L'appendice, dopo una breve introduzione, riparte dalla pagina riassuntiva del famoso programma di Hilbert sulla sistematizzazione della matematica basato sul seminario che lo stesso tenne l'8 agosto del 1900 al Congresso internazionale dei matematici tenutosi alla Sorbona di Parigi. E' da questo discorso che nascono i famosi 23 problemi, di cui solo i più urgenti vennero citati dal matematico tedesco in quell'occasione.
Chi di noi non vorrebbe essere lieto di sollevare il velo dietro il quale il futuro rimane nascosto; di gettare un'occhiata ai prossimi avanzamenti della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo durante i secoli futuri? Quali particolari obiettivi ci saranno attraverso i quali gli spiriti guida della matematica delle future generazioni si ingegneranno? Quali nuovi metodi e nuovi fatti nell'ampio e ricco campo del pensiero matematico rivelerà il nuovo secolo?Per causa di mancanza di tempo, Hilbert è costretto a limitare la sua lista solo ai problemi numero 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22, ma sull'articolo che successivamente uscirà all'interno degli atti del Congresso, proporrà la lista completa:
La storia ci insegna la continuità dello sviluppo della scienza. Sappiamo che ogni era ha i suoi particolari problemi, che l'era seguente risolve o mette da parte come poco promettenti e li sostituisce con nuovi. Se otterremo un'idea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nell'immediato futuro, dobbiamo lasciare che le domande insolute passino prima la nostra mente e guardare poi ai problemi che la scienza di oggi propone e la cui soluzione aspettiamo dal futuro. Una tale revisione dei problemi di oggi, giacenza al meeting del secolo, mi sembra quanto più adatta. La chiusura di una grande epoca non solo ci invita a guardare indietro nel passato ma anche a dirigere i nostri pensieri all'ignoto futuro.
Il profondo significato di alcuni problemi per l'avanzamento della scienza matematica in generale e il ruolo importante che giocano nel lavoro dei singoli ricercatori non deve essere negato. Quanto più una branca della scienza offre un'abbondanza di problemi, tanto più a lungo vive; una mancanza di problemi prefigura l'estinzione o la cessazione dello sviluppo indipendente. Così come ogni uomo intraprendente persegue certi obiettivi, così anche la ricerca matematica richiede i suoi problemi. E' dalla soluzione dei problemi che l'investigatore testa la tempra del suo acciaio; egli cerca nuovi metodi e nuovi sguardi, e guadagna un più ampio e più libero orizzonte.(2)
1. l'ipotesi del continuo;
2. la compatibilità degli assiomi aritmetici;
3. la congruenza tra due volumi di due tetraedri di base uguale e altezza uguale;
4. il problema della linea retta come la distanza più breve tra due punti (geometrie alternative);
5. il concetto Lie di gruppo continuo di trasformazioni senza la differenziabilità (i gruppi continui sono automaticamente differenziabili?);
6. trattazione matematica degli assiomi fisici;
7. irrazionalità e trascendenza di alcuni numeri;
8. il problema dei numeri primi (l'ipotesi di Reimann);
9. dimostrare la generalizzazione della legge di reciprocità per ogni campo numerico;
10. determinare la risolubilità di un'equazione diofantea;
11. forme quadratiche con qualsiasi coefficiente algebrico;
12. estensione del teorema di Kronecker ad ogni campo algebrico;
13. impossibilità delle soluzioni di un'equazione generale di 7.mo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti;
14. dimostrazione della finitezza di alcuni sistemi completi di funzioni;
15. fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert;
16. il problema della topologia di curve e superfici algebriche;
17. espressione di forme definite tramite quadrati;
18. costruire spazi da poliedri congruenti;
19. le soluzioni dei problemi regolari nel calcolo delle variazioni sono sempre necessariamente analitiche?;
20. il problema generale dei valori al contorno;
21. dimostrare l'esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo monodromico;
22. uniformare le relazioni analitiche attraverso funzioni automorfiche;
23. ulteriore sviluppo del metodo del calcolo delle variazioni.
A margine di tutto questo, è curioso osservare che nel 2000 lo storico tedesco Rüdiger Thiele scoprì tra gli appunti originali di preparazione al discorso un 24.mo problema che non venne incluso nella lista poi pubblicata:
2. la compatibilità degli assiomi aritmetici;
3. la congruenza tra due volumi di due tetraedri di base uguale e altezza uguale;
4. il problema della linea retta come la distanza più breve tra due punti (geometrie alternative);
5. il concetto Lie di gruppo continuo di trasformazioni senza la differenziabilità (i gruppi continui sono automaticamente differenziabili?);
6. trattazione matematica degli assiomi fisici;
7. irrazionalità e trascendenza di alcuni numeri;
8. il problema dei numeri primi (l'ipotesi di Reimann);
9. dimostrare la generalizzazione della legge di reciprocità per ogni campo numerico;
10. determinare la risolubilità di un'equazione diofantea;
11. forme quadratiche con qualsiasi coefficiente algebrico;
12. estensione del teorema di Kronecker ad ogni campo algebrico;
13. impossibilità delle soluzioni di un'equazione generale di 7.mo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti;
14. dimostrazione della finitezza di alcuni sistemi completi di funzioni;
15. fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert;
16. il problema della topologia di curve e superfici algebriche;
17. espressione di forme definite tramite quadrati;
18. costruire spazi da poliedri congruenti;
19. le soluzioni dei problemi regolari nel calcolo delle variazioni sono sempre necessariamente analitiche?;
20. il problema generale dei valori al contorno;
21. dimostrare l'esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo monodromico;
22. uniformare le relazioni analitiche attraverso funzioni automorfiche;
23. ulteriore sviluppo del metodo del calcolo delle variazioni.
Criterio di semplicità, o dimostrazione della massima semplicità di certe dimostrazioni. Sviluppare una teoria del metodo della dimostrazione in matematica in generale. Sotto un dato insieme di condizioni può esistere la dimostrazione più semplice. In generale, se ci sono due dimostrazioni per un teorema, bisogna continuare fino a che non si è derivata una dall'altra, o fino a che diventa abbastanza evidente che variazioni alle condizioni (e agli aiuti) sono state utilizzate nelle due dimostrazioni. Dati due percorsi, non è corretto prendere uno di questi due o cercarne un terzo; è necessario indagare l'area compresa tra i due percorsi. I tentativi di giudicare la semplicità di una dimostrazione sono nel mio esame di syzygies(1) e syzygies [Hilbert scrisse male la parola syzygies] tra syzygies (Hilbert 42, lectures XXXII–XXXIX). L'uso o la conoscenza di uno syzygy semplifica in modo essenziale una dimostrazione che una certa identità è vera. Poiché ogni processo di addizione [è] un'applicazione della legge commutativa dell'addizione etc. [e poiché] ciò corrisponde sempre a teoremi geometrici o a conclusioni logiche, uno può contare questi [processi], e, per esempio, nel dimostrare alcuni teoremi della geometria elementare (il teorema di Pitagora, [i teoremi] sui punti notevoli dei triangoli), si può decidere molto bene quale delle dimostrazioni è la più semplice.(3)Come si capisce, anche questo problema, il problema della semplicità delle dimostrazioni, è in linea con tutto il programma di Hilbert sull'assiomatizzazione completa della matematica: la richiesta di semplicità, infatti, non è per nulla banale da soddisfare e venne successivamente richiamata in vari modi in altri scritti e conferenze hilbertiane. Forse fu, ad ogni modo, la (apparente) ridondanza con altri problemi proposti, o forse, come suggerisce lo stesso Thiele, fu il fatto che la teoria delle dimostrazioni era una branca nascente della matematica che spinse a non inserire questo 24.mo problema nell'elenco.
(1) Uno syzygy è una relazione tra i generatori di un modulo M (en.wiki)
(2) Hilbert D. (1902). Mathematical problems, Bulletin of the American Mathematical Society, 8 (10) 437-480. DOI: 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3
(3) Thiele R. & Thiele R. (2003). Hilbert's Twenty-Fourth Problem, The American Mathematical Monthly, 110 (1) 1. DOI: 10.2307/3072340 maa.org)
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