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venerdì 3 marzo 2017

Le grandi domande della vita: C'era una volta...

Due i principali protagnisti di questa edizione: il tempo (che mi ha permesso di riciclare, con nuova impostazione, quanto avevo scritto per la recensione di OraMai di Tuono Pettinato) e il pi greco, inserito per l'avvicinarsi del pi day, ricorrenza che come ogni anno non mancheremo di festggiare tutti inseme!
L'oscuro mistero del tempo

Ilya Prigogine secondo Tuono Pettinato
Ben due domande sul tempo: una sulla sua linearità e l'altra sul fatto di essere una dimensione o qualcosa d'altro. Entrambe le domande sono due aspetti di quella più generale sulla natura del tempo.
Secondo Albert Einstein (che non ci abbandona mai in questa serie!), il tempo è
Quella cosa che si misura con l'orologio.
D'altra parte il Premio Nobel per la Chimica Ilya Prigogine propose le idee, forse inquietanti, di tempo termico e freccia del tempo, ovvero esiste una direzione che, una volta intrapresa, non può essere percorsa al contrario: il piatto che si rompe, non si ricompone; l'uomo che invecchia, non ringiovanisce; e così via. Questa definizione è fortemente legata all'entropia e viene descritta con grande leggerezza da Carlo Rovelli:
La caratteristica più saliente del tempo è che va avanti e non indietro, cioè la sua irreversibilità. È l'irreversibilità a caratterizzare ciò che chiamiamo tempo. I fenomeni "meccanici", cioè i fenomeni in cui non entra il calore, sono sempre reversibili. Cioè, se li filmate e li proiettate all'indietro vedrete fenomeni perfettamente realistici. Per esempio filmate un pendolo, oppure un sasso lanciato verso l'alto che sale e poi ridiscende, e guardate il film al contrario, vedrete ancora un ragionevolissimo pendolo, o un ragionevolissimo sasso che cale e poi ridiscende. Ah! direte voi, ma non è vero! Quando il sasso arriva a terra si ferma, se guardo il film vedo un sasso che salta da solo a partire dalla terra, e questo è impossibile. Esatto, e infatti quando il sasso arriva a terra si ferma, e dove va la sua energia? Va a scaldare la terra su cui è caduto! Si trasforma in un po' di calore. Nel preciso momento in cui si produce calore, avviene un fenomeno irreversibile: un fenomeno che chiaramente distingue il film diritto da quello rovescio, il passato dal futuro. È sempre il calore, in ultima analisi, a distinguere il passato dal futuro.
Dal punto di vista strettamente matematico il tempo è, in ogni caso, una delle quattro dimensioni geometriche dello spazio in cui siamo immersi, quindi è una dimensione come quelle spaziali, ma abbiamo bisogno di distinguerle attraverso una geometria non euclidea, che si è dimostrata più efficace per consentire alla fisica di descrivere il nostro universo.
Il modo con cui viviamo il tempo è, però, soggettivo, legato al modo con cui interagiamo con le condizioni esterne: con questa idea in testa Claudia Hammond ha ideato alcuni esperimenti per valutare la precisione del cosìddetto "orologio interno", usualmente precisissimo a meno di situazioni stressanti.
Quindi il tempo è una dimensione che però non siamo in grado di percorrere in entrambe le direzioni, essendo legato a fenomeni irreversibili, e lo sperimentiamo in termini soggettivi.
E la sua linearità? In termini matematici, questa è una proprietà di una relazione o di una funzione rappresentabile attraverso una linea dritta. E il tempo è lineare, come funzione della posizione e della velocità, solo nel moto rettilineo uniforme, mentre già in quello uniformemente accelerato il tempo è quadratico. Imagino, però, che il lineare sia inteso come sinonimo di sequenziale, ma a questo punto bisognerebbe chiedersi: è il tempo, che è una delle dimensioni dell'universo, ad essere sequenziale o sono gli eventi che in esso accadono a essere sequenziali? E secondo me è più corretto parlare di eventi sequenziali e non di tempo sequenziale. Ed è anche abbastanza ovvio che tutte queste domande sul tempo non ce le porremmo senza l'invecchiamento!
Alla ricerca dell'infinito
Un'altro quesito da programmatori, ovvero determinare il risultato del seguente esponente: \[2^{2^{2^{\cdots^{\infty}}}}\] Al di là di come si calcola l'esponente di cui sopra, oserei dire che il risultato è sempre e comunque una divergenza, nonostante le risposte abbastanza originali e complesse proposte su Quora. Solo una piccola osservazione: chissà Cantor se darebbe un qualche nome particolare a questo genere di numeri...?
Il neutrone e il campo magnetico
Ma il neutrone è influenzato dal campo magnetico?
In effetti, globalmente, il neutrone è una particella neutra, quindi il campo magnetico non ne può modificare la traiettoria, ma come sappiamo dal modello standard esso è una particela composta da quark, che invece hanno carica, per quanto frazionaria. Non a caso, quindi, è possibile misurare il momento magnetico del neutrone. Tale misura venne effettuata per la prima volta da Robert Bacher e Ann Arbor nel 1933 e da Igor Tamm e Semen Altshuler nel 1934. Il valore vnne ricavato in maniera indiretta, mentre la prima misurazione diretta risale al 1940 grazie a Luis Alvarez e Felix Bloch.
L'irrazionalità di $\pi$
Visto che ci stiamo avvicinando al pi day e al conseguente Carnevale che, come tradizione, verrà ospitato qui su DropSea, mi permetto di estrarre da una delle puntate della breve storia del pi greco, la risposta alla classica domanda (quasi un ever green) sull'irrazionalità del numero di Archimede:
Il primo a dimostrare la natura irrazionale di $\pi$ fu Johann Heinrich Lambert nel 1761 in Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques:
che in termini moderni può essere scritta come segue: \[\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}\] Lambert dimostrò che se $x$ è non nullo e razionale, allora questa espressione deve essere irrazionale. E poiché $\tan (\pi /4) = 1$, segue che $\pi$ è irrazionale.
Una semplificazione di questa dimostrazione è stata proposta da Laczkovich nel 1997, mentre Li Zhou, nel 2009, ne ha proposto una variazione che fa uso del calcolo integrale.
In particolare la seconda dimostrazione dell'irrazionalità di $\tan x$ e quindi di $\pi$ prende ispirazione dalla dimostrazione del 1873 che Charles Hermite lasciò in due lettere a Paul Gordan e Carl Borchardt. Una semplificazione di questa dimostrazione, che utilizza la tecnica della riduzione per assurdo, è stata proposta da Mary Cartwright, così come divulgato da Harold Jeffreys in Scientific interference del 1973.
Un'ultima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$, che sta tra l'altro in una paginetta, è data da Ivan Niven nel 1946. La trascendenza di $\pi$, invece, così come quella di $e$, è una diretta conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass che afferma che, dati $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ numeri algebrici linearmente indipendenti nel campo dei numeri razionali, allora $e^{\alpha_1}$, $\cdots$, $e^{\alpha_n}$ sono algebricamente indipendenti sui razionali, dove per numero algebrico si intende un numero che è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Nel 1882 Lindemann, utilizzando proprio questo teorema, dimostrò che $e$ è trascendentale, e quindi, utilizzando l'identità di Eulero, si può dimostrare anche la trascendenza di $\pi$.
Gli ever green: Storia della matematica
Qual è il miglior libro di storia della matematica?

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