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venerdì 19 luglio 2019

I rompicapi di Alice: Dalla Terra alla Luna

Samuel Loyd è stato uno scacchista, un compositore di scacchi e un ideatore di enigmi matematici. Il gioco più noto tra quelli a lui associati, però, non è stato ideato da Loyd, ma dal postino Noyes Palmer Chapman nel 1874: è il gioco del 15, diffuso da Loyd nel 1880 e quindi pubblicato postumo nell'edizione della Cyclopedia of Puzzles del 1914 curata dal figlio omonimo di Loyd.
Cresciuto a New York, pubblicò il suo primo problema scacchistico a 15 anni. Come giocatore ebbe una sola partecipazione degra di nota, a un torneo tenutosi a Parigi nel 1867, dove arrivo nono su 13 partecipanti.
Ben diverso il suo talento come compositore di problemi scacchistici: si concentrò principalmente sui problemi in tre o più mosse, tutti piuttosto originali. La caratteristica principale dei suoi problemi, però, è quella di partire da spunti umoristici o di proporre la soluzione sotto forma di storiella divertente.
In alcune occasioni creava dei problemi particolari, come ad esempio quello legato alla sfida per il titolo mondiale del 1866 tra l'austriaco Wilhelm Steinitz e il polacco Johannes Zukertort dove i pezzi formano le lettere Z e S, le iniziali dei cognomi dei due sfidanti.
Tra i suoi rimpicapi preferiti c'era il tangram, a proposito del quale pubblicò un libro contenente centinaia di configurazioni originali dei pezzi del gioco.
Da appassionato di rompicapi Martin Gardner non poteva, allora, lasciarsi sfuggire l'occasione di curare una raccolta di rompicapi di Loyd: nascono, così, i Passatempi matematici, che raccolgono alcuni dei rompicapi presenti in Cyclopedia of Puzzles. In particolare nel secondo volume della serie sono presenti un paio di rompicapi lunari.
Sulla Luna nel pallone
Pubblicato nel 1835, L'incomparabile avventura di un certo Hans Pfaall è un racconto di Edgar Allan Poe dove il protagonista del racconto si mette a bordo di un pallone aereostatico con l'obiettivo di andare sulla Luna. Dopo un viaggio di 19 giorni, Pfaall termina la sua salita sul suolo lunare, da cui non fa più ritorno. Il professor Spearwood decide di ripetere il viaggio di Pfaall, ma vorrebbe anche far ritornare il suo equipaggio a Terra, così lega il pallone a un cavo dello spessore di 1/100 di pollice raccolto in un gomitolo del diametro di 2 piedi. L'ovvia domanda è quanto è ricavare la lunghezza del cavo senza utilizzare il valore di $\pi$, visto che l'ancor più ovvia domanda non poteva avere risposta considerando che all'epoca la distanza Terra-Luna non era ben nota, almeno non con l'accuratezza attuale.
Innanzitutto trasformiamo pollici e piedi nelle unità di misura a noi più congeniali: 1 pollice equivale a 0.0254 metri, mentre 1 piede a 0.3048 metri, per cui 1/100 di pollice è pari a 0.000254 m. A questo punto trasformiamo il problema di lunghezza del cavo in un problema di confronto tra volumi.
Una delle ipotesi di Loyd è che il cavo, raggomitolato, non presenti alcuno spazio vuoto, in modo tale da poter considerare il volume del gomitolo identico al volume del cavo srotolato. Approssimando quest'ultimo con un cilindro (e ignorando l'approssimazione che compie Loyd nella sua soluzione), l'uguaglianza tra i due volumi porta alla seguente equazione: \[\frac{4 \pi r_s^3}{3} = \pi r_c^2 h\] da cui si ricava l'altezza (o lunghezza) del cavo: \[h = \frac{4}{3} \frac{r_s^3}{r_c}^2 = 585216 m\] valore che è circa il doppio rispetto al valore ottenuto da Loyd (che forse è più vicino a quello reale, se consideriamo che un gomitolo presenta sempre degli interstizi vuoti) e che è che circa 657 volte inferiore alla distanza Terra-Luna.
Quindi gli esploratori del pallone di Spearwood, per quanto siano in grado di arrivare decisamente in alto, non riuscirebbero a raggiungere la superficie della Luna.
La croce e la mezzaluna
Nell'immagine qui sotto è possibile tagliare in maniera opportuna la mezzaluna in al massimo sei pezzi che si possono successivamente ricomporre per formare una croce greca a bracci uguali.
La soluzione di Loyd al quesito è, invece, questa:
Non è l'unica soluzione possibile. Esiste, inoltre, una soluzione in dieci pezzi proposta da Henry Dudeney in Canterbuty Puzzles.

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