Passeggiando sopra un toro

Vincent Borrelli, Said Jabrane, Francis Lazarus e Boris Thibert sono riusciti per la prima volta a realizzare l'immagine di un toro piatto in tre dimensioni. Ovviamente il lettore, spaesato, si chiederà Cosa è un toro piatto? Da un punto di vista strettamente matematico il toro piatto (in originale flat torus) è un toro che non presenta alcuna curvatura (gaussiana) sulla sua superficie. Da un punto di vista grafico un toro piatto è sostanzialmente una superficie chiusa al cui interno attraversando il lato ad esempio destro (ma anche andando verso l'alto) ti ritrovi ad uscire dal lato sinistro (o dal basso) del foglio, un po' come PacMan nel suo labirinto:

Se invece andiamo nelle tre dimensioni potremmo provare a costruire questa strana entità piegando un foglio di carta in forma cilindrica, ma non riusciremmo a incastrarlo in un toro senza l'allungamento della carta stessa. Costruire dunque un toro piatto in 3 dimensioni non è cosa banale, nonostante si possa, usando semplicemente le formule, definire un oggetto geometrico di questo tipo semplicemente con due parametri reali $u$, $v$ tali che $u, v \in ]0, 2 \pi]$⁽¹⁾: \[(u, v) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \cos (u+v), \sin (u+v), \cos (u-v), \sin (u-v) \right )\] la cui miglior visualizzazione prima del lavoro di Borelli-Jabrane-Lazarus-Thibert è quella che segue:

La sfida ai tori piatti fu affrontata da Nash e Kuiper negli anni Cinquanta del XX secolo:

Nash e Kuiper dimostrarono l'esistenza di una rappresentazione che non perturba le lunghezze nel toro piatto quadrato [il toro di PacMan!]. Per molto tempo, questa esistenza rimase una sfida all'immaginazione dei matematici. Ma dimostrare e mostrare sono due concetti a volte chiaramente distinti in matematica. Ciò è ben spiegato dall'allegoria del ladro: assumiamo che un gruppo di persone si raccolga intorno ad un gioiello in una stanza chiusa. Supponiamo poi che in un dato momento la luce venga e che il gioiello scompaia alla riaccensione della luce. Allora abbiamo dimostrato che un ladro si nasconde tra gli astanti, ma non possiamo mostrarlo. Sebbene le dimostrazioni di Nash e Kuiper siano un po' più che "esistenziali", non forniscono una procedura sufficientemente esplicita per consentire la visualizzazione (o semplicemente per una descrizione mentale) del toro piatto quadrato.⁽²⁾

Trai Settanta e gli Ottanta (sempre del XX secolo!), il Premio Abel Gromov estrasse un metodo dal lavoro di Nash e Kuiper, proponendo la così detta integrazione convessa (convex integration), uno strumento molto utile che

(...) non solo produce l'esistenza di una soluzione, ma fornisce anche una costruzione efficace.⁽²⁾

Partendo proprio da questo metodo, Borelli, Jabrane, Lazarus e Thibert sono riusciti a realizzare un algoritmo che permette di disegnate il tanto agognato toro.

I matematici erano perplessi dai lavori di Nash e Kuiper. Questi lavori potevano infatti mostrare l'esistenza di oggetti la cui regolarità era problematica, se non paradossale. Essi dovevano essere lisci e ruvidi allo stesso tempo... In effetti, l'analisi matematica delle immagini rivela una superficie appartenente a due mondi antagonisti; la superficie liscia e i frattali, infinitamente spezzati. Quando ingrandiamo, si osservano invariabilmente increspature a scale sempre più piccole. Ogni increspatura, anche detta ruga, appare liscia quando vista da lontano, ma ma il loro accumularsi crea un oggetto con un aspetto ruvido e frattale.⁽²⁾

Concludendo:

Dimostrare che l'integrazione convessa può essere implementata apre nuove prospettive nella matematica applicata, in particolare nella risoluzione di sistemi differenziali provenienti dalla fisica e dalla biologia.
Più nello specifico, le immagini rivelano una classe di oggetti la cui struttura si trova a cavallo tra le superfici lisce e i frattali. Tali oggetti potrebbero giocare un ruolo centrale nell'analisi delle forme. Potrebbero anche risolvere alcuni paradossi ancora non spiegati.⁽²⁾

Leggi anche: Wikipedia | phys.org

(1) The Flat Torus in the Three-Sphere
(2) A flat torus in three dimensional space (pdf) | Hevea Project

Borrelli, V., Jabrane, S., Lazarus, F., & Thibert, B. (2012). Flat tori in three-dimensional space and convex integration Proceedings of the National Academy of Sciences DOI: 10.1073/pnas.1118478109