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venerdì 11 novembre 2016

Gli anelli di Emmy Noether

Non sempre gli anelli si mettono al dito. O al naso. O... Attenzione: post avanzato
Uno dei risultati più famosi di Emmy Noether è l'omonimo teorema sulle grandezze invarianti in fisica. La matematica tedesca, però, ha prodotto una quantità incredibile di lavori in poco meno di trent’anni in svariati campi. Con uno dei più importanti, Idealtheorie in Ringbereichen(1), ha fondato la teoria degli anelli commutativi, fornendone una prima, generale definizione.
Provando a semplificare ciò che leggerete più sotto con (si spera) maggior dettaglio, si potrebbe scrivere così: si parte da un insieme matematico chiamato anello (vedi definizione più avanti). All’interno di un anello si possono eventualmente definire dei particolari sottoinsiemi chiamati ideali. Emmy Noether ha dimostrato che, se in un dato anello si riescono a trovare una serie di ideali incastrati uno dentro l’altro, un po’ come delle scatole cinesi, allora un qualsiasi ideale di quell’anello è costruito utilizzando un numero finito di sottoinsiemi ideali, o se preferite una qualsiasi scatola ideale che posso costruire utilizzando elementi dell'anello è costituita a sua volta da un numero finito di scatole più piccole, anch’esse ideali.
A questo si aggiunge un risultato forse ancora più importante, che generalizza il teorema fondamentale dell’artimetica. Si parte da quelle che potremmo chiamare, seguendo l’analogia delle scatole, le scatole elementari. Allora ogni scatola ideale di un anello noetheriano è costituita da un numero finito di scatole elementari.
Scritto ciò, avvertendovi in anticipo, il resto del post è una descrizione decisamente più tecnica di quanto riportato qui sopra. Se avete voglia, proseguite la lettura, altrimenti quanto letto vi dovrebbe bastare per capire il risultato ottenuto da Emmy Noether.
Anelli matematici
In matematica, per anello, si intende un insieme $R$ di oggetti cui vengono abbinate due operazioni binarie, $+$ e $\cdot$, e che soddisfa ai seguenti assiomi:
  1. $R$ è un gruppo abeliano sotto $+$, l'addizione
  2. $R$ è un monoide(2) sotto $\cdot$, la moltiplicazione
  3. La moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione
La prima definizione assiomatica degli anelli venne prodotta nel 1914 da Abraham Fraenkel(3), mentre nel 1921 tocca a Emmy Noether fornire una definizione assiomatica degli anelli commutativi(1): un anello commutativo è un anello la cui operazione di moltiplicazione è commutativa. Uno degli esempi più semplici di anello (commutativo) è l’insieme dei numeri interi dotato delle operazioni usuali di somma e prodotto.
Gli anelli sono oggetti abbastanza complicati anche a causa delle definizioni degli oggetti che li costituiscono, come l'unità, definita come l'elemento che possiede l'inverso moltiplicativo o i divisori nulli (zero divisors), ovvero un elemento non nullo $a$ dell'anello tale che esiste un altro elemento non nullo $b$ che verifica l'espressione $ab=0$. E' chiaro che qualcosa del genere può accadere, ad esempio, in un anello di matrici, dove il prodotto di due matrici i cui termini sono non nulli può generare una matrice nulla(4).
Si possono, poi, definire alcuni particolari sottoinsiemi di un anello, come ad esempio un ideale. Un dato sottoinsieme $I$ di un anello $R$ è detto ideale di $R$ se soddisfa alle seguenti condizioni:
  1. $(I,+)$ è un sottoinsieme di $(R,+)$
  2. $\forall x \in I$, $\forall r \in R$ $:$ $x \cdot r$, $r \cdot x \in I$
O detto in altri termini: se prendiamo un qualunque insieme, ad esempio l'$R$ di cui sopra, e applichiamo la somma ai suoi elementi, otteniamo un nuovo insieme (che poi risulta, nello specifico, un gruppo abeliano, come abbiamo visto dalla definizione di anello), che possiamo identificare come $(R,+)$. Allora la prima condizione ci dice che se facciamo la stessa cosa agli elementi di $I$, l'insieme che otteniamo deve risultare un sottoinsieme (quindi deve trovarsi all'interno) di $(R,+)$.
Prendiamo, ora, in considerazione l'operazione di prodotto. Se moltiplichiamo un elemento di un qualsiasi sottoinsieme di $R$ per un numero che si trova all’esterno di questo sottoinsieme, in generale il risultato sarà sicuramente un elemento di $R$, ma potrebbe non appartenere al sottoinsieme. Se invece il risultato di questo prodotto è un numero del sottoinsieme, allora quest'ultimo sarà un ideale.
L'esempio più semplice di ideale è il sottoinsieme dei numeri pari, sia positivi sia negativi, all'interno dell'anello dei numeri interi. Infatti la somma di due numeri pari qualsiasi sarà ancora un numero intero, mentre il prodotto di un numero pari per un qualsiasi numero dispari sarà sempre un numero pari.
Anelli noetheriani
Ora che abbiamo un'idea approssimativa degli anelli, si può provare a raccontare, sempre in maniera approssimativa, il lavoro di Emmy Noether.
Prendiamo in considerazione una catena $a_i$ di numeri all’interno di un dato insieme. Possiamo dire che tale catena è ascendente se $a_1 \,\leq\, a_2 \,\leq\, a_3 \,\leq\, \cdots$, mentre è discendente se avviene il contrario, $\cdots \,\leq\, a_3 \,\leq\, a_2 \,\leq\, a_1$. La stessa cosa la si può fare anche con i sottoinsiemi utilizzando la relazione di inclusione. In particolare, se prendiamo gli ideali di un dato anello $R$, possiamo costruire una catena ascendente $I_i$ di ideali se \[0 \subseteq I_0 \subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots\] Emmy Noether ha dimostrato che se in un anello esiste una catena ascendente di ideali, allora ogni ideale è generato da un numero finito di elementi(1). Anelli di questo genere sono stati chiamati anelli noetheriani dal matematico francese Claude Chevalley nel 1943.
Sempre nello stesso articolo(1), Noether dimostrò la generalizzazione di un teorema precedentemente dimostrato da Emanuel Lasker nel 1905(5). Il concetto che serve per comprendere il teorema è quello di ideale primo, ovvero un ideale in cui, dato l'elemento $xy$ appartenente ad $I$, almeno uno tra $x$ e $y^n$ continua ad appartenere al dato ideale, per un qualche $n > 0$. Quello che è oggi noto come teorema di Lasker-Noether afferma che ogni ideale di un anello neotheriano può essere decomposto in un numero finito di ideali primi e tale definizione è unica. Di fatto è una una generalizzazione del teorema fondamentale dell'aritmetica.
  1. Noether, E. (1921). Idealtheorie in Ringbereichen Mathematische Annalen, 83 (1-2), 24-66 DOI: 10.1007/bf01464225 (versione scannerizzata)
  2. Per monoide si intende un insieme dotato di una singola operazione binaria e dotato delle seguenti proprietà: chiusura, associatività ed elemento neutro rispetto all’operazione
  3. Fraenkel, A. (1914). Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen. J. reine angew. Math. 145: 139–176.
  4. E' interessante osservare come, prendendo ad esempio l'insieme delle matrici $2 \times 2$, questo risulti un anello, ma non commutativo, poiché il prodotto tra due matrici non presenta tale proprietà.
  5. Lasker, E. (1905). Zur Theorie der moduln und Ideale Mathematische Annalen, 60 (1), 20-116 DOI: 10.1007/BF01447495 (sci-hub)

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