I rompicapi di Alice: La cascata di Escher

I Rompicapi trovano una nuova e probabilmente definitiva casa su DropSea e per festeggiare l'evento provo a raccontare un po' la cascata di Escher e la matematica dietro la sua riproduzione sia nel mondo reale, sia in quello digitale.

La cascata di Escher

Era passata da poco la metà di febbraio quando esplose la mania per un video molto particolare, proposto ai suoi lettori, tra i primi, dal grande Paolo Attivissimo⁽¹⁾. Nel video potete apprezzare come venga realizzato un modellino funzionante della famosa Cascata di Escher.
Nel seguito, lungo (mettetevi comodi), esaminerò la matematica necessaria per simili costruzioni, ma anche quella che serve ai programmatori per poterle realizzare anche digitalmente. Ben lungi dall'essere omni-comprensivo, questo nuovo appuntamento con i Rompicapi cercherà semplicemente di gettare uno sguardo nel mondo della geometria proiettiva. In questo senso possiamo considerare conclusa la trilogia degli articoli sulla matematica fiabesca inaugurata da Lucia con i suoi due articoli su Alice nel Paese delle Meraviglie (parte 1, parte 2).
Bando, però, alle ciance, iniziamo il nostro viaggio, che parte in Giappone con il primo tentativo, riuscito, di riprodurre realmente la cascata di Escher ad opera dell'artista nipponico Shigeo Fukuda (vedi anche Illusion Works).

Modellino reale della Cascata di Escher di Fukuda
(su Impossible sculptures)

E' anche disponibile un video che mostra i dettagli del modellino.

(download)

Potrete dunque immaginare quale sia stato il mio stupore nel vedere la soluzione di David Goldman su Boing Boing (via Scientificando, Gravità Zero):

L'idea di Goldman, quindi, non è poi così vecchia e soprattutto è fattibile, anzi è già stata fatta! Non escludo, anzi, che lo studente tedesco conosca la realizzazione di Fukuda. Ci si potrebbe, però, chiedere, se è possibile, indipendentemente dalla presenza di acqua o meno, riuscire a costruire una struttura continua come questa o come le scale di Escher. A fornirci una risposta sostanzialmente positiva è Kokichi Sugihara, di cui avevo presentato il video vincitore del Best Illusion of the Year 2010.
In Spatial Realization of Escher's Impossible World⁽²⁾ e Computer-aided creation of impossible objects and impossible motions, Sigihara mostra molti degli oggetti che è riuscito a costruire e la matematica su cui si basano. Ovviamente tutto poggia sulla geometria e la geometria proiettiva.
Supponiamo di avere un dato sistema di assi cartesiani. All'interno dello spazio definito da questo sistema poniamo un poliedro e proiettiamo questo poliedro sul piano di equazione π: z=1 in questo modo: ciascun punto corrispondente del poliedro (3d) coinciderà con un punto appartenente al piano (2d) dall'intersezione del piano stesso e delle rette passanti per l'origine degli assi e per ciascun vertice.
Ovviamente è più facile a vedersi che a raccontarsi:

Poiché il nostro obiettivo è quello di costruire dei modelli reali delle illustrazioni di Escher, quello che dal punto di vista matematico dovremo fare sarà ricostruire una struttura tridimensionale a partire da una bidimensionale, e come possiamo osservare dalla figura di prima, mentre determinare la proiezione di un dato oggetto su un piano fissato da un risultato univoco, l'operazione inversa da un numero infinito di poliedri. In che modo possiamo rappresentare questa incertezza geometrica?
Possiamo rappresentare il poliedro con l'insieme V={ v₁, v₂, v₃, ... } dei suoi vertici, e con l'insieme F={ f₁, f₂, f₃, ... } delle sue facce. A partire da questi insiemi è possibile definire uno spazio I. A questo punto, dato un vettore $\vec w$, le possibili soluzioni al problema di proiezione inversa sono date dall'equazione \[A \vec w = 0\] dove $A$ è una matrice costante e l'equazione impone l'appartenenza al piano $\pi$; e dalla disequazione: \[B \vec w > 0\] dove $B$ è un'altra matrice costante e la disequazione impone che la soluzione appartenga al cono originato dalla forma definita sul piano $\pi$.
Determinato il tipo di soluzioni consentite, Sugihara a questo punto si chiede se le soluzioni così determinate sono tutte distinte o se qualcuna non sia ridondante, ovvero non la si possa scartare. Per rispondere a questo quesito bisogna innanzitutto definire alcune proprietà della nostra figura bidimensionale.
Definiamo, quindi, come V il numero dei vertici, X il numero delle facce. Definiamo, poi, R nel modo seguente: supponiamo che la nostra forma abbia un certo tipo di figure a₁, a₂, a₃, ... con numero di lati rispettivamente l₁, l₂, l₃, ... Allora $R$ sarà dato da \[R = \sum_i a_i l_i\] a_i indica il numero di figure del tipo i-esimo presenti nella nostra figura.
A questo punto non ci sono soluzioni ridondanti se e solo se \[V + 3 X \geq R + 4\] Nel caso questa relazione non venga rispettata, allora alcune delle soluzioni possono essere eliminate. Prendiamo ad esempio la figura seguente:

La figura (a) sembra una piramide troncata, ma proseguendo le linee dei quadrilateri (b) si scopre che queste non si congiungono in un unico vertice, come invece dovrebbe avvenire in una piramide

In questo caso il numero dei vertici è V=6 mentre le facce sono X=5, da cui \[V + 3 X = 21\] Sono poi presenti due triangoli (2 figure di 3 lati) e tre quadrilateri (3 figure di 4 lati) e quindi \[R = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\] e sommando 4 si ottiene 22 che è maggiore di 21. La condizione dunque non è rispettata e quindi per determinare le soluzioni al problema della proiezione inversa servono meno equazioni di quelle teoricamente possibili.
Dopo tutta questa teoria (da cui mancherebbero alcuni tracciati che vi risparmio), mi sembra giusto inserire un po' di immagini di realizzazioni pratiche di Sugihara:

Kokichi Sugihara (2008). Spatial Realization of Escher's Impossible World Asia Pacific Mathematics Newsletter, vol.1, n.1, 1-5 (pdf)

Kokichi Sugihara (2008). Computer-Aided Creation of Impossible Objects and Impossible Motions Lecture Notes in Computer Science, 4535, 201-212 DOI: 10.1007/978-3-540-89550-3_22

Sempre sulle proiezioni si gioca Modeling and Rendering Escher-Like Impossible Scenes di Guillermo Savransky, Dan Dimerman, Craig Gotsman. L'obiettivo è quello di arrivare a un algoritmo che consenta la realizzazione delle scene impossibili di Escher. Partiamo con la generalizzazione di una scena.
Ogni segna viene suddivisa in un insieme di oggetti {O₁, ..., O_n } e per ogni coppia di oggetti viene definita una trasformazione T_ij che porta dall'oggetto i a quello j.
A questo punto la scena così definita può essere possibile, inconsistente o impossibile, e in linea di principio le scene di Escher non sono impossibili come sembrano, almeno dal punto di vista della geometria euclidea.
Ora, in termini delle T, una scena è possibile o consistente se è soddisfatta la relazione O_iT_ij = O_j. A questo punto introduciamo una proiezione V che identifica la visuale. In assenza di cicli all'interno della scena, questa è sempre soddisfatta per ogni V. In presenza di un ciclo, del tipo \[O_{i_1} \rightarrow O_{i_2} \rightarrow \cdots \rightarrow O_{i_k} \rightarrow O_{i_1}\] affinché la scena sia consistente, le trasformazioni intermedie tra ciascun punto devono coincidere con l'identità: \[T_{i_1 i_2} T_{i_2 i_3} \cdots T_{i_{k-1} i_k} T_{i_k i_1} = I\] Nel caso di scene impossibili, invece, deve verificarsi una relazione leggermente differente: \[T_{i_1 i_2} T_{i_2 i_3} \cdots T_{i_{k-1} i_k} T_{i_k i_1} \simeq I (V) \] che in termini umani vuol dire che il risultato delle trasformazioni a sinistra deve essere identico ai punti osservati con la proiezione V. In questo modo la consistenza di una scena è una funzione della visione V e in generate possono esserci più viste che rendono consistente la stessa scena.
A questo punto, assegnando colori opportuni alle linee che collegano i punti, l'algoritmo prevede una renderizzazione della scena suddividendo l'operazione per ogni coppia di punti presenti.

Savransky, G., Dimerman, D., & Gotsman, C. (1999). Modeling and Rendering Escher-Like Impossible Scenes Computer Graphics Forum, 18 (2), 173-179 DOI: 10.1111/1467-8659.00367

In quest'ultimo caso la visuale, la vista scelta assume una certa importanza, come ben sa chi con questo genere di illusioni ha a che fare. E proprio questo particolare dettaglio è importante nell'episodio di Alice legato alla geometria proiettiva e illustrato come sempre magistralmente dal mitico John Tenniel:

L'immagine, tratta dal completissimo Lenny's Alice in Wonderland site, si riferisce all'incontro tra Alice e la Duchessa nella casa nel bosco di quest'ultima. Ella ha in braccio un fagottino che ora sembra un bambino ora sembra un porcellino: questo cambiamento di forma richiama proprio ai cambiamenti che possono avvenire osservando un oggetto da punti di vista differenti. E quindi il ragionamento di cui sopra!
Ritornando a noi, può essere utile a questo punto ricapitolare: abbiamo dunque visto che è possibile costruire sia realmente sia grazie alla grafica digitale una struttura come quella alla base della cascata di Escher. E', però, un sistema del genere fisicamente possibile? In linea di principio la risposta potrebbe anche essere possibile, però in un mondo privo di attriti e in cui l'acqua viene gettata da un punto più alto rispetto alla quota massima raggiunta dalla struttura. E in effetti non è il caso del video dello studente tedesco.
Girando un po' per la rete si sono lette varie opinioni: dallo studio delle ombre⁽³⁾ all'aggiunta dell'acqua attraverso la cgi, senza dimenticare pompe e motorini opportunamente nascosti dalla struttura⁽⁴⁾. Certo nell'ipotesi di acqua reale nella struttura, una possibile soluzione potrebbe essere l'uso di aria compressa, come ad esempio ha fatto James Dyson per il Chelsea Flower Show del 2003 (leggi anche questo servizio della BBC). Grazie, infatti, ad alcuni tubi che introducevano dell'aria compressa nella struttura costruita (e anche con l'uso di acqua gassata vicino alla superficie), Dyson è stato in grado di creare l'illusione dell'acqua che sale invece di scendere. Certo il buon James ha avuto dalla sua un gruppo di ingegneri (o qualcosa del genere) e difficilmente il nostro studente sarebbe stato in grado di fare altrettanto.
D'altra parte il suo compito sarebbe stato più semplice se, invece dell'acqua, avesse deciso di usare delle palline, come ad esempio in questo video:

Sempre del nostro Sugihara c'è quest'altro video interessante⁽⁵⁾ ispirato a Ashending and descending⁽⁶⁾ di Escher:

che possiamo considerare come il passo successivo al video con tre rampe. D'altra parte questo video può far luce sulla disposizione della camera per la prospettiva.

In conclusione, anche se non trovo una soluzione univoca e definitiva come magari qualcuno si sarebbe aspettato, ho cercato di approfondire l'argomento, trovando sia la matematica alla base di un oggetto reale che riproduce la cascata di Escher sia quella alla base per costrutti digitali di questo genere. A questi un po' di video di supporto, che non fanno mai male. E ora, per concludere:

Altri esempi di Escher reale:
Vediamo in questa sezione conclusiva alcuni esempi di Escher reale. Iniziamo con un gadget da ufficio:

(via geekologie)

Ovviamente anche questa ha il trucco, sempre in prospettiva!
Quest'ultima foto, insieme con altri esempi (c'è anche il Belvedere), si trova su Escher for real di Gershon Elber.

(1) Altri siti e blog che si sono interessati al video: Deceptology, Geekologie
(2) La parte teorica dell'articolo uscito sull'Asia Pacific Mathematics Newsletter è una versione ridotta del più esteso Machine Interpretation of Line Drawings, MIT Press, Cambridge, 1986.
(3) In molti, dall'osservazione delle ombre, hanno ritenuto che il video fosse stato successivamente modificato (tagliato, rimontato e cose così). Eppure le ombre possono essere ingannate quando ci sono più di una fonte luminosa, anche se la modifica artificiale del video non è da escludere.
(4) Vedi ad esempio Hack a day
(5) Su Impossible motions, un video che raccoglie forse tutte le opere illusionistiche di Sugihara, al minuto 9:50 c'è il video che ho estratto e caricato su youtube, non avendolo trovato già caricato. Stessa cosa per la cascata di Fukuda, il primo dei video proposti in questo Rompicapo.
(6) L'ipotesi di una modifica in CGI sembra essere avvalorata dal fatto che il video dello studente tedesco è un video di risposta al seguente, sempre realizzato dagli studenti della stessa scuola di arte digitale e anch'esso ispirato a Ashending and descending:

P.S.: Mi scuso con i lettori per la scarsa qualità dell'articolo, dovuta alla gestazione lunga e travagliata, nonché interrotta da molti eventi, non ultima la terribile sciagura che ha recentemente colpito il Giappone. E' l'interruzione, per i lettori più attenti, alla base della differenza nella produzione delle equazioni.
Per il resto, ho cercato di recuperare il tempo perduto per arrivare alla pubblicazione agli inizi di aprile e questo potrebbe aver influito sulla qualità dell'articolo nel suo complesso. Spero, però, che vi siate in ogni caso divertiti o con la matematica o con i video proposti o, perché no, con entrambi!