungo raggio. Dallo studio matematico e numerico emerge che le mappe generate presentano una densità molto vicina a quella del pi greco, risultato che nel 2010 si è rivelato per la prima volta corretto esaminando le mappe dei tre mammiferi di cui sopra.
Quindi esistono sul pianeta dei mammiferi che "vedono" il pi greco, e forse ha ragione chi pensa che in realtà la Terra è un immenso calcolatore i cui abitanti sono i chip che stanno perfezionando il calcolo per trovare la domanda fondamentale la cui risposta è... 42!

Frank & Ernest di Bob Thaves
Come ricorda la voce narrante a Paperino ne Il paese della matematgica, il simbolo dei pitagorici è il pentagono, figura regolare costituita da cinque lati uguali. Esso può essere costruito all'interno di un cerchio utilizzando semplicemente riga e compasso. Ora, ciascuno dei cinque triangoli in cui si può suddividere il pentagono, con base un lato e vertice opposto il centro del poligono, hanno come angolo al vertice il valore, in radianti, di $\pi/5$. E questo angolo è legato al rapporto aureo, $\varphi$, dalla relazione \[2 \cos \frac{\pi}{5} = \varphi\] Un'altra relazione che lega i due numeri è anche quella scoperta da Robert Everest \[\varphi = 1 - 2 \cos \frac{3 \pi}{5}\]
Bibliografia:
Articoli di Ramanujan sulla quadratura:
Squaring the circle, Journal of the Indian Mathematical Society, V, 1913, 132
Modular equations and approximations to $\pi$, Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, 350 – 372
Zielinski A. (1875). Quadrature of the Circle, The Analyst, 2 (3) 77. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/2635871 (archive.org)
Wildberger N.J. (2002). A New Proof of Cavalieri's Quadrature Formula, The American Mathematical Monthly, 109 (9) 843. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/3072373 (academia.edu
Young R.M. (1998). Probability, pi, and the Primes: Serendipity and Experimentation in Elementary Calculus, The Mathematical Gazette, 82 (495) 443. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/3619891
Wästlund J. (2007). An Elementary Proof of the Wallis Product Formula for pi, The American Mathematical Monthly, 114 (10) 914-917. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/27642364 (pdf)
Kaschube M., S. Lowel, D. M. Coppola, L. E. White & F. Wolf (2010). Universality in the Evolution of Orientation Columns in the Visual Cortex, Science, 330 (6007) 1113-1116. DOI: http://dx.doi.org/10.1126/science.1194869
Cross M. & Hohenberg P. (1993). Pattern formation outside of equilibrium, Reviews of Modern Physics, 65 (3) 851-1112. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/revmodphys.65.851 (pdf)
Kaschube M., Schnabel M. & Wolf F. (2008). Self-organization and the selection of pinwheel density in visual cortical development, New Journal of Physics, 10 (1) 015009. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/10/1/015009
Kaschube M, Wolf F, Geisel T, & Löwel S (2002). Genetic influence on quantitative features of neocortical architecture. The Journal of neuroscience : the official journal of the Society for Neuroscience, 22 (16), 7206-17 PMID: 12177215
Altri approfondimenti:
su Crop Circles and More e su McTutor. Inoltre un testo interessante per ricapitolare la storia sulla quadratura è Squaring the circle: a history of the problem di E. W. Hobson
Wallis Formula su Mathworld, The world of $\pi$, Math fun facts
The Golden Number

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