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giovedì 16 aprile 2015

Trisecare con gli origami

La trisecazione di un angolo è uno di quei problemi affascinanti che ha sempre stimolato la creatività dei matematici. Alcuni metodi li ho presentati in un post dedicato del ciclo Dimostrazioni senza parole. Oggi, invece, vi propongo un paio di tecniche di trisecazione che coinvolgono gli origami. La prima, di Hisashi Abe all'interno di un rompicapo dedicato proprio a questa antica arte giapponese:
  1. Segnare l'angolo da trisecare all'interno di uno degli angoli del foglio quadrato. Nel caso dell'esempio l'angolo è $PBC$.
  2. Piegare il foglio lungo una linea parallela al lato $BC$.
  3. Piegare il bordo $BC$ fino alla piega $EF$ e quindi riaprire.
  4. Piegare l'angolo $B$ in modo tale che il punto $E$ si trovi sulla linea $BP$, mentre l'angolo $B$ sulla linea $GH$.
  5. Piega lungo la grinza che passa per $G$, ottenendo una nuova piegatura che attraversa tutto il foglio.
  6. Apri.
  7. Estendere la piega dal punto $J$ al punto $B$. Inoltre, portare il bordo $BC$ fino alla piega $BJ$ e aprire.
  8. L'angolo $PBC$ di partenza è trisecato.
Un'altro modo di trisecare un angolo è quello proposto dal matematico francese Jacques Justin per gli angoli ottusi:
  1. L'angolo da trisecare è $ZOX$.
  2. Estendere le linee $ZO$ e $XO$.
  3. Piegare $X$ su $X'$ attraverso il punto $O$.
  4. Segnare i punti $A'$ e $A''$ sulle linee $ZO$, $ZO'$ tali da essere a distanze uguali dal punto $O$.
  5. Piegare i punti $A'$, $A''$ in modo da trovarsi sulle linee $X'O$, $Y'O$ e riaprire.
  6. Piegare una linea perpendicolare all'ultima grinza attraverso il punto $O$ per trisecare l'angolo di partenza.

Gli schemi e le descrizioni sono estratte da Origami and geometric constructions (pdf) di Robert J. Lang

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