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domenica 28 gennaio 2018

Ritratti: Ludolph van Ceulen

Recupero, con colpevole ritardo, il "ritratto" di uno degli ultimi matemtici a calcolare il $\pi$ con il metodo dei poligoni.
Non è raro leggere di matematici che, prima di ottenere il giusto riconoscimento, devono superare grandi difficoltà. Non fa eccezione Ludolph van Ceulen, matematico tedesco nato il 28 gennaio 1540 a Hildesheim. Il padre, Johannes Van Ceulen, era un piccolo commerciante che non navigava certo nell'oro e non poteva permettere un'educazione avanzata per un figlio che, invece, mostrava un certo interesse per la matematica. In questa situazione la principale difficoltà era rappresentata dal latino (e in parte dal greco), lingua nella quale erano scritti i testi basilari oltre che quelli più recenti nel campo all'epoca. E il latino era una materia da studi avanzati.
Una vita in viaggio
Altra fondamentale difficoltà era data dal periodo storico particolare in cui si trovò a vivere Ludolph. A quel tempo, infatti, la vita per i protestanti era piuttosto complicata: l'inquisizione spagnola era, infatti, sufficientemente potente da estendere le sue lunghe mani addirittura in Germania. I Van Ceulen, in quanto protestanti, furono costretti, come molti nelle stesse condizioni, a emigrare verso i più accoglienti Paesi Bassi del principe Guglielmo d'Orange.
D’altro canto lo stesso Ludolph ha avuto la propensione del viaggiatore: subito dopo la morte del padre si fece un viaggietto prima nella regione della Livonia, tra le attuali Lettonia ed Estonia, quindi ad Anversa per andare a trovare il fratello Gert e quindi a Delft nei Paesi Bassi dove si stabilì per un certo tempo, considerato che lì nacque una dei suoi cinque figli il 4 maggio del 1578.
La moglie, Mariken Jansen, morì nel 1590, ma il buon Ludolph rimase per poco in stato di vedovanza, risposandosi il 17 giugno di quell'anno con Adriana Simondochter, vedova di Bartholomew Cloot, contabile e insegnante di matematica, con il quale aveva generato ben otto figli, per un totale così di 13 bocce da sfamare. Le due famiglie Cloot e Van Ceulen erano in stretti rapporti di amicizia, quindi è abbastanza scontato immaginare che il matrimonio tra i due coniugi rimasti fosse la soluzione migliore per non disperdere un saldo rapporto.
Del tirar di scherma e matematica
L'altra passione di Ludolph oltre la matematica era la scherma e una delle sue prime attività fu quella di fondare una scuola di scherma a Delft nel 1580, con il beneplacito (e probabilmente anche i fondi) della municipalità. La permanenza a Delft fu però anche ricca di spunti matematici: come nella migliore tradizione dell'epoca, i matematici si sfidavano, in questo caso a colpi di articoli. Van Ceulen ricevette alcune sfide come quella di William Goudaan di Haarlem su un problema geometrico: la soluzione del primo si rivelò scorretta, come scrisse in un apposito articolo del 1584 Van Ceulen.
Una seconda e più importante sfida avvenne con Simon van der Eycke, che nel 1584 propose una dimostrazione sulla quadratura del cerchio. In due articoli del 1585 e del 1586 Van Ceulen mostrò l'errore nel lavoro di van der Eycke e probabilmente furono proprio questi lavori che lo spinsero ad avvicinarsi al lavoro di Archimede. Per poterlo studiare e apprezzare era, però, necessario superare l'ostacolo principale: i trattati del matematico greco era diffusi esclusivamente in latino e/o greco. Per fortuna di Ludolph gli venne in soccorso il borgomastro di Delft, Jan Cornets de Groot, che provvide a tradurgli i lavori di Archimede: e fu così che Van Ceulen dedicò la maggior parte della sua attività matematica a calcolare $\pi$ e il maggior numero possibile di cifre decimali.
A caccia dei segreti del pi greco
Il primo importante risultato in questa ricerca venne pubblicato nel trattato Vanden circkel (Sul cerchio) del 1596 dove vennero presentate 20 cifre decimali corrette per $\pi$ utilizzando un poligono di $15 \cdot 2^{31}$ lati. Successivamente, grazie a un poligono di $2^{62}$ lati, arrivò a 35 cifre decimali: questo risultato venne pubblicato postumo, prima in un articolo uscito nel 1615 su iniziativa di Adriana Simondochter, dove vennero pubblicate 33 delle 35 cifre, quindi nel 1621 su Cyclometricus, trattato del suo allievo Willebrord Snell, che peraltro tradusse in latino alcuni dei lacori di Van Ceulen per permetterne una maggiore diffusione.
Il suo metodo, variazione di quello di Archimede, conduce alla formula che potremmo definire la formula di Van Ceulen \[\pi = n \sin \frac{180^\circ}{n}\] Per ricavarla, prendiamo una circonferenza di raggio $\frac{1}{2}$, così che la circonferenza stessa risulta pari a $\pi$. Dato un qualunque poligono regolare inscritto all'interno della circonferenza, il suo perimetro sarà dato dal prodotto degli $n$ lati per la lunghezza del lato $l$. Prendiamo un lato qualunque: essendo una corda in una circonferenza, esso risulta perpendicolare con il raggio passante per il punto medio, generando così due triangoli rettangoli con angolo di vertice O centro del cerchio pari a $\theta$. Utilizzando il teorema dei seni, è semplice vedere che \[\sin \theta = 2 \frac{l}{2} = l\] e quindi il perimetro del poligono sarà dato da \[n \sin \theta\] All'interno del poligono possono costruire $2n$ triangoli rettangoli, quindi dividendo l'angolo giro per il numero dei lati ottengo il valore di $\theta = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}$ e da qui la formula di Van Ceulen, il cui risultato sarà più vicino al valore di $\pi$ all’aumentare del numero dei lati del poligono.
Come Archimede, anche Van Ceulen produsse un limite massimo, 3.14159265358979323846264338327950289, e un limite minimo, 3.14159265358979323846264338327950288, scolpiti sulla sua pietra tombale in quel di Leida.
Van Ceulen on MacTutor
Bary Cipra, Digist of Pi, What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 6 (pdf)
(2000) Computing Pi-oneer. Science, 289(5477), 241e-241.
Video: How to calculate Pi

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