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martedì 26 maggio 2015

Un poker per tre

Come scrivono i Rudi Mathematici, "John Forbes Nash se n'è andato". C'è poco da dire in situazioni del genere, se non provare a scrivere, magari della sua matematica. Ho provato a farlo in modi piuttosto indiretti, lo faccio oggi in un modo un po' più diretto.
Uno dei risultati più importanti di John Nash è la scoperta dell'esistenza degli equilibri che portano il suo nome all'interno dei giochi non collaborativi. La teoria di base su questo genere di giochi prende le mosse da due suoi articoli, Non-cooperative games e Equilibrium points in $n$-person games. In breve un gioco non cooperativo è gioco per $n$ giocatori che, utilizzando le regole del suddetto gioco, cercano di portare a termine la strategia per loro migliore non solo senza alcuna conoscenza della strategia degli altri giocatori, ma senza alcun modo per comunicare tra loro. All'interno di questo genere di giochi esiste un equilibrio detto equilibrio di Nash. L'esempio classico di questo genere è il dilemma del prigioniero, ma anche il poker per tre, esaminato da Nash sia in Non-cooperative games, sia in A simple three-person poker game con L.S. Shapley è un esempio di gioco non collaborativo con equilibrio di Nash.
Le regole di questo poker semplificato sono le seguenti:
  1. Il mazzo è formato con un ugual numero di carte alte e basse, e una mano consiste di una carta.
  2. Sono utilizzate 2 fiches per l'ante, l'apertura o la chiamata.
  3. I giocatori giocano a rotazione e il gioco finisce dopo che tutti sono passati o dopo che un giocatore ha aperto e gli altri hanno avuta la possibilità di chiamare.
  4. Se nessuno scommette gli ante vengono recuperati.
  5. Altrimenti il piatto viene diviso equamente tra le mani più alte che hanno scommesso.
Per determinare i punti di equilibrio, la base di partenza è la seguente tabella dove le possibili strategie sono date ciascuna con una differente probabilità identificata da una lettera greca:
I punti di equilibrio sono identificati da Nash in $\alpha$, $\eta$, $\delta$, $\epsilon$
Altra matematica
Nash ha fornito contributi anche in altri campi della matematica, ad esempio nella geometria algebrica reale.
Altro contributo è il teorema di incorporamento, che stabilisce che ogni varietà riemanniana può essere isometricamente incorporata all'interno di un qualche spazio euclideo. Per esempio piegare senza stirare o allungare un foglio di carta su cui abbiamo disegnato delle linee curve fornisce un'immersione isometrica del foglio in uno spazio euclideo, poiché le curve disegnate mantengono la stessa lunghezza in qualunque modo si pieghi il foglio.
Sono proprio queste teorie che hanno portato alla formulazione dell'ipotesi dell'esistenza di un toroide piatto insieme con Nicolaas Kuiper: in pratica stiamo parlando di una ciambella, ovvero di una struttura tridimensionale, che ha una geometria piatta, e quindi deve essere immersa all'interno di uno spazio euclideo quadridimensionale.
Altri contributi di Nash sono nella teoria delle equazioni paraboliche non lineari parzialmente differenziali e nella teoria della singolarità.
Un altro importante contributo è stato sulla risoluzione dell'undicesimo problema di Hilbert, cui arrivò leggermente più tardi rispetto all'italiano Ennio De Giorgi:
One of the most remarkable facts in the elements of the theory of analytic functions appears to me to be this: that there exist partial differential equations whose integrals are all of necessity analytic functions of the independent variables, that is, in short, equations susceptible of none but analytic solutions.
Un ultimo importante contributo è stato recentemente scoperto grazie alla declassificazione da parte della NSA di alcuni suoi documenti riguardanti la crittografia.
Nash, J. (1950). Equilibrium points in n-person games Proceedings of the National Academy of Sciences, 36 (1), 48-49 DOI: 10.1073/pnas.36.1.48 (pdf)
Nash J. (1951). Non-Cooperative Games, The Annals of Mathematics, 54 (2) 286-295. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/1969529 (pdf)
Nash, J. F., and L. S. Shapley. "A Simple Three-person Poker Game" Essays on Game Theory (1996): 10.

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