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lunedì 29 giugno 2015

Piani catastrofici

Supponiamo di doverci confrontare con un animale, ad esempio un cane o un lupo (o più in generale con un animale, addomesticato o selvaggio). Secondo Konrad Lorenz il comportamento aggressivo di un cane viene influenzato da due stati d'animo differenti: l'ira e la paura.
Si può allora provare a prevedere il comportamento del cane in funzione di quale dei due stati domina: nel caso in cui l'animale è dominato da paura o da ira, proporre una previsione è abbastanza semplice; nel caso in cui il cane sia contemporaneamente dominato da ira e paura, la previsione diventa molto più difficoltosa. Mentre, infatti, un modello semplice prevederebbe la neutralizzazione dei due impulsi, in un modello più complesso il comportamento neutrale dell'animale sarebbe in realtà il meno probabile.
Un modo utile e molto più corretto di esaminare il comportamento del cane è il modello topologico proposto da René Thom nel 1972 su Stabilité structurelle et morphogénèse. Il lavoro di Thom prende le mosse dalla morfogenesi di Turing: come ha osservato Jean Petitot(2) entrambi i modelli partono da reazioni interne che vengono accoppiate a stimoli esterni. Mentre in Turing l'accoppiamento è dato dalla diffusione dei morfogeni reagenti, Thom generalizza questo accoppiamento dovuto alle dinamiche interne e alle discontinuità morfogenetiche. Nel modello di Thom sono infatti presenti le così dette biforcazioni, e proprio lo stato di paura e ira è una di quelle biforcazioni.
Un modo per comprendere come funziona il modello di Thom è visualizzarlo: su un piano si rappresentano la paura e l'ira dell'animale, mentre sull'asse perpendicolare al piano si rappresenta il suo comportamento. Il modello di Thom produce una particolare superficie curva (la più semplice all'interno del modello delle catastrofi) che ben rappresenta la situazione di crisi in cui si trova l'animale, che potrebbe cadere nella fuga o reagire in un attacco.
La figura è una tipica catastrofe a cuspide poiché la proiezione della curva sul piano ira-paura genera una cuspide che rappresenta l'area della biforcazione, mentre i suoi contorni sono delle curve critiche. Come in topologia, si può a questo punto descrivere le modificazioni dello stato dell'animale andando a studiare le curve sulla superficie tridimensionale: questo vuol dire che, noti gli stati che hanno condotto alla zona critica, è possibile determinare la reazione dell'animale nel momento della biforcazione. Tutta l'area della biforcazione viene comunque chiamata in questo modo perché al suo interno ancora è possibile una qualunque delle due scelte a disposizione del sistema.
All'interno della teoria delle catastrofi la figura qui sopra è la più semplice tra quelle elementari: Thom e successivamente Arnold hanno determinato tutta una serie di curve, la maggior parte delle quali presentano più di tre dimensioni e che quindi sono rappresentabili visivamente solo attraverso le proiezioni tridimensionali. Ai fini pratici, però bastano 7 curve per descrivere correttamente le situazioni reali, ma già la catastrofe a cuspide è in grado di descrivere varie situazioni, a partire dalle transizioni di fase tra stati liquido e gassoso (e quindi è semplice comprendere come l'area di biforcazione è delimitata dalle curve di transizione del modello classico) fino a modelli di comportamento umano o di interazioni tra stati (intesi come le organizzazioni politiche che guidano le nazioni) o l'andamento del mercato finanziario.
Ad esempio il modello che descrive l'interazione tra nazioni utilizza come assi costo e minaccia sul piano delle emozioni e la politica bellica sull'asse delle decisioni. La cuspide che descrive i possibili comportamenti (e strategie d'uscita) delle due nazioni che interagiscono è più complessa rispetto alla cuspide del comportamento del cane ed è molto simile al ciclo legato alle disfunzioni alimentari come l'anoressia.
Nel catastrofe a cuspide che descrive l'andamento del mercato finanziario vengono invece utilizzati come parametri di controllo l'eccesso di domanda e la speculazione finanziaria, mentre l'asse verticale rappresenta l'andamento dell'indice del mercato.
Si può ora comprendere il meccanismo del crollo. Un mercato con una domanda in eccesso e una grande proporzione di speculatori è un mercato in rialzo sulla superficie di comportamento superiore. Un crollo può essere provocato da qualsiasi evento che riduca la domanda fino a spingere il punto di comportamento al di là della curva di piegatura. Più grande è la parte del mercato controllata dagli speculatori, più grave sarà il crollo. Si potrebbe subito chiedere come mai la ripresa che segue è generalmente lenta, e come mai non c'è un "crollo di risalita", da un mercato in ribasso a uno in rialzo. La risposta più plausibile a questo interrogativo è che l'asse del comportamento (il tasso di cambiamento dell'indice) ha un'influenza sui parametri di controllo per mezzo di un ciclo di retroazione. Un mercato in ribasso scoraggia la speculazione, ma dopo un certo tempo la svalutazione dei titoli che ne consegue incoraggia gli investimenti a lungo termine e di conseguenza, dopo un crollo, il fattore di biforcazione si riduce e il mercato ritorna a spostarsi sul grafico verso una regione in cui la superficie di comportamento non è più bimodale. Con il crescere della fiducia e con il prodursi di un eccesso di domanda l'indice si rialza, ma a poco a poco e in maniera continua, senza catastrofi. Ora è la speculazione a essere incoraggiata e gli investimenti a essere scoraggiati, ed esistono di nuovo le condizioni ideali per la formazione di un nuovo ciclo di espansione e di depressione.(1)
Il grafico della cuspide finanziaria permette di proporre una interpretazione abbastanza interessante dei risultati ottenuti da Stefania Vitali, James Glattfelder e Stefano Battiston (che avevo esaminato a fine 2011): nel caso di una rete costituita da pochi nodi forti, la distanza tra il piano che rappresenta il mercato in rialzo e quello del mercato in ribasso potrebbe essere molto più marcata rispetto a una rete con molti più punti di forza media e quindi dovrebbe essere molto più semplice (in termini economici), in questo secondo caso, ritornare al piano dell'indice in rialzo.
Ad ogni buon conto, la vera domanda con cui vorrei chiudere, è la seguente: la recente crisi cui si sta assistendo in Europa è descrivibile con il grafico sulla guerra o quello sull'economia?
(1) La teoria delle catastrofi edizione italiana di:
Zeeman E.C. (1976). Catastrophe Theory, Scientific American, 234 65-83. DOI: (pdf)
(dal volume Verità e dimostrazione. Questioni di matematica della serie Le letture da Le Scienze, Milano, 1978)
(2) Jean Petitot (2013). Complexity and self-organization in Turing, The Legacy of A.M. Turing, (E. Agazzi, ed.), Franco Angeli, Milano, 149-182. arXiv:

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