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martedì 14 marzo 2017

Carnevale della matematica #107

Mentre l'edizione dell'anno scorso non era un numero primo (il 95 è divisibile per 5, per esempio!), il 107 è il 28.mo numero primo della lista. Insieme con il prossimo, il 109, formano una coppia di primi gemelli e di conseguenza il 107 è anche un primo di Chen. Se poi aggiungiamo 2 alle altre due cifre del 107 otteniamo 127 e 307 entrambi primi, così come il 701, ovvero il 107 ribaltato! Inoltre mettendo 107 nella formula $2^p - 1$ al posto della $p$ si ottiene un numero primo di Mersenne. 107 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero della forma $2p +1$ con $p$ primo.
Altre curiosità sul 107:
Nel 1983 Allan Brady dimostrò che il massimo numero di passi che una macchina di Turing a quattro stati è in grado di fare su un nastro bianco prima di fermarsi è 107.
Non esiste alcun intero $N$ tale che $N!$ ha esattamente 107 zeri. Lo stesso lo si può dire anche per 3, 31 e 43 (tutti primi).
Modi di ottenere 107:
  1. $107 = 2 + 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 7 \cdot 11$
  2. $107 = (1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3) - 1$
Definito $A_n = 1!+3!+5!+...+(2n-1)!$, allora 107 è un divisore di $A_{53}$ e di tutti gli $A_n$ con $n \geq 53$.
I numeri di Lucas, così chiamati in onore del matematico francese Édouard Lucas, sono una sequenza molto simile a quella dei numeri di Fibonacci definita dalla seguente relazione: \[v_1 = 1, \; v_2 =3 \; v_{n+1} = v_n + v_{n+1}\] Molti numeri di Lucas non sono primi, ma "LuCaS" lo è in un senso un po' più... chimico! Se infatti sommiamo tra loro i numeri atomici di lutezio (LU), calcio (Ca) e zolfo (S) otteniamo... $71 + 20 + 16 = 107$!
Infine 107 è il più piccolo numero primo $p$ per cui la $p$-esima cifra di $\pi$ è uno zero: ed entriamo, così, nel tema dell'edizione, il pi day!
Notizie pi greche #17
Il metodo di esaustione utilizzato da Archimede per ottenere una delle più precise approssimazioni di $\pi$ dell'antichità, per quanto ormai abbandonato nella ricerca delle sue cifre, può essere utile per realizzare delle unità didattiche che permettano di vedere le applicazioni della matematica alla vita di tutti i giorni.
Un buon approccio è quello di combinare l'attività pratica con l'approfondimento storico, spingendo gli studenti stessi a trovare informazioni più dettagliate su Archimede e il suo metodo.
Il passo successivo è quello di applicare il metodo, misurando realmente e con il righello i poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza. Ognuna di queste figure viene fatta disegnare dagli stessi studenti. Partendo dalla figura di partenza dell'esagono, si va successivamente a raddoppiare il numero di lati per due volte, ottenendo in totale tre misure per il $\pi$.
L'attività (pdf), proposta da Alessandra King ai suoi studenti (presumibilmente tra il 2012 e il 2013), presenta almeno tre vantaggi: mostrare la necessità di essere quanto più precisi nella realizzazione dei disegni; far sperimentare con mano il concetto dell'errore di misura sperimentale; permettere di approcciarsi in maniera pratica al concetto astratto di limite.
Sebbene non ci sia alcuna cellula melodica per questa edizione a causa della primalità del 107, Flavio Ubaldini apre anche questo pi day 2017 con Altramatematica a metà prezzo, in effetti segnalazione degli sconti odierni relativamente agli e-book della serie Altramatematica.
A ruota ecco i contributi del fondatore del Carnevale, Maurizio Codogno. Sul Post ecco:
  1. il necrologio di Kenneth Arrow, uno dei (pochi?) economisti che di matematica ne conosceva eccome;
  2. Matematica come specchietto per le allodole, una triste considerazione su come sia usuale mascherare la realtà con un grafico contando sul fatto che nessuno si accorgerà della cosa;
  3. Pi greco fuori dalla matematica, un rapido excursus su come artisti e letterati abbiano usato il numero simbolo del nostro Carnevale
Sulle Notiziole lafanno da padrone i post della serie Povera matematica:
  1. In Disnumerismo ho raccontato di come mi hanno guardato male quando ho pagato con ben cinque monetine messe tutte in un colpo;
  2. Fare le differenze prende spunto da un "illuminato" commento in un post, che mostra come il concetto di differenza non sia poi così chiaro;
  3. Chiara Appendino e la regressione immaginaria (il post credo più visto da sempre sul mio blog) si chiede perché mai alla sindaca di Torino non bastasse dire che l'inquinamento sarebbe sceso e ha dovuto mettere un grafico con una tendenza farlocca;
  4. Fibra ottica e percentuali spiega infine che calcolare la penetrazione della fibra ottica in Italia guardando la percentuale dei comuni a cui arriva da qualche parte non ha un gran senso.
Per le recensioni, invece:
  1. L'infinito in breve di Edoardo Boncinelli, che a dispetto del nome di matematica ne ha poca e comunque non mi è piaciuto;
  2. La scommessa perfetta di Adam Kucharski, che invece consiglio convintamente.
Infine per i quizzini della domenica ecco Non serve la domanda; Numeri ordinati; Da McDonald's™; Finché la barca va.
E ora un bel respiro perché dai tanti post di .mau. passiamo a quello doppio di Leonardo Petrilo, Boltzmann, la distribuzione canonica equella di Maxwell-Boltzmann (1.a parte e 2.a parte):
Il post innanzitutto delinea una biografia del celebre fisico Ludwig Boltzmann, dopodiché si entra nei dettagli fisico-matematici per andare a introdurre la distribuzione canonica (o distribuzione di Boltzmann) e poi quella di Maxwell-Boltzmann.
Notizie pi greche #18
Nel 1644 il matematico Pietro Mengoli propose il così detto problema di Basilea, che chiedeva la soluzione esatta della somma dei reciproci al quadrato di tutti i numeri naturali: \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots \] La soluzione al problema arrivò nel 1735 grazie a Leonard Euler, all'epoca all'inizio della sua brillante carriera di risolutore di problemi. Il matematico svizzero dimostrò che la somma esatta della serie è $\pi^2/6$.
La dimostrazione di Eulero, pubblicata nella sua versione definitiva nel 1741, risulta particolarmente interessante, visto il punto di partenza: supporre di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche a quelli infiniti.
Partiamo con lo sviluppo in serie di Taylor per la funzione seno in $0$: \[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\] Dividendo per $x$ entrambi i termini, si ottiene: \[\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\] le cui radici sono $\pi$, $-\pi$, $2\pi$, $-2\pi$, $3\pi$, $-3\pi$, $\ldots$. Cambiando in questo modo la variabile, ovvero $z=x^2$, il polinomio di cui sopra diventa: \[\frac{\sin(\sqrt{z})}{\sqrt{z}} = 1 - \frac{z}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \frac{z^3}{7!} + \cdots\] le cui radici sono $\pi^2$, $4\pi^2$, $9\pi^2$, $\ldots$.
Ora, dato un polinomio $a_n x^n+\ldots +a_3 x^3+a_2 x^2+ bx +1$, per le formule di Viète, abbiamo che la somma dei reciproci delle sue radici ha come risultato $-b$. Applicando questo risultato dei polinomi finiti al polinomio infinito in $z$ di cui sopra, si ottiene: \[\frac{1}{3!} = \frac{1}{6} = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \frac{1}{16\pi^2} + \cdots\] da cui: \[\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\] I più attenti di voi avranno sicuramente notato come la serie di Mengoli sia legata alla zeta di Riemann, definita come \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\] E' semplice, quindi, vedere che $\zeta(2)$ coincide con la serie di Mengoli: calcolare una o l'altra diventa, quindi, assolutamente equivalente. Tra l'altro nel 1982 apparve sulla rivista Eureka una dimostrazione rigorosa del risultato di Eulero a firma di John Scholes sebbene sembra che tale dimostrazione circolasse già a fine anni sessanta tra i corridoi di Cambridge.
Con Roberto Zanasi un po' di relax grazie a due post leggeri: Una versione animata del teorema di Pitagora, e La mi signora maestra (Il motivo per cui mi piacciono tanto le dimostrazioni senza parole, dice Roberto!).
Ora un altro respiro prima di immergersi nella (letteralmente) marea di contributi dei MaddMaths! diretti da Roberto Natalini, iniziando dal post a tema, Si avvicina il Pi-Day 2017
Il 14 Marzo si festeggia in tutto il mondo il Pi Day. Questa data in formato anglosassone si scrive 3.14 come l'approssimazione ai centesimi del valore di pi greco. Dal 1988, quando il fisico statunitense Larry Shaw organizzò il primo Pi Day all'Exploratorium di San Francisco, sono innumerevoli le iniziative che ogni anno vengono proposte in tutto il mondo. Anche in Italia, molte Università, centri di ricerca, associazioni e scuole di ogni ordine e grado concentrano attorno a questa data simbolica molti appuntamenti di divulgazione Matematica proposte a studenti e spesso aperte a tutta la cittadinanza. Qui nel post trovate gli appuntamenti più rilevanti proposti quest'anno dal Nord al Sud Italia. Per ogni evento è indicato un link dove è possibile trovare il programma dettagliato di ciascuna iniziativa.
Anna Sfard: Tenere a mente il parlare, parlando della mente - Convegno UMI - CIIM 2016
A ottobre a Pavia, qualcuno ha rischiato di perdere il treno per ascoltare Anna Sfard​ della University of Haifa, Israel. Senza nulla togliere ai numerosi accademici italiani, era lei l'ospite più atteso del XXXIII Convegno UMI - CIIM 2016, che si è tenuto a Pavia dal 7 al 9 ottobre scorso sul tema: "Criticità per l'insegnamento della matematica nella scuola di oggi". Ecco il testo e le slide della sua conferenza.
Il vizietto del gerrymandering
Perito elettorale? Ma esiste? Sembrerebbe di si! Almeno fra qualche anno, quando la scuola di formazione per periti elettorali fondata da Moon Duchin, professore associato di Matematica alla Tufts University, sarà a regime (il primo corso della durata di 5 giorni, inizierà il prossimo Agosto). Sorprendentemente, il perito sarà un matematico. Meglio ancora se un geometra. Suo sarà il compito di aiutare i giudici nello stabilire se particolari risultati elettorali non siano soggetti alla pratica costituzionalmente viziosa del cosiddetto gerrymandering. Nicola Apollonio dell'IAC-CNR l'ha commentata per MaddMaths!
Donne, matematica e STEM: il libro che non c'è
Alberto Saracco parla della presenza delle donne nei corsi di laurea STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics, ovvero Scienza, Tecnologia, Ingegneria e Matematica) e recensisce un libro appena uscito sull'argomento. Non gli è piaciuto.
C'era una volta la NASA (recensione del film "Il diritto di contare")
L'8 marzo è uscito in sala il film "Il diritto di contare", che nella versione originale si intitola "Hidden Figures", come il libro da cui la storia è tratta. Ecco la recensione di Anna Maria Cherubini che lo ha visto per noi in anteprima. Attenti agli SPOILER (ce ne sono parecchi). Chi invece volesse una presentazione spoiler free, allora è meglio che legga la presentazione di lancio, sempre di Anna Maria Cherubini
Per le Curiosità Olimpiche di Alberto Saracco
#2 La risposta è 42
Nel lontano 2009 il tema per le gare locali era la Guida galattica per gli autostoppisti di Douglas Adams. Uno dei temi principali della guida era la ricerca della risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'Universo e tutto quanto.
#3 La genesi di un problema
Continua la rubrica Curiosità olimpiche, analizzando la genesi del problema presentato nella seconda puntata.
Dalla mia scrivania guardo il mondo, tondo
Negli anni '80 Vasco Rossi cantava "La primavera insiste la mattina, dalla mia cucina guardo il mondo, tondo". Senza saperlo, credo, Vasco Rossi annuiva ad un problema matematico molto appassionante. Cosa si può dire della forma della terra, guardandola dalla cucina, o magari della scrivania del mio ufficio? Un post di Giuseppe Tinaglia
Matematico o Data Scientist? Istruzioni per l'uso
Nicola Parolini ci segnala un interessante intervento di Jordan Ellenberg, divulgatore americano e professore alla University of Wisconsin, che ha chiesto a Sarah Rich, laureata in Matematica e Computer Science e attualmente al lavoro come Data Scientist per Twitter, cosa avrebbe raccontato ad uno studente di Dottorato di Matematica che stesse considerando la possibilità di cercare lavoro come Data Scientist nel settore industriale.
Nella serie Ripetizioni, ecco la 12.ma puntata, "Rivista"
Davide Palmigiani ci parla questa volta di come scegliere... la foto più bella in un "concorso di bellezza".
Madd-Spot #1, 2017 - Matematica per gli smart materials
Elena Bonetti ci parla di alcuni modelli matematici in grado di descrivere il comportamento degli "smart materials", materiali tecnologici che cambiano in risposta a stimoli esterni... Rubrica a cura di Emiliano Cristiani
Nuovi pianeti e teoria delle singolarità
La notizia delle scoperta di un nuovo sistema planetario con ben sette pianeti le cui orbite hanno caratteristiche compatibili con la presenza di acqua ha, comprensibilmente, suscitato notevole interesse. Tra i vari metodi usati per individuarli, indiretti poiché la luminosità quasi nulla non permette una osservazione diretta, uno merita una certa attenzione per le sue caratteristiche matematiche, il microlensing gravitazionale. Di Nicola Ciccoli
Francesca Matteucci: Yes, I can!
Alessandra Celletti intervista Francesca Matteucci, professoressa ordinaria dal 2000 presso l'Università degli Studi di Trieste. Presidente del Consiglio Scientifico dell'Istituto Nazionale di Astrofisica, è membro del Consiglio Tecnico Scientifico dell'Agenzia Spaziale Italiana. Dal 2003 è socio dell'Accademia dei Lincei per la classe di Scienze.
Da Henri Poincaré a Henri Paul de Saint-Gervais
Sul sito dell'EMS Mathematics in Europe è stata pubblicata una recensione di Sylvie Benzoni del sito web Analysis Situs. La ripresentiamo qui, tradotta da Barbara Nelli (con qualche libertà)
Oltre a tutti i contributi di cui sopra vi aggiungo anche il sondaggio sulla rivista Archimede, da cira un anno diretta proprio da Roberto Natalini. A questo si agiunge un po' di cronaca classica, ovviamente a tema matematico, iniziado con la diretta della gara a squadre della Coppa Nash 2017 curata da Gianluca Faraco (qui i risultati delle squadre femminili).
L'ambientazione un po' particolare delle gare era stata presentata da Luigi Amedeo Bianchi in un divertente post: Friday Afternoon Live -- Gara a Squadre
Infine il diario Olimpico del Romanian Master of Mathematics 2017 di Andrea Bianchi dell'Oliforum: prima parte e seconda parte del suo reportage, cui si aggiunge il commento tecnico di Luigi Amedeo Bianchi sulla buona prestazione della squadra italiana.
Notizie pi greche #19

Frazz di Jef Mallett

Qual'è il risultato dell'operazione $4^\pi = \pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$? In effetti la versione originale del quesito si chiede se il risultato di tale operazione è un intero, ma ai fini della risposta non cambia nulla.
Iniziamo dalla banale osservazione che tale operazione è ancora inaccessibile per qualunque computer, sia per via del fatto che non si possono conoscere tutte le cifre di $\pi$ (ma ciò non ha mai fermato i matematici dei numeri!), sia perché è comunque un'operazione piuttosto lunga da realizzare, almeno con tutti gli esponenziali presenti. Si può, però, provare a ottenere un'idea dell'ordine di grandezza del risultato.
Partiamo, dunque, dall'equazione \[x = \pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}\] Se proviamo a valutarla utilizzando wolframalpha otteniamo \[10^{10^{17.82364533941695}}\] che possiamo provare a rendere un po' più comprensibile nella sua immensità se applichiamo il logaritmo in base dieci \[\lg x = \pi \lg \pi^{\pi^{\pi}}\] In questo caso l'esponente all'interno del logaritmo a destra dell'uguale da, sempre con wolframalpha, come risultato \[1.34 \cdot 10^{18}\] e questo sarà, all'incirca, l'esponente del primo $\pi$ della fila.
Prendiamoci una pausa al femminle con Annalisa Santi che propone, a tema, Diabulus in musica, un vals per il pi greco:
Per questo Carnevale dedicato come al solito al pi day, lascio un articolo in cui parlo di un particolare vals, composto da Jean Filoramo "Vals du pi", insieme al fascino del tritono e alla fama “satanica” cui è legato.
Dallo spartito, che lo stesso Jean Filoramo mi aveva mandato, si evidenzia come sia stata costruita questa melodia utilizzando le 69 prime cifre di $\pi$: \[\pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971\] \[69399 37510 58209 74944 59230 781......\] Questo perché Jean ha deciso di fermarsi a 69 in ricordo del Dipartimento 69 di Lione dove lui è nato.
Insieme al vals e al video della sua prima esecuzione (che mi dedicò) alcune curiosità musicali e "sataniche" legate al tritono, anche chiamato appunto "Diabolus in Musica".
Il trio più famoso del web matematico, i Rudi Mathematici, ci segnala, invece, questo gruppo di post
  1. Perlina Matematica: uno scherzetto sotto carnevale
  2. Un altro problema classico per la strada per Canterbury
  3. Il problema del mese, anche lui di ispirazione classica
Cui si deve aggiungere l'appuntamento mensile con la loro rivista, giunta l numero 218 (pdf). Un altro gruppo particolarmente attivo e affiatato è quello di Math is in the air. Davide Passaro, uno degli amministratori del sito, segnala all'attenzione dei lettori
  1. l'imperdibile intervista a Marco Li Calzi professore di "Metodi matematica dell'analisi economica" alla Ca' Foscari sul suo libro "Matematica dell'incertezza;
  2. proseguiamo con l'articolo di Alessandro Blasetti dal titolo: "Come Netflix capisce il film che volete vedere: matematica, Machine Learning e serie TV";
  3. continuiamo con l'articolo di Fabrizio Calimera dal titolo "Cappuccino matematico" che racconta di come a Fabrizio è capitato di parlare di matematica con una simpatica barista che scrive formule matematiche sui cappuccini;
  4. Andrea Capozio dello staff, invece, ci propone un post su un sito che, in tempi di Data Analysis, offre degli strumenti per spiegare alcuni concetti matematici in modo diverso. Il titolo è "Setosa explained visually: un esempio di lettura attiva";
  5. Enrico Degiuli, inoltre, ci delizia con un bel pezzo di taglio storico dal titolo: "Equazioni cubiche e sfide matematiche";
  6. concludiamo, infine, in bellezza con un post in pieno tema del pi greco day dal titolo: "pi-ccola fiaba". L'autore è Francesco Bonesi specializzato in articoli folli a tema matematico.
Notizie pi greche #20

Heart of the City di Mark Tatulli

Come abbiamo visto l'anno scorso, Ludolph van Ceulen nel 1596 arrivò prima a calcolare 20 cifre decimali, quindi 35 utilizzando il metodo dei poligoni, che venne utilizzato da altri matematici prima di decadere: ad esempio Willebrord Snellius nel 1621 calcolò 34 cifre, mentre l'astronomo austriaco Christoph Grienberger nel 1630 raggiunse la cifra record di 38 cifre utilizzando un poligono di 1040 lati: questo risultato costituisce il più accurato mai raggiunto utilizzando il metodo dei poligoni.
A soppiantare tale metodo arrivarono le serie infinite: il primo a utilizzarle in Europa fu il matematico francese François Viète nel 1593 \[\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots\] cui seguì nel 1655 John Wallis \[\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\] La matematica europea, però, era arrivata a questo metodo solo dopo la matematica indiana, per quanto indipendentemente. In India, infatti, si trovano testimonianze di primi approcci di questo genere tra il 1400 e il 1500. La prima serie infinita utilizzata per calcolare $\pi$ si trova, infatti, sulle pagine del Tantrasamgraha (l'etteralmente "compilazione di sistemi") dell'astronomo indiano Nilakantha Somayaji, all'incirca 1500-1501. La serie, presentata senza alcuna dimostrazione (successivamente pubblicata nello Yuktibhāṣā, 1530 circa), era attribuita da Nilakantha al matematico Madhava of Sangamagrama, vissuto tra il 1350 e il 1425 circa. A quanto pare Madhava scoprì diverse serie infinite, incluse molte che contengono il seno, il coseno e la tangente. Il matematico indiano utilizzò tali serie per arrivare fino a 11 cifre intorno al 1400, valore che venne migliorato intorno al 1430 dal matematico persiano Jamshīd al-Kāshī grazie all'impiego del metodo dei poligoni.
Mi da sempre un qual certo senso di sicurezza avere accanto ai miei i contributi di Marco Fulvio Barozzi, ed è per questo che, pur se le sue segnalazioni sono state abbastanza sprint (grazie al twitter) ho deciso di inserirli proprio poco prima dei miei. Iniziamo con il Il genio di Clifford, ritratto del matematico, filosofo, scrittore di fiabe e poeta vittoriano William Kingdon Clifford, il cui principale risultato matematico è l'algebra che porta il suo nome e generalizza quella alla base dei numeri complessi e dei quaternioni di Hamilton.
A questo segue il breve articolo matematico-letterario La Grande Muraglia di Kafka (e Cantor), che costruisce una connessione tra due menti forse un po' folli come quelle del grande scrittore praghese e del grande matematico tedesco.
Entrambi i post sono usciti su Through the optic glass, la rivista che Popinga sta portando avanti su Medium.
E veniamo, finalmente, ai contributi del padrone di casa (che poi sarei io!). Inizio con Le dimensioni (di una rete) contano, ovvero di come, esaminando le dimensioni di varie reti, ci si rende conto che molte delle loro proprietà dipendono dalle dimensioni della rete stessa.
Il resto, invece, fa tutto parte della serie Le grandi domande della vita: si inizia con Viaggiatori uniti contro il cosmo, dove, in mezzo a tanta fisica, ci sono anche i numeri primi e una particolare radice; quindi Cerchi e numeri, dove si calcolano in mezzo al cosmo serie ed equazioni; successivamente C'era una volta, centrato soprattutto sul tempo e sul pi greco; e infine l'edizione sprint, anche questa centrata sul $\pi$ a meno dell'universo!
Il Carnevale per quest'edizione è finito, e non mi resta altro se non salutarvi, ricordando che la prossima edizione verrà ospitata da MaddMaths!

1 commento:

  1. A me danno sicurezza gli articoli e i Carnevali di Gianluigi Filippelli!

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