I rompicapi di Alice: Il dilemma della mosca e dei due treni

Attenzione! Il rompicapo proposto quest'oggi è ad alto tasso matematico. Ci sono molti conti, che di per sé non sono difficili da seguire. Osservando le immagini (e la gif animata) la comprensione del procedimento descritto non dovrebbe essere troppo difficile.

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La settimana scorsa il sempre brillante Bruno ha proposto alle prime il famoso rompicapo di una mosca che vola tra due treni che stanno correndo allegramente uno contro l'altro verso un disastro ferroviario. L'enunciato del problema è presto detto:

Due treni sullo stesso tracciato sono distanti 100 km e procedono uno contro l'altro alla velocità costante di 50 km/h. Una mosca, partendo dal muso di uno dei treni, vola verso l'altro alla velocità di 75 km/h. Una volta raggiunto l'altro treno, la mosca si volta e continua verso il primo treno. Quanti chilometri percorre la mosca prima di restare schiacciata nella collisione dei due treni?⁽¹⁾

E' possibile trovare il rompicapo con velocità e spazi differenti, ma essenzialmente questo è il suo enunciato e, ovviamente, può essere risolto utilizzando il calcolo simbolico: $v_T$ sarà la velocità dei treni, $v_M$ la velocità della mosca, $S_0$ la distanza iniziale tra i treni. E come spesso succede lo si può affrontare utilizzando diversi approcci.
Innanzitutto, poiché i due treni viaggiano alla stessa velocità, essi si scontreranno perfettamente a metà del percorso che li separa. Il tempo della collisione sarà dunque⁽²⁾: \[t_T = \frac{S_0}{2 v_T}\] La mosca, allora, percorrerà in linea retta tra i due treni una serie di tratti, avanti e indietro, coprendo una distanza totale di \[S_M = \frac{S_0}{2 v_T} v_M\] Un approccio interessante, proposto da Bruno in classe, è però quello grafico, che prevede di utilizzare il diagramma $t$-$S$, con $t$, tempo, sull'asse delle ascisse (quello orizzontale), $S$, spazio, su quello delle ordinate (quello verticale). Il risultato è quello che segue, dove le due rette nere sono i treni, il loro punto di intersezione l'istante della collisione e il segmento in rosso rappresenta la mosca. Il punto dove questo si interrompe coincide, proiettato sull'asse $S$, con lo spazio percorso dalla mosca, quello calcolato in precedenza:

Un altro approccio (che poi è quello che utilizzai la prima volta che risolsi il problema) è, invece, leggermente più matematico e fa uso delle serie geometriche. L'idea è scrivere quali sono i pezzi che la mosca, via via, deve percorrere. Iniziamo dal primo pezzo: \[S_1 = S_0 - v_T \cdot t_1 = v_M \cdot t_1\] Evidentemente il primo tratto è la distanza tra i due treni meno il tratto percorso da uno dei due treni (identifichiamolo come il primo treno) nel tempo $t_1$ che la mosca ci mette a raggiungere il treno stesso.
Il secondo tratto sarà del tipo: \[S_2 = S_1 - v_T \cdot t_1 - v_T \cdot t_2 = v_M \cdot t_2\] Questo secondo tratto è leggermente più complesso rispetto al primo: in questo caso al percorso che separa $S_1$ i due treni al momento della virata della mosca bisogna sottrarre sia il percorso fatto dal secondo treno durante il tempo $t_1$ sua il percorso fatto sia il percorso fatto sempre dal secondo treno fino all'incontro con la mosca.
Ragionando nello stesso modo possiamo scrivere il secondo tratto \[S_3 = S_2 - v_T \cdot t_2 - v_T \cdot t_3 = v_M \cdot t_3\] e così via.
Ognuna delle tre equazioni che ho scritto sono, in effetti, due equazioni scritte in un'unica riga che possono essere utilizzate per eliminare la dipendenza dal tempo dei vari tratti percorsi dalla mosca. In particolare dalla prima equazione doppia si ottiene: \[S_1 = S_0 \frac{v_M}{v_M+v_T}\] Utilizzando questo risultato e lavorando un po' con il calcolo simbolico sulla seconda equazione doppia si ottiene: \[S_2 = S_0 \frac{v_M}{v_M+v_T} \frac{v_M - v_T}{v_M + v_T}\] Con lo stesso metodo si può ottenere un risultato analogo per $S_3$: \[S_3 = S_0 \frac{v_M}{v_M+v_T} \left( \frac{v_M - v_T}{v_M + v_T} \right)^2\] Quindi, per induzione, posso scrivere l'$n$-simo termine della serie dei tratti della mosca: \[S_n = S_0 \frac{v_M}{v_M+v_T} \left( \frac{v_M - v_T}{v_M + v_T} \right)^{n-1}\] A questo punto osserviamo che \[\frac{v_M - v_T}{v_M + v_T} = r < 1\] e questo identifica la serie degli $S_n$ come una serie geometrica, e la somma di una serie geometrica con ragione $r$ minore di $1$, per $n$ infiniti, converge al valore \[\frac{1}{1-r}\] Applicando, finalmente, questa regola alla serie degli $S_n$ si ottiene: \[S_M = \sum_n S_n = S_0 \frac{v_M}{2 v_T}\] che è poi il risultato ottenuto con pochi passaggi utilizzando un approccio un po' più fisico.
Questo stesso approccio, poi, può essere rappresentato graficamente e permette di apprezzare la potenza delle serie geometriche: in questo modo ci si rende conto che il percorso della mosca può essere spezzettato in un numero infinito di percorsi sempre più piccoli, la cui somma, però, converge al risultato ottenuto:

(gif animata)

E' molto interessante notare come il grande John von Neumann risolse il problema costruendo una serie geometrica di cui quella proposta ne è una prima generalizzazione.
Di questo rompicapo, poi, ne parla su youtube anche James Grime, meglio noto come Singing Banana:

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(1) Weisstein, Eric W. Two Trains Puzzle. From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
(2) In effetti anche questa affermazione può essere rigorosamente dimostrata.
Sia $x$ il punto di collisione. Il primo treno percorrerà il tratto $x$ in un tempo $t_T$ e possiamo scrivere questo fatto in questo modo: \[x = v_T \cdot t_T\] Il secondo treno, invece, sempre nello stesso tempo $t_T$, percorrerà un tratto $S_0 - x$, quindi possiamo scrivere: \[S_0 - x = v_T \cdot t_T\] Utilizzando le due equazioni \[S_0 - v_T \cdot t_T = v_T \cdot t_T\] si trova che il tempo di collisione è \[t_T = \frac{S_0}{2 v_T}\]

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Altri link:
Flying Between Two Trains
The Fly and the Trains Problem