Potenza di potenza: commento sprint

Mi inserisco nel "certame" matematico tra @_juhan e @zzar!

Da un commento di Roberto Zanasi, il buon Juhan ha iniziato una serie di post interessanti per capire come pensa un programmatore nel momento in cui ragiona su un problema come la potenza di potenze. Certo il problema se non avesse un'ambiguità di fondo, almeno nell'ottica del pensiero da programmatore (molto ammericano) non presenterebbe una differenza di vedute così netta, ma è anche indubbio che il modo di approcciarsi a un problema del genere è completamente differente quando lo si affronta da matematico o da programmatore. E non è, secondo me, questione di calcolare partendo da destra o da sinistra, come suggerito da Juhan. Andiamo, però, con ordine.
Il problema di partenza è calcolare la seguente potenza di potenze: \[2^{2^{2^{2^0}}}\] Non essendoci parentesi che suggeriscono la priorità di calcolo, ci si sentirebbe legittimati a partire da sinistra o da destra, ma esiste una regola nell'elevazione a potenza che permette di svolgere un qualunque calcolo del genere. Ovviamente il numero più in basso è la base, mentre tutti gli altri sono esponenti. Ricordato ciò, ecco la regola: \[a^{m^n} = a^{m \cdot n}\] che allora può essere generalizzata nel modo seguente: \[a^{b_1^{b_2^{{\cdots}^b_n}}} = a^{\prod_i^n b_i}\] Questo implica che, se uno qualsiasi dei $b_i$ è nullo, allora il risultato della potenza di potenze, in mancanza di parentesi che inducono priorità nel calcolo, è 1.
Il risultato 16 dovuto alla maggior parte degli algoritmi è frutto della difficoltà nel gestire la potenza di potenze utilizzando una regola che discende direttamente dalla definizione di esponenziale. A questo agiungerei anche la vicinanza tra il pensiero da programmatore e quello ammericano di affrontare un problema di petto, con la prima soluzione in mano, senza ragionare sul problema stesso e sulle definizioni matematiche che lo coinvolgono (tranquilli: ci cado anche io in questo modo di approcciarmi, a volte; l'importante è rendersene conto e poi modificare!).
Visto che ci sono, vi segnalo anche la seconda parte della serie.

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Aggiornamento del 7 luglio 2016:
Dopo la pubblicazione iniziale di questo post, seguendo un programma che avevo già in mente di attuare, ho posto la domanda su Quora ed è giunta una risposta di Justin Rising che secondo me presenta un elemento importante: rimanda a una pagina wiki ben fatta (e che mi era colpevolmente sfuggita...) con una fonte come quelle necessarie per validare la dimostrazione:

Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1.". In Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea. Taschenbuch der Mathematik (in German) 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). pp. 115–120.

D'altra parte il calcolo dell'espressione può essere svolto anche nel modo seguente: \[n_0 = 2^{2^{2^{2^0}}} = 2^{n_1}\] \[n_1 = 2^{2^{2^0}} = 2^{n_2}\] \[n_2 = 2^{2^0} = 2^{n_3}\] Quindi \[n_3 = 2^0 = 1 \Rightarrow n_2 = 2 \Rightarrow n_1 = 4 \Rightarrow n_0 = 16\] E questo, direi, chiude la faccenda in favore di Juhan!