Il palinsesto di Archimede

Vignetta di John Johnson da A Conversation with Archimedes (pdf) di Ezra Brown

Il 29 ottobre del 1998 presso la casa d'aste Christie's venne venduto un libro di preghiere medioevali. L'asta fu, per certi versi, drammatica: a contendersi il libro furono la Grecia attraverso il console generale a New York, il signor Manessis, e il mercante di libri Simon Finch. Tra lanci e rilanci si arrivò alla ragguardevole cifra di due milioni di dollari battuti da Finch: dopo alcuni interminabili minuti il console greco dovette rinunciare. La Grecia non poteva permettersi l'acquisto del libro che così finì nelle mani di un anonimo mecenate che aveva finanziato la missione di Finch a Christie's.
Ciò che realmente interessava i due avversari, però, non erano le preghiere contenute nel testo, ma quello che era nascosto tra le sue pagine: alcuni trattati redatti dal grande Archimede di Siracusa, tra cui spiccano Sui corpi galleggianti, il Metodo e lo Stomachion.
Nell'ottica del recupero e della conservazione dei testi archimedei, si può considerare una fortuna la vittoria di Finch all'asta del 1998, considerate le recenti difficoltà economiche della Grecia, sebbene è abbastanza automatico chiedersi come sarebbe cambiato il destino del palinsesto e della stessa Grecia in caso di vittoria. Lasciando da parte questo What if...?, concentriamoci sul palinsesto stesso.

Il recupero dei testi

Dopo essersi guardato intorno, il nuovo proprietario del prezioso documento scelse William Noel del museo Walters di Baltimora per prendersi cura del libro e recuperare i testi in esso contenuti, o ancora meglio per cercare le persone e i mezzi adatti allo scopo. In un'operazione di questo genere, la principale difficoltà sta soprattutto nel recuperare le informazioni che interessano, i trattati di Archimede in questo caso, sommersi da altri scritti, per lo più religiosi, o da immagini, come ad esempio le quattro a tema religioso di stile bizantino aggiunte nel 1938 con l'obiettivo di aumentare il valore commerciale del volume.
Allo scopo di recuperare i trattati di Archimede, vennero applicate al palinsesto una serie di tecniche di imaging, come l'elaborazione elettronica delle immagini digitali delle pagine condotta su diverse bande spettrali, come la luce visibile, gli ultravioletti, gli infrarossi. A questa prima acquisizione, avvenuta tra il 2006 e il 2007, ne seguì una successiva che si concentrò su ulteriori 12 bande spettrali, giungendo alla fine all'elaborazione digitale del testo grazie alla tecnica dello pseudocolore, che permette di mettere in rilievo testi nascosti o sovrascritti, come nel caso del palinsesto⁽¹⁾.
La tecnica (apparentemente) più inusitata tra quelle utilizzate sul palinsesto è però quella di bombardare il testo con la luce del sincrotrone. Per portare a termine questo obiettivo è stato necessario l'aiuto dello Stanford Linear Accelerator Center diretto all'epoca da Keith Hodgson:

La luce del sincrotrone viene creata quando gli elettroni che viaggiano alla velocità della luce prendono una traiettoria curva intorno a un anello di accumulazione, emettendo luce elettromagnetica ai raggi X attraverso lunghezze d'onda infrarosse. Il fascio di luce risultante ha caratteristiche che lo rendono ideale per rivelare l'architettura complessa e l'utilità di molti tipi di materia: in questo caso, il lavoro precedentemente nascosto di uno dei padri fondatori di tutta la scienza.

Vista l'importanza scientifica e matematica dei testi contenuti nel palinsesto, è stata necessaria la consulenza di una persona preparata nel campo come lo storico dellamatematica Reviel Netz, che si è impegnato nell'interpretazione e nella ricostruzione (laddove il testo era poco chiaro o mancante) dei trattati archimedei.

Il Metodo

Come quasi tutti i trattati di Archimede (e di molti dei suoi colleghi), anche il Metodo venne diffuso sotto forma epistolare, indirizzato nello specifico a Eratostene. Esso è sostanzialmente un trattato di carattere geometrico dove però Archimede applica uno dei suoi risultati più interessanti nel campo della fisica: la leva.
Una delle sue frasi significative è infatti:

Datemi un punto di appoggio e solleverò il mondo.

Archimede, di fatto ideando quello che oggi chiameremmo un esperimento mentale, utilizza una sorta di bilancia immaginaria costituita da due rette che sono i "bracci" e da due sezioni della figura esaminata, che sono i "pesi". Questa bilancia viene utilizzata per calcolare alcune grandezze carateristiche in particolari figure, o per stabilire particolari proporzioni come ad esempio il fatto che un segmento retto in un paraboloide è 3/2 del cono inscritto nello stesso.

Uno dei risultati più noti è invece legato alle proposizioni 13 e 14 che si occupano dell'unghia cilindrica. Essa è costruita a partire da un cilindro (di raggio $R$) inscritto in un cubo (di lato $2R$) che viene tagliato da un piano che attraversa il cubo a partire da uno spigolo fino all'asse di simmetria centrale del quadrato di base. Archimede nelle proposizioni si pone l'obiettivo di calcolare il volume dell'unghia.
È interessante osservare come il metodo utilizzato da Archimede sia il primo esempio di calcolo infinitesimo della storia: il matematico siracusano, infatti, suddivide l'unghia cilindrica in una serie infinita di triangoli, applicando quindi il metodo della bilancia e ottenendo come risultato che il volume dell'unghia cilindrica è 1/6 del cubo al cui interno è costruita.
Il calcolo di Archimede oggi sarebbe indubbiamente facilitato dal calcolo integrale⁽²⁾. Innanzitutto, dotato cubo e unghia cilindrica di un sistema di assi cartesiani, il volume di quest'ultima sarà dato da \[V_R = \int_{-R}^R \int_0^\sqrt{R^2-X^2} \int_0^{2Y} dZ dY dX\] Per semplificare tale intergrale si può innanzitutto porre il seguente cambio di variabili $x = X/R$ \[V_R = R^3 \int_{-1}^1 \int_0^\sqrt{1-x^2} \int_0^{2y} dz dy dx\] e infine ci si può porre nel caso adimensionale vonendo $V = V_R/R^3$ così da poter eseguire un calcolo che sia indipendente dal raggio del cilindro (è un po' come porre $R=1$).
Fatta quest'ultima posizione, si ottiene $V=4/3$. Poiché il volume del cubo è 8, è semplice ricavare il risultato di Archimede dividendo per tale numero il volume $V$: si ottiene così che il volume dell'unghia è 1/6 di quello del cubo⁽²⁾.

L'approccio integrale permette, però, di apprezzare anche quanto Archimede sia riuscito ad anticipare questa tecnica di calcolo. Il volume dell'unghia, infatti, può essere calcolato esattamente nello stesso modo di Archimede, ovvero suddividendo la figura in una serie di triangoli infiniti e quindi ricavando il volume come l'integrale dell'area di questi triangoli: \[V = \int_{-1}^1 (1-x^2) dx\] Come osservato da Lynch nel 2012, è possibile eseguire un calcolo analogo anche per le altre due possibili figure piane presenti nell'unghia, ovvero il rettangolo e la sezione sferica.

Lo Stomachion

Uno dei rompicapi di scomposizione e ricomposizione più noti e interessanti è certamente il tangram, un gioco di origine cinese dove a partire da 5 pezzi bisogna costruire delle nuove figure. Probabilmente grazie alla fama del tangram in molti pensarono che lo stomachion di Archimede fosse qualcosa di analogo.
Che Archimede si interessasse alla matematica anche con toni più leggeri era cosa nota: tra le sue lettere e i suoi scritti, ci sono non pochi enigmi e sfide che il nostro lanciava ai matematici suoi coevi. Probabilmente queste sfide erano lanciate più con l'intento di stimolare la discussione e la ricerca matematica che non per sottolineare la posizione di preminenza come matematico di Archimede stesso.
Come abbiamo visto in precedenza, Archimede era sufficientemente vicino all'idea di infinito reale da riuscire a determinare il volume dell'unghia cilindrica o un primo accurato valore di $\pi$. Grazie al lavoro del team messo in piedi da William Noel, il palinsesto ha permesso di recuperare in maniera molto più completa rispetto agli studi precedenti uno dei trattati apparentemente più inusuali della produzione del matematico siracusano: lo Stomachion.

Il trattato, molto breve rispetto al resto della produzione archimedea, propone un rompicapo tipo tangram: 14 figure geometriche piane arrangiate insieme per formare un quadrato. Il gioco con cui è stato successivamente diffuso prevede la realizzazione di varie forme, geometriche e non, a partire da questi 14 pezzi. Eppure da uno studio migliore condotto da Reviel Netz insieme con Fabio Acerbi e Nigel Wilson⁽³⁾ emerge come lo stomachion non sia un semplice rompicapo per passare il tempo (e che deve il suo nome ai mal di stomaco generati nei giocatori!), ma un quesito di combinatoria, che si è scoperto essere non solo diffusa tra i matematici greci, ma anche sufficientemente avanzata da ottenere risultati paragonabili al moderno calcolo combinatorio.
Gli ingredienti di questo particolare genere di calcolo, utilizzato per in quanti e quali modi è possibile disporre un insieme di oggetti, sono i fattoriali, le permutazioni e le combinazioni.
È a partire dal fattoriale, $n!$, ovvero il prodotto di tutti gli interi positivi da $1$ fino a $n$, che vengono calcolate le permutazioni, ovvero tutti i modi possibili in cui si può ordinare un insieme di oggetti, e le combinazioni di $n$ oggetti presi $k$ alla volta, ovvero tutti i sottinsiemi possibili di $k$ oggetti (maggior idettagli nella seconda parte delle avventure del professor Merlino).
In quest'ottica il quesito lanciato dallo Stomachion è allora semplice: in quanti modi differenti posso disporre le tessere in modo da ottenere sempre un quadrato?
La risposta giunse nel 2003 quando Bill Cutler, utilizzando un opportuno algoritmo, ottenne 536 disposizioni differenti, che potete apprezzare nella figura presa da Math World (una versione più grande si trova nelle pagine del Math Explorers' Club della Cornell):

Ci si può allora chiedere se è possibile ottenere una qualunque delle precedenti configurazioni a partire da una data configurazione attraverso delle mosse semplici, dove per mossa semplice si intende uno spostamento o una rotazione di una sottoregione simmetrica dello stomachion. La risposta è parzialmente positiva: ad esempio è possibile costruire un ciclo (hamiltoniano) di 266 disposizioni differenti delle tessere che si conclude con la disposizione di partenza.
Altre proprietà dello Stomachion in un tour di Fan Chung e Ron Graham.

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Il testo del Palinsesto, recuperato e digitalizzato, è stato quindi pubblicamente distribuito con licenza Creative Commons. Al progetto di recupero è stato anche dedicato un sito che però al momento è una semplice homepage con alcuni dei link non funzionanti.
Un articolo interessante sulla storia del palinsesto è Archimedes brought to light di Uwe Bergmann (pdf).
Un ottimo libro che racconta la storia del Palinsesto, del recupero dei testi in esso contenuti e del loro contributo matematico è Il codice perduto di Archimede di William Noel e Raviel Netz (per chi può c'è una recensione di Ezra Brown uscita nel 2009 su Math Horizons). A questa recensione aggiungerei anche l'articolo Infinite Possibilities: Ten Years of Study of the Archimedes Palimpsest che Noel ha scritto insieme con Roger Easton jr.
Sul Metodo è, poi, disponibile un'edizione in italiano a cura di Fabio Acerbi, Claudio Fontanari e Marialia Guardini edita da Bollati Boringhieri.

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(1) Scrive Keith Knox:

Lo pseudocolore è una tecnica standard che utilizza il colore in un'immagine per rappresentare l'informazione non-colorata, da cui il nome pseudo- o falso-colore. Tipicamente lo pseudocolore è utilizzato per rappresentare dettagli in scala di grigi in un'immagine che si estende su un intervallo dinamico più ampio di quello che può essere visto dal sistema visuale umano.

Keith Knox (2008). Enhancement of overwritten text in the Archimedes Palimpsest SPIE Proceedings, 6810 DOI: 10.1117/12.766679
(2) Shirley Gray, Daniel Ye Ding, Gustavo Gordillo, Samuel Landsberger, & Cye Waldman (2015). The Method of Archimedes: Propositions 13 and 14 Notices of the American Mathematical Society, 62 (09), 1036-1040 DOI: 10.1090/noti1279
(3) Netz, Reviel, Fabio Acerbi, and Nigel Wilson. "Towards a reconstruction of Archimedes' Stomachion." Sciamvs 5 (2004): 67. (academia.edu)