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mercoledì 29 aprile 2015

Scivolare lungo un piano inclinato

Scrive Jacopo Cirillo a proposito di Stephen King
Semplificando in maniera orrendamente antiscientifica, se prendiamo un piano inclinato e una biglia e facciamo scorrere la biglia sul piano inclinato, la stessa biglia accelererà sempre di più e, se il piano inclinato è lungo all'infinito, la biglia accelererà all'infinito fino a diventare, non so, velocissima. Ma c’è un inghippo: la superficie del piano, di solito, è scabra, ovvero subisce l’azione della forza d’attrito che frena la biglia, alterandone il moto rettilineo. Secondo me, la narrazione di King funziona come la teoria del piano inclinato e la biglia sono i nostri occhi, metafora e sineddoche della nostra lettura, che accelerano sempre di più lungo le righe e le pagine. Si tratta di capire adesso se e quanto siano scabre le sue pagine.
Peppe Liberti ci scrive su un post e poi io rilancio su twitter coinvolgendo lo stesso Jacopo e così inizia una discussione che alla fine ritengo anche proficua e stimolante che mi ispira a scrivere qualche riga sul piano inclinato.
Questo è uno strumento utilizzato da Galileo Galilei per capire (o testare le ipotesi su) il moto uniformemente accelerato. Grazie ai suoi esperimenti Galileo scopre come lo spazio dipenda dal quadrato dei tempi, come scrive nel passo tratto dai Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali del 1638:
In un regolo, o vogliàn dir corrente, di legno, lungo circa 12 braccia, e largo per un verso mezo bracio e per l'altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavato un canaletto, poco più largo d'un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimo, ben rotondata e pulita; costituito che si era il detto regolo pendente, elevando sopra il piano orizontale una delle sue estremità un braccio o due ad arbitrio, si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo che consumava nello scorrerlo tutto, replicando il medesimo atto molte volte per assicurarsi bene della quantità del tempo, nel quale non si trovava mai differenza né anco della decima parte d'una battuta di polso. Fatta e stabilita precisamente tale operazione, facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamente esser la metà dell'altro: e facendo poi l'esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunque altra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle scese per diverse inclinazioni mantener esquisitamente tra di loro quella proporzione che più a basso troveremo essergli assegnata e dimostrata dall'Autore. Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d'acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d'acqua, che s'andava ricevendo con un piccol bicchiero per tutto 'l tempo che la palla scendeva nel canale e nelle sue parti: le particelle poi dell'acqua, in tal guisa raccolte, s'andavano di volta in volta con esattissima bilancia pesando, dandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi; e questo con tal giustezza, che, come ho detto, tali operazioni, molte e molte volte replicate, già mai non differivano d'un notabil momento.
Un modo per osservare il principio di inerzia e la conservazione dell'energia al lavoro è accostare uno di fronte all'altro due piani inclinati entrambi dello stesso angolo di base $\theta$.
Facendo scendere una sfera da un'altezza $h_1$ per un tratto $l_1$ di quello a sinistra [Galileo] notò che la sfera, arrivata sul piano orizzontale tra i due piani inclinati, continua il suo moto rettilineo fino alla base del piano inclinato di destra. A quel punto, in assenza d'attrito, la sfera risale il piano inclinato di destra per un tratto $l_2 = l_1$ e si ferma alla stessa altezza $h_2 = h_1$ di partenza. In termini attuali, la conservazione dell'energia meccanica impone che l'iniziale energia potenziale $E_p = mgh_1$ della sfera si trasformi - man mano che la sfera discende il primo piano inclinato di sinistra - in energia cinetica $E_c = (1/2) mv^2$ sino alla sua base, dove vale $mgh_1 = (1/2) mv_{max}^2$. La sfera si muove quindi sul piano orizzontale coprendo la distanza tra i piani inclinati con velocità costante $v_{max}$, fino alla base del secondo piano inclinato. Risale poi il piano inclinato di destra, perdendo progressivamente energia cinetica che si trasforma nuovamente in energia potenziale, fino a un valore massimo uguale a quello iniziale $E_p = mgh_2 = mgh_1$, al quale corrisponde velocità finale nulla $v_2 = 0$.
Si immagini ora di diminuire l'angolo $θ_2$ del piano inclinato di destra in modo tale che $θ_2 < θ_1$, e di ripetere l'esperimento. Per riuscire a risalire - come impone il principio di conservazione dell'energia - alla medesima quota $h_2$ di prima, la sfera dovrà ora percorrere un tratto $l_2$ più lungo sul piano inclinato di destra. Se si riduce progressivamente l'angolo $θ_2$, si vedrà che ogni volta aumenta la lunghezza $l_2$ del tratto percorso dalla sfera, per risalire all'altezza $h_2$. Se si porta infine l'angolo $θ_2$ ad essere nullo, si è di fatto eliminato il piano inclinato di destra. Facendo ora scendere la sfera dall'altezza $h_1$ del piano inclinato di sinistra, essa continuerà a muoversi indefinitamente sul piano orizzontale con velocità $v_{max}$ (principio d'inerzia) in quanto, per l'assenza del piano inclinato di destra, non potrà mai risalire all'altezza $h_2$ (come prevederebbe il principio di conservazione dell'energia meccanica).
Come avete letto dalla trattazione qui sopra estratta da it.wiki, la velocità lungo un piano inclinato aumenta con la discesa della pallina fino a raggiungere un valore massimo che, dal principio di conservazione dell'energia è pari a \[v_f = \sqrt{2mgh}\] dove, cambiando la notazione rispetto al passo citato, $v_f$ è la velocità alla fine del piano inclinato, $m$ la massa della pallina (o dell'oggetto), $h$ la quota di partenza. Il valore della velocità finale, calcolato attraverso la conservazione dell'energia cinetica, è dipende quindi dalla massa e dall'altezza del piano inclinato. Detto, però, $\theta$ l'angolo di inclinazione del piano, allora si può utilizzare la trigonometria per determinare la velocità finale della pallina in dipendenza della lunghezza $l$ del piano (vi risparmio i conti): \[v_f = \sqrt{2mgl \sin \theta}\] Si potrebbe allora dire che per un piano inclinato infinitamente lungo la velocità è innumerabilmente grande. Ciò che impedisce alla velocità di aumentare indefinitamente è che la grandezza $l \sin \theta$ è costante (ricordo che stiamo solo allungando il piano inclinato, non lo stiamo alzando!) e quindi anche la velocità finale, il cui valore è fissato dall'altezza $h$ del piano inclinato.
Se poi introduciamo un coefficiente di attrito tra la superficie e l'oggetto in caduta lungo il piano, dovremo modificare l'accelerazione parallela al moto che, detto $k$ il coefficiente d'attrito, sarà data da \[a = g (\sin \theta - \cos \theta)\] Se poi consideriamo anche l'attrito dell'aria, la situazione si complica leggermente. Prendendo la strada più semplice, possiamo valutare tale forza con la formula: \[F_{aria} = \frac{1}{2} \rho v^2 k_{aria} A\] dove $\rho$ è la densità dell'aria (o più in generale del fluido), $v$ la velocità relativa dell'oggetto rispetto al fluido, $k_{aria}$ il coefficiente d'attrito, $A$ l'area della sezione dell'oggetto.
In questo caso è facile intuire come l'attrito dell'aria influenza l'accelerazione dell'oggetto (riducendola) che a sua volta influisce sulla velocità dell'oggetto modificando quindi l'attrito dell'aria che influenza l'accelerazione dell'oggetto che a sua volta... e così via fino a che l'oggetto non si ferma.

Leggere anche:
Galileo e il piano inclinato di Claudia Borghini
Il piano inclinato di Galilei
Un bellissimo pdf, Il piano inclinato dagli studi di Galileo ad oggi
La foto a corredo è, invece, presa dal sito del Museo Galileo di Firenze

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