Ritratti: Ernst Mach

Nel 1911 John McGregor concludeva così la mini biografia uscita sull'Encyclopaedia Britannica:

Tutta la sua teoria appare viziata dalla confusione tra fisica e psicologia.

E potrebbe anche essere così, agli occhi di un suo contemporaneo, ma visto con gli occhi di oggi Ernst Mach è uno dei tanti geni che il passato ci ha regalato. E lo riteneva un genio, o comunque molto vicino ad esserlo, anche Albert Einstein, che riferendosi a se stesso diceva di essere uno studente di Mach. Quello che infatti lo stesso Einstein battezzò come principio di Mach, fu indubbiamente di grande importanza per lo sviluppo delle sue teorie relativistiche.
Il principio si occupa dell'inerzia: partiamo da un secchio pieno d'acqua appeso a una corda a sua volta legata al soffitto. Se mettiamo in rotazione il secchio l'acqua al suo interno passerà dall'essere piatta nel caso del secchio fermo, al curvarsi nel caso del secchio in rotazione. In assenza dell'acqua un qualunque osservatore solidale con il secchio, come ad esempio una mosca seduta sul bordo superiore, potrebbe tranquillamente supporre che sia la stanza a ruotare e non il secchio stesso. Secondo Mach, però, questa discussione, che è una variazione su quanto scritto da Newton nei Principia, è incompleta a causa dell'assunto per nulla generale dello spazio assoluto. Bisogna quindi riformulare il principio di inerzia partendo dalla semplice osservazione del moto delle parti distanti dell'universo. In questo caso Mach propone il seguente cambio di paradigma: non più immaginare che sia un caso che la velocità di rotazione della Terra sia in accordo con le parti distanti dell'universo, ma suppore che le parti distanti dell'universo giocano un qualche ruolo nella formulazione delle leggi della meccanica locali⁽⁴⁾.
O formulando il principio in una maniera più generale, proposta da Hawking e Ellis nel 1973:

Le leggi fisiche locali sono determinare dalla struttura a grande scala dell'universo.

Il principio venne originariamente formulato da Mach nel 1883 su Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt (La meccanica nel suo sviluppo storico-critico).
Si può ben comprendere come Einstein fosse fermamente convinto del fatto che Mach sarebbe riuscito a scoprire la teoria della relatività ristretta con cinquanta anni di anticipo se solo la fisica avesse preso in seria considerazione la costanza della velocità della luce, sperimentalmente evidente già a quell'epoca.⁽²⁾
Ciò per cui è, però, soprattutto noto è il numero di Mach, che rappresenta il rapporto tra la velocità di un oggetto e la velocità del suono nel mezzo in cui quell'oggetto si sta muovendo: \[M = \frac{v_{\text{oggetto}}}{v_{\text{suono}}}\] Ad esempio Felix Baumgartner, nella sua caduta libera di ottobre 2012, ha raggiunto una velocità massima stimata di circa $370 m/s$ mentre si trovava all'interno della stratosfera⁽¹⁾. In questa porzione dell'atmosfera, caratterizzata da basse temperature a da bassa densità, la velocità del suono è fortemente influenzata dalle variazioni di temperatura, anche se si potrebbe stimare la velocità del suono in circa $300 m/s$ (poco più o poco meno) il che porta a un numero di Mach per Baumgartner di circa: \[M_B = \frac{370}{300} = 1.2\] o poco più.
Mach, però, come vedremo, si è interessato di diversi argomenti nella fluidodinamica, lasciando un segno decisamente indelebile.

Nato il 18 febbraio del 1838 da Johann Mach e Josephine Langhans a Chirlitz-Turas, in Moravia, era, seguendo la sua stessa descrizione, un debole pietoso bambino che si è sviluppato molto lentamente⁽²⁾. Il padre, che lavorava come istitutore presso una famiglia nobiliare, aveva studiato filosofia a Praga e si interessava di psicologia animale e agricoltura. Uno dei suoi risultati fu dare inizio alle colture di bachi da seta in Europa⁽²⁾.
D'altra parte la madre era un'artista: musicista, disegnatrice, poetessa. E, come il padre, persona idealistica e solitaria⁽²⁾: quel che si direbbe oggi nerd.
A 10 anni entra in un ginnasio nella Moravia diretto dai monaci benedettini, ma l'esperienza non era a lui molto adatta: non riusciva a interessarsi al greco e al latino, né riusciva ad adattarsi al metodo di insegnamento nozionistico della scuola. Al padre, quindi, non rimase che insegnargli egli stesso latino, greco, storia, algebra e geometria⁽²⁾.
Quegli anni, però, furono caratterizzati anche da una certa instabilità politica: il 1848, infatti, fu anno rivoluzionario e la reazione austriaca ai moti spinse la famiglia Mach a prendere in considerazione l'opzione di emigrare negli Stati Uniti. Di fronte a questa possibilità Ernst chiese di imparare un mestiere, in modo da poter guadagnare da solo i propri soldi una volta giunti a New York. Per i due anni successivi il ragazzo lavorò come apprendista in una falegnameria della zona, ma questo periodo non gli servì nel commercio, visto che la famiglia alla fine rimase in Austria, ma certo gli fu utile per acquisire quella manualità necessaria per i suoi lavori scientifici⁽²⁾.
Anno fondamentale fu il suo quindicesimo, quando entrò nella sesta classe del ginnasio di Kremsier, anche questo diretto da monaci⁽²⁾. Fu infatti in questo periodo che il giovane Ernst entrò per la prima volta in contatto con Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können (Prolegomeni a ogni futura metafisica che voglia presentarsi come scienza) di Kant⁽³⁾. L'importanza del libro nella sua formazione filosofica è sottolineata dallo stesso Mach in un passaggio ne L'analisi delle sensazioni (Die Analyse der Empfindungen und das Verhältnis des Physischen zum Psychischen):

Il libro, all'epoca, ebbe una forte e indelebile impressione su di me, una di quelle che non ho mai sperimentato in nessuna delle mie successive letture filosofiche. Circa due o tre anni più tardi, mi è apparsa spontaneamente la superfluità del ruolo giocato da "la cosa in sé". In un luminoso giorno d'estate all'aria aperta, il mondo con il mio ego improvvisamente mi appariva come una massa coerente di sensazioni, solo più fortemente coerente nell'ego. Sebbene l'attuale elaborazione di questo pensiero non si è verificato fino a un periodo più tardo, anche questo momento è stato decisivo per la mia intera prospettiva⁽³⁾.

Due anni più tardi, nel 1855, superati per puro caso gli esami finali, si iscrisse all'università di Vienna per studiare fisica e matematica^{(2, 3)}. Si laurea nel 1860⁽³⁾ con una tesi sulla scarica elettrica e l'induzione⁽²⁾, ottenendo nel 1861 la qualifica di privatdozen in fisica sempre a Vienna. I suoi primi corsi erano incentrati sulla fisica medica e fisiologica: è in questo periodo che pubblica un articolo in proposito, Über das Sehen von Lagen und Winkeln durch die Bewegung des Auges, dove si interessa della relazione tra la tensione dei muscoli degli occhi e la percezione della forma⁽³⁾.
Nel 1864 viene assunto dall'Università di Graz per una cattedra di matematica, successivamente tramutata in una di fisica⁽³⁾. Resterà a Graz fino al 1867, quando diventa professore di fisica sperimentale all'Università di Praga, dove resterà fino al 1895, realizzando qui i lavori scientifici che lo hanno reso come uno dei principali fisici sperimentali di tutti i tempi⁽²⁾.
Nel 1895 torna a Vienna per assumere l'incarico di una cattedra creata appositamente per lui, qualcosa di legato alla filosofia della scienza. Dopo appena tre anni, però, un colpo apoplettico gli lasciò il lato destro paralizzato: la malattia non gli impedì di continuare a lavorare, ma di fatto la sua carriera si chiuse dopo poco nel 1901⁽²⁾.
Gli ultimi anni, passati a Vaterstetten vicino Monaco, furono spesi nella stesura, insieme con il figlio Ludwig, di un testo dedicato all'ottica⁽²⁾.
Il primo risultato importante ottenuto da Mach fu la dimostrazione dell'effetto Doppler, scoperto nel 1841 da Christian Doppler⁽³⁾. Per quanto oggi l'osservazione di questo effetto possa sembrare abbastanza banale e semplice, all'epoca della scoperta l'effetto venne avversato da vari fisici illustri dell'epoca, come ad esempio il matematico viennese Petzval e l'astronomo Madler. In questo senso è quasi ironico che fu lo stesso Mach, che attraverso l'apparato sperimentale in figura dimostrò la validità dell'effetto, a proporre, in una lettera a Kirchhoff, un utilizzo astronomico dello stesso nello studio dello spettro delle stelle lontane con l'obiettivo di determinare la loro velocità di allontanamento⁽²⁾.

Lo strumento costruito da Mach era in grado, almeno per quel che riguarda il suono, a dimostrare la validità dell'effetto: il sistema era costituito da un tubo metallico, tipo una canna d'organo o il fischio di un treno, in grado di emettere dei suoni che venivano percepiti da un ascoltatore in maniera differente uno dall'altro in funzione della eventuale rotazione del tubo stesso⁽³⁾.
Partendo da un lavoro del 1875 di tale K. Antolik, insegnante ungherese di scuola superiore, Mach iniziò ad occuparsi delle onde d'urto generate da scariche elettriche. Supponiamo di generare in due punti differenti due scintille elettriche. Da ognuno dei punti di origine verranno generate delle onde che interagiranno una con l'altra nella zona intermedia tra le due origini, dove a un certo punto verranno create delle forme particolari, a V, dette le V di Mach⁽³⁾.

(circuito utilizzato da Mach per osservare le onde d'urto, dove viene utilizzata una bottiglia di Leida come condensatore)

Mentre Antolik era convinto che il fenomeno fosse in qualche modo legato con l'elettricità, Mach riuscì a dimostrare che era un fenomeno legato alla meccanica e all'acustica⁽³⁾. Ernst, insieme con i suoi collaboratori, continuò a studiare questo genere di onde, portando a termine una serie di osservazioni interessanti, come ad esempio che l'onda prodotta da una scintilla elettrica è un'onda di compressione di ampiezza finita⁽²⁾:

Non contraddice la teoria assumere che la velocità del suono sia indipendente dall'ampiezza. Ma ciò non è valido per oscillazioni di ampiezza finita, come ha mostrato Riemann nel 1860. La velocità del suono ha, per ampiezza finite, un significato ben diverso; è differente in punti differenti dell'onda e si modifica durante il moto dell'onda. Sembra che nel nostro esperimento abbiamo a che fare con onde come quelle descritte da Riemann^{(9, 2)}.

Per realizzare le sue foto, Mach utilizzò un interferometro, il Jamin per la precisione, che successivamente modificò con l'aiuto del figlio Ludwig. Un esempio del tipo di fotografie realizzate con il sistema è nell'immagine qui sotto, dove sono rappresentati i profili di densità dell'onda prodotta⁽²⁾:

Utilizzando però due sorgenti come quelle mostrate nella figura successiva (una sorgente dritta ig e una angolare bcd) Mach realizzò probabilmente una delle sue scoperte più incredibili, considerando l'impossibilità di avere i sofisticati apparati sperimentali che si possono avere oggi⁽²⁾:

Quelle linee che Mach ha tracciato semplicemente osservando la fuliggine tra le due sorgenti sono delle linee dovute alle interazioni tra le onde generate dalle due configurazioni elettriche utilizzate nell'esperimento: da una parte ciò conduce alla nascita di una nuova onda, lo stelo di Mach, dall'altro all'osservazione di un fenomeno di riflessione, oggi noto come riflessione di Mach⁽²⁾.
Tutti questi lavori furono basilari per i successivi studi sulla balistica, dove venne applicato anche un particolare circuito di ritardo realizzato dallo stesso Mach. Ora Ernst aveva a disposizione tutti gli strumenti per ottenere i grandi risultati che ottenne nel campo balistico:

Nel 1881 ascoltai una lezione del balistico belga Melsens. Egli propose che i proiettili ad alta velocità spingono una considerevole massa di aria compressa di fronte a loro. Nell'opinione di Melsens l'aria compressa può causare effetti meccanici, come esplosioni sui corpi che colpisce. Volevo sperimentare questa idea sperimentalmente e rendere il processo percepibile, se esiste. Il mio desiderio di farlo era il più intenso poiché tutti i mezzi erano disponibili. Li avevo precedentemente utilizzati e testati in altri esperimenti^{(13, 2)}.

L'idea era quella di fotografare un proiettile ad alta velocità all'interno di una stanza completamente buia utilizzando una scintilla elettrica estremamente breve, mentre per la rilevazione dell'aria compressa di fronte al proiettile il sistema ottico sviluppato da August Toepler nel 1864⁽⁵⁾.
Utilizzando queste indicazioni Peter Salcher, insieme con Riegler, realizzò la prima fotografia di un proiettile supersonico in volo nel 1886. Il risultato venne annunciato lo stesso anno in una conferenza presso l'Accademia di Vienna⁽²⁾:

(riproduzione della pubblicazione che annuncia la prima fotografia di un proiettile supersonico in volo)

Salcher era professore presso l'Accademia Navale di Fiume e questo comportò che la gestione del lavoro tra i due ricercatori avvenisse tramite lettere: di questo scambio epistolare è ampiamente disponibile (si riescono a trovare anche versioni in inglese, come ad esempio nel Krehl⁽⁸⁾, mentre altre, soprattutto quelle inviate da Salcher, sono conservate presso gli archivi dell'Ernst Mach Institut a Friburgo in Germania). Dalle lettere si comprende come Mach riteneva che l'onda fosse un inviluppo generato dai disturbi causati dal proiettile e suppose che fosse un'onda d'urto⁽²⁾. Nella lettera in cui fa esplicito riferimento alla cosa, scrive:

Mi aspetto che il proiettile trasporterà un inviluppo di aria compressa con una geometria approssimata come mostrato qui accanto. L'apice del cono troncato sarà indubbiamente dipendente dal rapporto tra la velocità del suono e la velocità del proiettile⁽⁸⁾.

A mettere in contatto i due in un certo senso ci pensa un amico di Mach, tale Peterin: è quest'ultimo, infatti, a suggerire la collaborazione tra i due e Mach, in una lettera datata 25 gennaio 1886, espone il problema al collega e la sua idea di voler fotografare un proiettile ad alta velocità ($500 - 600 m/s$)⁽⁶⁾.
Salcher accetta di buon grado la collaborazione e, dalle primissime foto che riesce a scattare, nota la presenza di una serie di onde intermedie, successivamente chiamate linee di Mach, originate dalla superficie appuntita del proiettile. Nel 1907, Ludwig Prandtl dell'Università di Gottinga notò che le linee di Mach spuntavano anche in un flusso supersonico che si propaga su una superficie ruvida, producendo così una forma a scacchi, tipo la trama sui kilt scozzesi tradizionali. Ogni linea di Mach è una piccola onda d'urto che parte dal sito dell'imperfezione e e si proietta con un angolo che dipende dalla velocità dell'aria: a mach 1 le linee sono perpendicolari al flusso; a mach 2 l'angolo è di 30°, e in generale a mach $M$ l'angolo è $\arcsin 1/M$.⁽⁸⁾
Nel loro famoso articolo⁽¹¹⁾, Mach e Salcher avevano già ottenuto una relazione matematica di questo genere (già in parte anticipata all'inizio di questo ritratto), che permette di ricavare la velocità di un proiettile supersonico a partire dalla geometria conica dell'aria spostata⁽⁸⁾: \[\sin \alpha = \frac{v_{\text{suono}}}{v_{\text{proiettile}}} = \frac{1}{M}\] dove $\alpha$, detto anche angolo di Mach, è l'angolo della punta del cono.

I due realizzarono che i fronti d'onda nelle fotografie erano delle onde d'urto e non delle onde sonore e che la velocità di propagazione era superiore a quella del suono:

La compressione davanti a un proiettile supersonico diventa così grande (...) fino a che la sua velocità di propagazione non eguaglia quella del proiettile (...) Seguendo a ritroso l'onda di testa, l'angolo $\alpha$ dell'elemento relativo alla linea di volo deve cadere lentamente e avvicinarsi al valore limite dell'arcoseno di $c_0 / v$ [dove $c_0$ è la velocità del suono e $v$ la velocità del proiettile] (...) La curva è così confrontabile a un iperbole (...) Il vortice dell'onda, quindi, si trova più vicino alla punta per velocità più alte (...) Anche puntare i proiettili porta il vortice dell'onda più vicino alla punta^{(11, 8)}.

Mach e Salcher supposero, poi, che anche nell'acqua sarebbe avvenuto un fenomeno simile:

E' possibile riprodurre questo fenomeno se prendiamo un'asta per la sua sezione trasversale $AB$ in un grande serbatoio d'acqua e la spostiamo a una velocità che supera la velocità di propagazione dell'onda^{(11, 8)}

In questa supposizione, però, commisero un errore, visto che l'angolo di Mach in acqua è costante, 39°, e indipendente dalla velocità.
Interessante, poi, osservare come i due ricercatori, per misurare la densità intorno a un proiettile supersonico, proposero un metodo ideato dal fisico italiano Leopoldo Nobili e che fa uso di

una placca di rame placcato d'argento sul fondo di un contenitore riempito con un elettrolita, ponendo un proiettile tipo non-conduttore sul foglio e immergendo sonde metalliche collegate a una batteria per trovare le [linee] equipotenziali^{(10, 8)}.

Il loro lavoro⁽¹¹⁾ permise di risolvere un paio di problemi balistici: era noto che quando venivano sparati proiettili ad alta velocità, si udivano due scoppi, uno solo con i proiettili a bassa velocità. Se uno dei due scoppi era dovuto alla canna del fucile, grazie alle osservazioni di Mach era ora possibile spiegare il secondo scoppio come dovuto all'onda d'urto intorno al proiettile⁽²⁾.
Inoltre le osservazioni di Mach permisero di scagionare i francesi sospettati, durante la guerra franco-prussiana del 1870-71, di aver utilizzato dei proiettili esplosivi: in effetti i risultati apparentemente esplosivi dell'artiglieria francese erano ancora una volta dovuti all'onda d'urto dei proiettili ad alta velocità scagliati dai loro cannoni⁽²⁾.
Un altro effetto collaterale, se così si può dire, del lavoro di Mach sulla balistica e in generale sullo studio delle onde d'urto è proprio la realizzazione delle fotografie: se da un lato questo ha portato a uno sviluppo della tecnica fotografica ealla realizzazione di circuiti e set-up sperimentali particolari, dall'altro sono proprio le fotografie stesse prodotte che in un certo senso hanno portato dietro di se una certa valenza artistica. Ad esempio l'interferogramma di un proiettile supersonico in volo⁽¹³⁾ non ha solo un valore scientifico ma è anche per certi versi gradevole a vedersi:

o ad esempio una delle primissime foto di un proiettile supersonico realizzato sempre da Mach:

che ha a sua volta ispirato Andrew Davidhazy nella realizzazione del suo contributo per la Mathematical Art Exhibition del 2013:

Sempre in termini di proiettili supersonici sono indubbiamente molto belle le due seguenti immagini, tratte da una review scritta appositamente per mostrare il lato artistico di questo genere di studi scientifici⁽⁷⁾:

Un ultimo fenomeno legato con questi studi di balistica fu l'osservazione di forme d'onda in un getto d'aria in espansione nell'atmosfera:

All'epoca degli esperimenti che coinvolgevano la fotografia dei proiettili in volo, Salcher ebbe l'idea di investigare il caso inverso dell'aria in movimento e dell'oggetto di prova a riposo per verificare i risultati ottenuti.
Se il getto aveva una sezione d'urto grande abbastanza, un fenomeno analogo alla curva d'urto diventa visibile per il corpo fisso^{(12, 2)}.

Ernst Mach, dunque, non deve essere semplicemente ricordato per il mach degli aerei supersonici, ma è stato sia l'ispiratore della teoria della relatività, grazie al Principio di Mach, e soprattutto un pioniere negli studi sul moto supersonico all'interno di un fluido. E' stato anche un abile e attento sperimentatore, ottenendo, come abbiamo visto, dei risultati eccellenti grazie a una grande manualità e a una inventiva rara che gli permise di ovviare alla carenza tecnologica del tempo.
E anche un filosofo della scienza e una mente poliedrica come poche, interessato anche ad altri generi di scienza e convinto che l'approccio della fisica alla natura potesse essere trasportato anche in tutti gli altri campi della ricerca scientifica.

Coloro che conoscono l'intero corso dello sviluppo della scenza, giudicheranno, come naturale, più liberamente e più correttamente il significato dell'attuale movimento scientifico rispetto a quelli che, limitati nella loro visione dall'epoca in cui la loro stessa vita è stata spesa, contemplano semplicemente la momentanea tendenza che il corso degli eventi intellettuali prende in questo momento⁽⁸⁾.
(Mach, Praga 1883)

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(1) Da notare che la velocità del suono nell'aria a condizioni standard, ovvero pressione di 1 atm e temperatura di 15°, è di circa $340 m/s$
(2) Reichenbach H. (1983). Contributions of Ernst Mach to Fluid Mechanics, Annual Review of Fluid Mechanics, 15 (1) 1-29. DOI: 10.1146/annurev.fl.15.010183.000245
(3) Pojman, Paul, "Ernst Mach", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
(4) Jayant V. Narlikar (2011). Mach's principle Resonance, 16 (4), 310-321 DOI: 10.1007/s12045-011-0037-9 (pdf)
(5) Schardin, Hubert, Toepler's Schlieren Method: Basic Principles for its Use and Quantitative Evaluation
(6) Gerhard Pohl. "Peter Salcher Und Ernst Mach Schlierenfotografie Von Überschall-Projektilen." Plus Lucis 2002/2-2003/1 (2003): 22-26. Print. (pdf)
(7) Kleine H. & Settles G.S. (2008). The art of shock waves and their flowfields, Shock Waves, 17 (5) 291-307. DOI: 10.1007/s00193-007-0118-6 (pdf)
(8) Krehl P.O.K. (2009). History of Shock Waves, Explosions and Impact: A Chronological and Biographical Reference, DOI: 10.1007/978-3-540-30421-0 (Google Books)

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(9) Mach, E., and Sommer, J. "Über Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit Von Explosionsschallwellen" Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 98 (1877): 101-31.
(10) Mach, E., "Uber Herrn A Guébhard's Darstellung der Äquipotentialcurven". Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 86 (Abth. IIa), 8-14 (1882).
(11) Mach, E., & Salcher, P. (1887). Photographische Fixirung der durch Projectile in der Luft eingeleiteten Vorgänge Annalen der Physik und Chemie, 268 (10), 277-291 DOI: 10.1002/andp.18872681008
(12) Mach E. & Salcher P. (1890). Optische Untersuchung der Luftstrahlen, Annalen der Physik und Chemie, 277 (9) 144-150. DOI: 10.1002/andp.18902770910 (pdf)
Esiste anche una sorta di versione estesa, con lo stesso titolo, scritta dal figlio di Mach, Ludwig (pdf)
(13) Ernst Mach. "Über Erscheinungen an Fliegenden Projektilen." Popularwiss. Vorlesungen, 5. Auflage, Leipzig 18 (1923): 356-83
Su archive.org si possono trovare Space And Geometry In The Light Of Physiological, Psychological And Physical Inquiry e The Science of Mechanics