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lunedì 9 gennaio 2017

Mondo Matematico: Il teorema di Pitagora

Proseguo con le recensioni/approfondimenti della collana da edicola Mondo Matematico. Dopo il volume sui numeri primi e quello dedicato alla crittografia, è oggi il turno del Teorerma di Pitagora (vi consiglio di leggere anche il post di Mauro Merlotti dedicato al teorema di de Gua, a metà strada tra dimostrazione non standard e generalizzazione di quello di Pitagora).
La setta dei numeri
Se da un lato la cavalcata nella crittografia è da considerarsi non solo una lettura interessante, ma necessaria visti i tempi, quella dedicata al teorema di Pitagora è più divertente e coinvolge concetti matematici probabilmente più leggeri, utilizzati anche nell'ambito più familiare della matematica creativa.
L'inizio è quasi leggendario: Pitagora viene infatti considerato come il primo matematico a capo di una vera e propria setta che ha fatto dei numeri quasi un oggetto di culto. Interessanti in questo senso sono i versi aurei e le regole che sono alla base della setta pitagorica e che si dimostrano molto simili ai precetti delle moderne religioni. Persino i concetti più propriamente filosofici si dimostrano incredibilmente influenti nel pensiero occidentale, ritrovandoli successivamente in filosofi come Aristotele e Platone.
I numeri avevano, dunque, un'importanza fondamentale per i pitagorici, a partire dall'1, il generatore di tutti i numeri, senza dimenticare il 2, simbolo della diversità e dell'indefinito, e il tre, unione dell'1 e del 2, simbolo dell'armonia della perfezione. Ciò non vuol dire che era considerato un numero perfetto, visto che i numeri perfetti sono tali solo se uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso: e il primo di questa lista è il 6. In mezzo il 4, simbolo di giustizia, e il 5, simbolo del matrimonio e del triangolo divino, facendo parte della più piccola terna pitagorica.
E con la terna entriamo nell’argomento centrale del libro: il teorema di Pitagora. E questo è l'enunciato originale così come scritto nel libro di Claudi Alsina:

Dato un triangolo con i vertici $ABC$, l'angolo $A$ è retto (triangolo rettangolo), se e soltanto se l'area del quadrato costruito sul lato $a$, opposto a $A$, corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati $b$ e $c$.
Come potete notare l'enunciato originale è un ribaltamento dell'enunciato usuale che ci viene insegnato a scuola: ciò è possibile grazie a quel "se e soltanto se" che permette di ribaltare qualunque teorema (dimostrato vero) in cui è presente.
Una nuova classe di numeri
L'importanza del teorema di Pitagora, però, va oltre la geometria (in questo senso le terne pitagoriche erano probabilmente note già agli antichi egizi, ad esempio) e investe la teoria dei numeri. Nella loro classificazione, infatti, i numeri ricadevano in due grandi categorie: i naturali e i razionali, definiti come il rapporto tra due numeri naturali. E' proprio grazie al teorema di Pitagora che emerge la prima classe di numeri che rompe questo schema ritenuto perfetto dai pitagorici: la radice quadrata di 2, $\sqrt 2$.
Supponiamo, infatti, di avere un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti siano lunghi 1. La sua ipotenusa, allora, sarà esattamente pari a $\sqrt 2$, un numero che già gli antichi greci non riuscivano a rendere razionale, come praticamente la radice quadrata di tutti i numeri primi ad esempio, costringendoli a definire la nuova classe di numeri irrazionali.
Sebbene già gli antichi babilonesi(1) possedevano un'approssimazione per $\sqrt 2$(2): \[1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{30547}{21600} = 1.41421\overline{296}\] La prima dimostrazione della sua irrazionalità si trova, invece, negli Analytica Priora di Aristotele e da questa ne sono state realizzate innumerevoli, basate ora sulla fattorizzazione, ora sul calcolo, ora sulla geometria. In particolare in quest'ultimo campo è possibile trovare una splendida rappresentazione geometrica della serie delle radici quadrate di tutti i numeri naturali a partire da un quadrato di lato 1.

Ilustrazione da Dynamic Symmetry: The Greek Vase (1920) di Jay Hambidge - via commons
Tra l'altro $\sqrt 2$ è alla base della serie di fogli di classe A (ma anche B e C) oltre che alla base dell’apertura del diaframma di un qualunque obiettivo analogico.
Dal bnumero aureo al numero plastico
Più in generale con le radici quadrate dei numeri naturali è possibile costruire una spirale detta di Teodoro, senza contare l'importanza in specifiche figure geometriche di ciascuna delle radici prime. In particolare $\sqrt{5}$ è alla base del numero aureo: \[\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\] Il numero aureo, tra l'altro, è definito sulla geometria piana a partire da un quadrato di lato 1, allungando uno dei lati fino a intersecarsi con un arco di circonferenza il cui centro è posto a metà del lato originario e il raggio è dato dalla distanza di questo punto con uno dei vertici del lato opposto:

Rettangolo aureo - via commons
Utilizzando il teorema di Pitagora è semplice determinare la formula che definisce $\varphi$.
A questo si affianca poi il numero plastico, equivalente tridimensionale di quello aureo, scoperto nel 1928 dal monaco e architetto olandese Dom Hans van der Laan come unica soluzione reale dell’equazione cubica $x^3 = x+1$.
Analogamente al numero aureo, con il numero plastico si possono costruire dei parallelogrammi plastici che hanno nello spazio delle proprietà analoghe a quelle dei rettangoli aurei nel piano.
Tra le curiosità interessanti a contorno della lettura ci sono poi l'applicazione del teorema di Pitagora nella costruzione del tunnel di Samo all'incirca 3500 anni fa, o nella quadratura delle figure geometriche (cerchio a parte), o nella prospettiva. Ovviamente c'è anche lo spazio per raccontare le generalizzazioni del teorema, tra cui l'onnipresente ultimo teorema di Fermat o le versioni del teorema in spazi non euclidei.
Una bellissima cavalcata che scorre veloce e senza intoppi, ricca di curiosità ma scritto con il giusto rigore per un libro soprattutto divulgativo.
  1. Approssimazione ritrovata nella tavoletta d'argilla YBC 7289 con una datazione tra il 1800 e il 1600 a.C.
  2. Un'altra approssimazione si trova nel testo di matematica indiana Sulbasutras, redatto tra l’800 e il 200 a.C.: \[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}\]

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