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sabato 12 dicembre 2015

I rompicapi di Alice: Il moto perpetuo


illustrazione di Norman Rockwell dalla copertina di Popular Science dell'ottobre 1920 - via commons
Al pari della ricerca sulla pietra filosofale, il misterioso materiale alchemico che dovrebbe permettere la trasmutazione degli elementi, in particolare dei metalli vili nel prezioso oro, c'è la ricerca di uno strumento in grado di generare il moto perpetuo, ovvero un ingranaggio in grado di muoversi in maniera indefinita senza alcuna necessità di alimentazione dall'esterno.
Come vedremo questa ricerca ha ben più di un migliaio di anni e continua ancora oggi, tra persone che genuinamente (e un po' ingenuamente, verrebbe da aggiungere) cercano di ottenere quello che sarebbe un salto tecnologico non indifferente e truffatori veri e propri. Il modo migliore per affrontare tutti questi è ricordare ciò che disse Richard Feynman ad alcuni studenti che lo invitavano a una dimostrazione per un motore a moto se non perpetuo ma piuttosto lungo:
Dovete chiedervi: 'Dove si trova il rifornimento di energia?'(1)
La ruota magica

La ruota di Bhaskara II
Il primo strumento che avrebbe dovuto realizzare il moto perpetuo era la così detta ruota magica, una ruota che gira sul proprio asse il cui movimento sarebbe dovuto essere alimentato da una serie di calamite. Questo strumento fece la sua prima apparizione nell'ottavo secolo in Baviera: progettato per ruotare in perpetuo venne sconfitto, sul lungo periodo, dall'attrito, che così costrinse la ruota magica a piegarsi all'inevitabile fine termodinamica. Sebbene i tempi non combacino, si dice in giro che questa ruota magica dalla Baviera sia basata su un progetto precedente proposto dal matematico e astronomo indiano Bhaskara II, vissuto nel dodiciesimo secolo.
La sua opera più importante è il Siddhanta-Shiromani, la corona dei trattati, opera in versi dove, tra gli altri, arriva a calcolare per approssimazione la derivata del seno \[\frac{\text{d}}{\text{d} y} \sin y = \cos y\] Ha anche realizzato una dimostrazione del teorema di Pitagora, mentre la sua strada si è incrociata, come può solo nei tortuosi percorsi della matematica, con quella di Pierre de Fermat, il matematico dilettante noto per lanciare le sfide ai colleghi più titolati, come nel caso del meglio noto ultimo teorema di Fermat o di un'altra equazione diofantea: \[61 x^2 + 1 = y^2\] Quest'ultima, proposta nel 1657, venne risolta nel 18.mo secolo dallo svizzero Eulero, a meno di non considerare la soluzione già scoperta 6 secoli prima proprio da Bhaskara II.
Come astronomo la maggior parte dei suoi contributi sono contenuti nel già citato Siddhanta-Shiromani, dove, come abbiamo visto, ha sviluppato alcuni concetti della trigonometria, branca della matematica importante, se non addirittura necessaria per compiere delle osservazioni quanto più precise possibile.
Ad ogni buon conto Bhaskara II è, astronomicamente parlando, erede di Aryabhata (quarto secolo) e Brahmagupta (settimo secolo) che svilupparono, con circa un millennio di anticipo sugli astronomi europei, un modello eliocentrico. Poggiando su queste basi teoriche e osservative, Bhaskara II realizza una serie di osservazioni sui corpi celesti, primi fra tutti luna e sole.
Come ingegnere, invece, è meglio noto per la ruota di Bhaskara, una ruota i cui raggi erano parzialmente riempiti di mercurio. Secondo Bhaskara sarebbe stato proprio questo mercurio a garantire il moto perpetuo della ruota(2).
Gli speculatori del continuo moto

La ruota di Taccola - via commons
In Europa due delle macchine del moto perpetuo più celebri sono quelle di Villard de Honnecourt e del senese Mariano di Iacopo, detto Taccola.
Entrambi gli studiosi, così come molti loro contemporanei e successori, si concentrarono sulla ruota. In particolare il francese propose una ruota che viene continuamente sbilanciata da una serie di martelli equidistanti posti sulla sua circonferenza. Negli appunti di de Honnecourt si trova poi un riferimento al mercurio come sostituto dei martelli, a dimostrazione che conosceva il progetto di Bhaskara(2).
La proposta di Taccola, invece, è più una variazione sui martelli di de Honnecourt che sul mercurio del matematico indiano: l'italiano, infatti, propone l'utilizzo di raggi con un'articolazione al centro. L'idea è evidentemente quella di indurre e sostenere il movimento utilizzando l'attrazione della Terra sull'estremità non fissata del raggio. Al di là del non funzionamento della sua ruota, c'è comunque da osservare che il disegno di Taccola è tra i più belli e precisi dell'epoca.
Nella diatriba si inserì anche Leonardo da Vinci. Personaggio poliedrico, è uno degli eredi di Alhazen, le cui tracce si possono ritrovare in tutto l'approccio, anche quello artistico, di Leonardo. E la macchina per il moto perpetuo, progettata e costruita per dimostrarne l'impossibilità, ne è l'esempio più lampante. Il disegno del progetto, contenuto nel Codice di Madrid e ricostruito e conservato nel Museo Leonardo da Vinci di Firenze, è così descritto negli appunti di Leonardo:
(...) qualunque peso sarà appiccato alla rota, il quale peso sia causa del moto d’essa rota, senza alcun dubbio il centro di tal peso si fermerà sotto il centro del suo polo; e nessuno instrumento che per umano ingegno fabbricar si possa che col suo polo si volti, potrà a tale effetto riparare.
Leonardo, poi, non risparmia una battuta contro i cercatori del moto perpetuo, che in pratica paragona agli alchimisti in perenne ricerca della pietra filosofale:
o speculatori del continuo moto, quanti vari ingegni in simil cerca avete creati! Accompagnatevi con li cercatori d’oro [i maghi alchimisti].
Vasi e mulini
La bocciatura di Leonardo, o quella di Planck più sotto, non è mai stata considerata definitiva e così i tentativi di realizzare il moto perpetuo sono proseguiti nel corso dei secoli fino ai giorni nostri. La carrellata sarebbe abbastanza lunga e noiosa (vi ripando alla pagina en.wiki che fa da ispirazione principale), da cui però mi piace estrarvi un paio di strumenti come il vaso di Robert Boyle, che forse per funzionare dovrebbe essere costruito come una bottiglia di Klein!

Il vaso di Boyle - via commons
Una seconda macchina, più complessa della prima ma in un certo senso basata anch'essa su dei vasi (anche se piuttosto grandi!) è quella proposta dall'italiano Vittorio Zonca(2).
Zonca aveva immaginato un mulino a moto perpetuo con dei vasi giganteschi parzialmente riempiti di acqua, come spiega nel trattato Novo teatro di machine et edificci per varie et sicure operationi:

Dell'era moderna, ovvero dal diciannovesimo secolo in poi, preferisco citare Nikola Tesla che, tra le altre cose, ha affermato di aver scoperto un principio su cui si baserebbe una macchina per il moto perpetuo del secondo tipo (vedere classificazione nell'ultima sezione):
Partire da metodi noti - la possibilità di un motore o una macchina "auto-agente", inanimato, ma capace, come un essere vivente, di estrarre energia dal mezzo - la strada ideale per ottenere potenza motrice.
Con Tesla entriamo nell'era dei brevetti di strumenti che, pur se non di moto perpetuo, hanno meccanismi che perdono energia molto lentamente. Ovviamente questi stessi dispositivi si rivelano per la maggior parte fallimentari (discorso a parte quello di decidere tra il dolo e l'incapacità di progettazione del propositore), come una delle ultime proposte della Steorn Ltd.: la sua dimostrazione il 4 luglio 2007 si rivelò fallimentare, cancellata per problemi tecnici, mentre la giuria di scienziati selezionata l'anno prima nel giugno del 2009 affermò che tale tecnologia non funzionava.
Sulla fattibilità del moto perpetuo
Per l'ultimo pezzo del post facciamo un salto indietro nel tempo: all'inizio del diciannovesimo secolo George Biddell Airy osservò come l'impossibilità del moto perpetuo dipende dall'integrabilità dell'espressione differenziale \[x \text{d}x + y \text{d}y + z \text{d}z\]
(...) poiché in tutte le forze di cui abbiamo una conoscenza accurata questa espressione è un differenziale completo, segue che il moto perpetuo è incompatibile con tali forze.(3)
E' abbastanza evidente sin dal titolo dell'articolo di Airy dove quest'ultimo voglia arrivare: capire i limiti matematici di validità entro cui si può ragionevolmente riferirsi a un moto come perpetuo.
Le condizioni per ottenere quest'ultimo vengono così definite (la mia spiegazione è un adattanmento di quella di Airy(3)): prendiamo un pendolo; la velocità del peso alla fine della corda del pendolo sarà massima nel punto più basso, ma ad ogni nuova oscillazione questa velocità si riduce a causa dell'attrito, rendendo inevitabile l'arresto del moto. Gli orologi a pendolo funzionano, in principio, proprio grazie alla correzione che gli ingranaggi fanno della perdita dovuta all'attrito, sebbene ciò non impedisca loro di dover essere periodicamente ricaricati (in qualche modo questa correzione implica una spesa di energia che va ripristinata). Per avere un moto perpetuo, la forza che si oppone al moto deve funzionare proprio come gli ingranaggi dell'orologio a pendolo: controbilanciare esattamente l'attrito in modo tale che la velocità nel punto più basso di oscillazione sia costante nel tempo.
Un sistema di questo genere, un orologio a pendolo perpetuo lo si potrebbe chiamare, viene descritto dal matematico attraverso un'equazione differenziale, la cui risoluzione analitica non è per nulla semplice. Quindi, per ottenere un risultato, Airy è costretto a trascurare uno dei due termini. Senza discutere la sua soluzione (d'altra parte neanche Airy è interessato a ciò, ma alla possibilità che, concettualmente, possa esistere una soluzione al problema matematico), dal punto di vista della fisica trovare una soluzione approssimata coincide con il trovare le condizioni reali per rendere un moto, seppur per un tempo limitato, compatibile con un moto perpetuo. O capire, ad esempio, per quali angoli il moto di un pendolo è descrivibile con le equazioni approssimate scoperte da Galileo Galilei.
Si può, più in genrale, considerare l'articolo di Airy come uno dei primi, se non il primo tentativo di affrontare in maniera scientifica il problema del moto perpetuo.
Termodinamicamente
Scrive max Planck nel Trattato sulla termodinamica del 1945:
E' impossibile ottenere il moto perpetuo per via meccanica, termica, chimica, o qualsiasi altro metodo, ossia è impossibile costruire un motore che lavori continuamente e produca dal nulla lavoro o energia cinetica.
Dal punto di vista della termodinamica si possono definire due tipi distinti di moti perpetui, quello di prima e quello di seconda specie.
Quello di prima specie implica la violazione del primo principio della termodinamica, o della conservazione dell'energia: in pratica lo si realizzerebbe con una macchina in grado di produrre una quantità di energia superiore a quella consumata, in modo tale da autoalimentarsi. Macchine che vorrebbero realizzare questo genere di moto perpetuo utilizzano magneti come fonti di energia, ma sebbene riescano a muoversi per tempi lunghi, sono comunque destinate a fermarsi poiché non possono in alcun modo estrarre energia gratuita.
Il moto perpetuo di seconda specie, invece, implica la violazione del secondo principio della termodinamica, visto che sistemi di questo genere implicherebbero il trasferimento di energia da un corpo freddo a un corpo caldo senza spendere lavoro. Detto in termini più semplici, tali macchine avrebbero un rendimento pari al 100%, visto che dovrebbero convertire l'energia termica estratta da una data sorgente completamente in energia meccanica, ad esempio. In questo caso il primo principio non verrebbe violato.
Nell'ottica di questa classificazione la ricerca di un moto perpetuo diventa la ricerca di una violazione di uno dei due principi della termodinamica e quindi una ricerca molto più fondamentale di quella che i costruttori di macchine a moto perpetuo hanno finora condotto, al di là delle loro ultime motivazioni.
Il post, per quanto non completo, si basa su History of perpetual motion machines su en.wiki
(1) Richard Feynman, Mr. Papf's Perpetual Motion (traduzione in italiano a cura del CICAP)
(2) Donald E. Simanek, A perpetual futility
(3) Airy, G. B. (1830). On certain conditions under which a perpetual motion is possible. Cambridge Philosophical Transactions.

Leggi anche:
The museum of unworkable devices
Perepiteia
Perpetual Motion di Arthur W. J. G. Ord-Hume

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