Simulare il transito di pianeti extrasolari

Questo post partecipa alla 29.ma edizione del Carnevale della Fisica di Marzo 2012 ospitato da Marco Casolino

La ricerca di pianeti extrasolari (o esopianeti) ha avuto il suo primo successo nel 1991 con la scoperta di alcuni pianeti intorno alla pulsar PSR1257+12^{(1, 2, 3)} misurando le variazioni sugli impulsi radio provenienti dalla stella. La seconda tappa importante nella ricerca sugli esopianeti avviene nel 1995, con la scoperta intorno alla stella 51 Pegasi (stella di tipo solare) di un pianeta di tipo gioviano, trovato a una distanza inferiore rispetto all'orbita di Mercurio nel nostro sistema solare⁽⁴⁾.

(51 Pegasi via BBC)

Queste scoperte iniziali, e molte altre fino, in pratica, al 2009^{(5, 6)}, sono avvenute grazie al metodo della velocità radiale o oscillazione Doppler: in pratica si parte dall'ipotesi che la velocità radiale di una stella sia influenzata dalla presenza di un pianeta in orbita intorno alla stella stessa. IN questo modo la velocità radiale proveniente dalla stella sarà tendente al blu quando il pianeta sulla sua orbita si muove verso la Terra, tendente al rosso quando il pianeta si allontana⁽⁷⁾. Con la velocità radiale, però, è piuttosto difficile determinare l'esatta orbita di un pianeta (o comunque qualcosa che gli si avvicini) e quindi permette di fatto di determinare il periodo di rotazione orbitale intorno alla stella e l'eccentricità (ovvero la deviazione da una circonferenza) dell'orbita del pianeta stesso. A questo bisogna aggiungere che il metodo è efficace soprattutto per pianeti massicci.
Nella ricerca di un metodo più efficace ecco che si decide di utilizzare il metodo del transito, basato sull'esame della luce emessa dalla stella verso la quale si puntano i propri strumenti e considerato da Dimitar Sasselov⁽⁸⁾ come il metodo d'osservazione più fruttuoso: quando questa luce diminuisce, questo vuol dire che davanti alla stella sta passando un oggetto. In questo modo è possibile, poi, determinare il raggio di un pianeta e il suo periodo orbitale. Utilizzando sostanzialmente gli stessi strumenti usati per la rilevazione del pianeta, è anche possibile studiare l'atmosfera del pianeta stesso, determinando la sua composizione, la temperatura e l'eventuale presenza e formazione di nuvole.

(confronto tra velocità radiale e transito⁽⁷⁾)

Su quest'ultimo metodo si basa uno degli esperimenti più noti e importanti degli ultimi anni: la missione Kepler. Lanciata il 6 marzo del 2009⁽⁵⁾, ha scoperto 2326 pianeti candidati al 5 dicembre 2011, con le prime scoperte pubblicate su Science nel 2010⁽⁵⁾

(i primi transiti di Kepler⁽⁵⁾)

In effetti, osservando sia l'immagine sopra, sia l'infografica precedente, gli astronomi sono alla ricerca di una sorta di buche di luce, che consentono di determinare un po' di dati dal pianeta candidato come massa, tempo orbitale e altre cosine del genere, come ad esempio è avvenuto per il sistema Kepler-11⁽⁹⁾:

(transiti dei pianeti di Kepler-11⁽⁹⁾)

Lo studio è interessante perché oltre a combinare i dati relativi al sistema in particolare, raccoglie anche informazioni su un pianeta in particolare, Kepler-11g, e propone anche deduzioni, basate sui dati raccolti ovviamente, sulla composizione e formazione del sistema planetario, fornendo così, oltre a una serie di dati scientifici interessanti, un buon esempio delle potenzialità della missione in generale.
La missione Kepler, dunque, è stata in questi ultimi 2-3 anni, una fonte di notizie interessanti e può essere scolasticamente interessante utilizzare Kepler per iniziare a portare l'astronomia in classe. I vantaggi di tale approccio per quel che riguarda la didattica della fisica sono molteplici e si possono enfatizzare alcuni di questi piuttosto che altri in base all'ordine e al grado della scuola. Ad esempio si possono avvicinare gli studenti allo studio diretto dei dati degli esperimenti astronomici, quasi tutti pubblici e liberamente consultabili, alcuni anche in formati semplici da leggere anche con gli usuali editor di testo, in modo da abituarsi all'elaborazione di dati reali e alla loro elaborazione statistica^{(11, 12)}, ma è anche possibile realizzare una sorta di missione Kepler in miniatura⁽¹⁰⁾:

In this setup, a hollow translucent plastic sphere (7.5 cm) with a light bulb inside acts as the star and opaque balls with diameters of 4 and 2.75 cm represent two exoplanets of different sizes but of the same mass (but different density). The sphere and one of balls are linked by a horizontally placed solid plastic tube which is in turn attached firmly and perpendicularly to a stiff vertical axis placed at the supposed 'centre of mass' of the two-object system. The 'centre of mass' can be moved along the tube depending on the relative mass of the star to that of the planet. The vertical axis is rotated by a motor leading to the rotation of both objects around the centre of mass. Periodically the ball (planet) crosses the light path from the plastic sphere (star) to the detector made up of eight photodiodes (each a silicon planar photodiode in a standard TO-18 hermetically sealed metal case with a glass lens) arranged horizontally and wired to the datalogger. The detector's voltage rises and drops according to the intensity of light impinging on it. The changing intensity is due mainly to the transiting of the ball (planet) moving past the plastic sphere (star).

(foto dell'apparato sperimentale)

Durante la messa in opera dell'apparato, con il passaggio del pianeta davanti alla stella e la raccolta della luce attraverso gli strumenti, è possibile dare il via a una prima discussione sulle osservazioni, come ad esempio facendo notare il movimento, rilevato, della stella; o stimolare una discussione su possibili miglioramenti all'apparato sperimentale; o i possibili effetti delle dimensioni reali del pianeta sulla luminosità della stella. Altro punto che può essere oggetto di approfondimento è confrontare l'effetto del raggio del pianeta sulla durata del transito così come osservato sulle strumentazioni.
L'esperimento proposto è certamente molto interessante e può essere un ottimo modo per avvicinare gli studenti ai momenti di costruzione, progettazione, realizzazione e presa dati di un esperimento, anche affascinante come può essere quello di Kepler, al di là delle imperfezioni, rilevate dallo stesso gruppo di ricercatori, presenti nel progetto:

(...) the short distance between the star and planet does not reflect reality. The planet is unrealistically large compared to the star and our star does not rotate or turn around its axis.

Se la proposta del gruppo thailandese permette di portare in classe una piccola porzione di universo, Samuel J. George propone quello che possiamo considerare come il passo successivo: scaricare ed elaborare i dati sperimentali reali⁽¹¹⁾ prendendoli ad esempio dalla Extrasolar Planets Encyclopedia. Estraendo i dati da una specifica stella per uno specifico pianeta è possibile proporre un lavoro per ricavare le proprietà di quel determinato pianeta. Ad esempio, per quel che riguarda le dimensioni del pianeta, si determina innanzitutto la profondità del transito utilizzando la formula: \[\Delta F = \frac{B_{\text{max}} - B_{\text{min}}}{B_{\text{max}}}\] Già qui ci sono le prime difficoltà: innanzitutto bisogna determinare l'inizio e la fine del transito, e poi determinare l'intensità luminosa all'esterno del transito ($B_{\text{max}}$) e all'interno ($B_{\text{min}}$). Questo rapporto è direttamente proporzionale al rapporto tra le aree: \[\left(\frac{R_p}{R_s}\right)^2\] e quindi, noto il raggio della stella $R_s$ è possibile determinare il raggio del pianeta $R_p$.
Per quel che riguarda l'orbita, innanzitutto si suppone che questa sia circolare con raggio $a$ maggiore rispetto al raggio della stella $R$. A questo punto si può semplicemente scegliere tra dare agli studenti l'equazione per determinare il raggio $a$ a partire dall'equazione: \[\tau = \frac{RP}{\pi a}\] dove $\tau$ è il tempo della transizione, $P$ il periodo orbitale⁽¹³⁾.
Infine è possibile stimare la massa della stella applicando la terza legge di Keplero: \[P = \frac{2 \pi}{\sqrt{G M_s}} a^{\frac{3}{2}}\]

(dati sul transito di HD209458)

Un altro metodo per esaminare i dati provenienti dalle stelle è, come detto, quello della velocità radiale, basato sull'effetto Doppler⁽¹²⁾. In questo caso, però, per elaborare e interpretare i dati sperimentali è necessario introdurre le funzioni trigonometriche, oltre ad essere considerata anche una pur piccola eccentricità. Le equazioni utilizzate da Lo Presto e McKay⁽¹²⁾, ad ogni modo, sembrano riprodurre molto bene i dati sperimentali scelti e di fatto utilizzano uno sviluppo in serie di Fourier.

In questo caso, dunque, se l'esperienza può essere più utile per un primo o un secondo anno universitario, può comunque avere una sua utilità anche per un quarto o quinto anno di liceo scientifico, ad esempio, proprio perché molti dei concetti avanzati utilizzati nell'esperienza fanno (o dovrebbero far) parte del percorso scolastico di quelle classi.
L'esperienza con il metodo del transito, invece, potrebbe, secondo me, essere proposta anche a classi inferiori, avendo il pregio di permettere ai ragazzi di iniziare a prendere confidenza con dei dati reali.
Più in generale, esperienze di questo genere si prestano bene ad esempio per progetti multi-disciplinari che coinvolgono anche studi sulla biosfera, sull'atmosfera e sulla chimica planetarie.

(1) Wolszczan, A., & Frail, D. (1992). A planetary system around the millisecond pulsar PSR1257 + 12 Nature, 355 (6356), 145-147 DOI: 10.1038/355145a0 (pdf)
(2) Bisnovatyi-Kogan, G. S. Planetary System around the Pulsar PSR:1257+12 Astronomy and Astrophysics, Vol.275, no. 1, p.161 (1993)
(3) Wolszczan, A. (1994). Confirmation of Earth-Mass Planets Orbiting the Millisecond Pulsar PSR B1257 + 12 Science, 264 (5158), 538-542 DOI: 10.1126/science.264.5158.538 (pdf)

(4) Mayor, M., & Queloz, D. (1995). A Jupiter-mass companion to a solar-type star Nature, 378 (6555), 355-359 DOI: 10.1038/378355a0 (pdf | html)

(5) Borucki, W., Koch, D., Basri, G., Batalha, N., Brown, T., Caldwell, D., Caldwell, J., Christensen-Dalsgaard, J., Cochran, W., DeVore, E., Dunham, E., Dupree, A., Gautier, T., Geary, J., Gilliland, R., Gould, A., Howell, S., Jenkins, J., Kondo, Y., Latham, D., Marcy, G., Meibom, S., Kjeldsen, H., Lissauer, J., Monet, D., Morrison, D., Sasselov, D., Tarter, J., Boss, A., Brownlee, D., Owen, T., Buzasi, D., Charbonneau, D., Doyle, L., Fortney, J., Ford, E., Holman, M., Seager, S., Steffen, J., Welsh, W., Rowe, J., Anderson, H., Buchhave, L., Ciardi, D., Walkowicz, L., Sherry, W., Horch, E., Isaacson, H., Everett, M., Fischer, D., Torres, G., Johnson, J., Endl, M., MacQueen, P., Bryson, S., Dotson, J., Haas, M., Kolodziejczak, J., Van Cleve, J., Chandrasekaran, H., Twicken, J., Quintana, E., Clarke, B., Allen, C., Li, J., Wu, H., Tenenbaum, P., Verner, E., Bruhweiler, F., Barnes, J., & Prsa, A. (2010). Kepler Planet-Detection Mission: Introduction and First Results Science, 327 (5968), 977-980 DOI: 10.1126/science.1185402
(6) Astronomy: Beyond the stars by Eugenie Samuel Reich
(7) Astronomy: Exoplanets on the cheap by Lee Billings
(8) Astronomy: Extrasolar planets by Dimitar Sasselov
(9) Lissauer, J., Fabrycky, D., Ford, E., Borucki, W., Fressin, F., Marcy, G., Orosz, J., Rowe, J., Torres, G., Welsh, W., Batalha, N., Bryson, S., Buchhave, L., Caldwell, D., Carter, J., Charbonneau, D., Christiansen, J., Cochran, W., Desert, J., Dunham, E., Fanelli, M., Fortney, J., Gautier III, T., Geary, J., Gilliland, R., Haas, M., Hall, J., Holman, M., Koch, D., Latham, D., Lopez, E., McCauliff, S., Miller, N., Morehead, R., Quintana, E., Ragozzine, D., Sasselov, D., Short, D., & Steffen, J. (2011). A closely packed system of low-mass, low-density planets transiting Kepler-11 Nature, 470 (7332), 53-58 DOI: 10.1038/nature09760
(10) Choopan, W., Ketpichainarong, W., Laosinchai, P., & Panijpan, B. (2011). A demonstration setup to simulate detection of planets outside the solar system Physics Education, 46 (5), 554-558 DOI: 10.1088/0031-9120/46/5/007
(11) George, S. (2011). Extrasolar planets in the classroom Physics Education, 46 (4), 403-406 DOI: 10.1088/0031-9120/46/4/004
(12) LoPresto, M., & McKay, R. (2005). An introductory physics exercise using real extrasolar planet data Physics Education, 40 (1), 46-50 DOI: 10.1088/0031-9120/40/1/003 (pdf)
(13) L'idea è quella di combinare l'equazione sul periodo dell'orbita \[P = \frac{2 \pi a}{v_c}\] dove $v_c$ è la velocità circolare del pianeta, con \[\tau = \frac{2R}{v_c}\] che è il tempo di transito atteso.