Uno
spettraedro (
spectrahedron) è un insieme convesso che viene variamente utilizzato in matematica. Introdotto all'interno della
programmazione semidefinita(1), il nome unisce
spectra, che evoca gli autovalori di una matrice, con
hedron, per suggerire come gli spettraedri siano una generalizzazione dei più classici poliedri.
Lo spettraedro qui sopra, che è una variazione di quello realizzato da
Nie,
Parrillo e
Sturmfels(2), è stato realizzato da
Cynthia Vinzant che per il numero di maggio delle
Notices of American Mathematical Society ha scritto un breve articolo su queste curiosità geometriche
(3).
Iniziamo con il definirli, ma per farlo introduco, come Vinzant, un po' di algebra lineare. Innanzitutto una matrice è una tabella di numeri. Questa tabella agisce su un insieme di numeri, posti in colonna e chiamati
vettore colonna. Il risultato è anch'esso un vettore colonna. Quando quest'ultimo è linearmente legato al vettore colonna di partenza, allora lo scalare che fa passare dall'uno all'altro è chiamato
autovalore, mentre il vettore,
autostato della matrice. Ora, data una matrice reale simmetrica, i suoi autovalori sono definiti reali, e se gli autovalori sono tutti non negativi allora la matrice è
semidefinita positiva. L'insieme delle matrici semidefinite positive è rappresentato da un cono convesso all'interno di uno spazio vettoriale costituito dalle matrici simmetriche reali
(4).
A questo punto possiamo definire lo
spettraedro come l'intersezione di uno spazio lineare affine con il cono convesso delle matrici di cui sopra. Per spazio affine si intende un insieme di punti che è messo in connessione con un dato spazio vettoriale. Lo spazio affine delle matrici reali simmetriche sarà definito dalla seguente parametrizzazione:
\[A (x) = A_0 + x_1 A_1 + \cdots + x_n A_n\]
dove $x = (x_1, \cdots, x_n)$ è un vettore reale, mentre $A_0, \cdots, A_n$ sono matrici reali simmetriche. Gli spettraedri saranno quindi tutti gli $x$ tali che la matrice $A (x)$ è definita semipositiva
(3).
Degli esempi proposti dall'autrice nel suo articolo, quello che mi piace di più è legato a un particolare polinomio di quarto grado, $p(t) = t^4 + t^2 + 1$, che può essere rappresentato nel modo seguente:
\[p (t) = (1 \; t \; t^2) \begin{pmatrix}
1 & 0 & a \\
0 & 1-2a & 0 \\
a & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
t\\
t^2
\end{pmatrix}\]
dove gli spettraedri sono tutte le matrici per $a \in [-1, 1/2]$.
P.S.: chissà... magari da domani si inizierà a utilizzare il termine
spettraedro, che avrò avuto l'onore di avere introdotto!
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