La costante di Planck
Studiando il corpo nero con la fisica classica, giunto all'equilibrio termico con l'ambiente esterno, avrebbe dovuto emettere radiazione elettromagnetica con potenza infinita, cosa che non era verificata sperimentalmente. L'equazione introdotta da Planck senza alcuna dimostrazione matematica era in grado di spiegare l'assenza di tale catastrofe grazie all'utilizzo della così detta azione elementare, la già citata costante di Planck: \[h = 6.626070 \cdot 10^{-34} J \cdot s\] L'azione è una grandezza fisica utilizzata per studiare il moto di un oggetto e, in un certo senso, valutare lo "sforzo" compiuto dal sistema per muoversi. Ha le dimensioni di un'energia per un tempo (quindi potremmo descriverla come il prodotto tra l'energia spesa e il tempo necessario per spenderla) e, come funzione, può assumere valori differenti in funzione della traiettoria percorsa. Il principio di minima azione stabilisce che in natura il percorso preferito dal sistema è quello (o quelli) in cui l'azione è minima. La costante di Planck è allora il valore minimo assoluto che può assumere una qualsiasi azione, ovvero non esiste alcun sistema fisico che può accedere a un'azione inferiore ad $h$.
Il valore fondamentale di tale costante è evidente quando osserviamo che se fosse dieci volte più piccola, delle semplici braci emetterebbero luce 1000 più intensa e a frequenze ultraviolette, oppure una stella non sarebbe più in grado di fondere l'idrogeno in deuterio e produrre elio.
Consigli per la scuola
Misurare la costante di Planck
Traduzione e adattamento dell'attività Classroom fundamentals: measuring the Planck constant di Maria Rute de Amorim e Sá Ferreira André, Paulo Sérgio de Brito André
E' possibile misurare la costante di Planck a scuola con un semplice apparato sperimentale costituito da:
- 4 LED di 4 colori differenti (rosso, arancione, verde, blu)
- una batteria
- un tester (da utilizzare una volta come voltmetro e un'altra come amperometro)
- un potenziometro da $1 k\Omega$
- Impostare il circuito come mostrato nello schema. Collegare l'amperometro in serie con il LED per misurare la corrente l'attraversa e collegare il voltmetro in parallelo al LED per misurare la tensione ai suoi capi. La tensione applicata può essere cambiata usando il potenziometro o il reostato.
- Portare la tensione da 0 V a 3 V con incrementi di 0,05 V e misurare la corrente elettrica passante per il LED. Ricordare che quando la corrente che scorre attraverso il LED è piccola, il LED potrebbe non accendersi, ma l'amperometro può comunque misurare il valore della corrente. Per proteggere il LED, fare attenzione a mantenere la corrente al di sotto di 5 mA.
- Per ciascun LED, traccia un grafico della corrente rispetto alla tensione. Su ciascun grafico, trova la linea retta che si adatta meglio ai punti crescenti nella parte destra. Se tali punti si trovano vicino alla retta, questo mostra l'esistenza di una relazione lineare tra la tensione applicata e la corrente passante per il LED.
- Infine, determinare la tensione di attivazione $V_a$ dai dati raccolti. Questo è il punto in cui la corrente inizia ad aumentare linearmente al variare della tensione. Tale valore coincide con l'intersezione della retta che descrive la regione lineare del grafico con l'asse delle $x$ e può essere determinato o con il metodo grafico (utilizzando un righello) o matematicamente (ricavando la retta con un metodo di regressione lineare e quindi calcolando l'intercetta con l'asse $x$) in funzione del livello e delle conoscenze degli studenti.
Per l'analisi dei dati e il loro utilizzo per il calcolo effettivo del valore della costante di Planck, è necessario fornire agli studenti i valori delle lunghezze d'onda di ciascun colore. Abbinata all'informazione sulla lunghezza d'onda(1), si può anche fornire il valore della tensione di attivazione del LED, che può essere confrontato con il valore sperimentale determinato dagli studenti.
Colore del LED
Lunghezza d'onda $\lambda$ (nm)
Tensione di attivazione $V_a$ (V)
Rosso
623
1.78
Arancione
586
1.90
Verde
530
2.00
Blu
482
2.45
La tensione di attivazione è il valore di tensione per il quale il LED inizia a emettere i fotoni. Tale valore è legato all'energia dei fotoni emessi dalla seguente relazione: \[V_a = \frac{E_\gamma}{e} + \frac{\varphi}{c}\] dove $e$ è la carica dell'elettrone, pari a $1.6022 \cdot 10^{-19} \, C$, mentre ${\varphi}/{c}$ è un termine costante che misura le perdite di energia dovute alla giunzione del semiconduttore del LED. La costante $\varphi$, però, non è nota, quindi non è possibile utilizzare l'equazione direttamente. Però se scriviamo esplicitamente $E_\gamma$ nell'equazione di $V_a$ otteniamo: \[V_a = \frac{hc}{e} \frac{1}{\lambda} + \frac{\varphi}{c}\] Se indichiamo $V_a \rightarrow y$, $1/\lambda \rightarrow x$, la relazione precedente è una retta il cui coefficiente angolare è $m = \frac{hc}{e}$. Questo vuol dire che se disegniamo su un grafico la tensione di attivazione in funzione del reciproco della lunghezza d'onda, otterremo una retta. Misurandone o calcolandone la pendenza, è possibile ricavare la costante di Planck a partire dal coefficiente angolare: \[h = \frac{m e}{c}\] Il valore così ottenuto va confrontato con quello sperimentalmente accettato, $6,62606957 \cdot 10^{-34} J \cdot s$ con un errore del 7%. Ovviamente il valore determinato dagli studenti potrebbe risultare più grande rispetto a quello standard, ma in ogni caso l'approssimazione dovuta a questo esperimento semplice e poco sofisticato dovrebbe essere più che accettabile, anche considerando il risultato ottenuto: misurare a scuola una delle costanti fondamentali dell'universo.
Note:
(1) I valori nella tabella per i colori verde e blu sono stati corretti utilizzando Lunghezze d'onda della luce e la percezione dei colori di Rodolfo Calanca
Il corpo nero
Relativamente al corpo nero, senza scendere nei dettagli, vi segnalo Blackbody spectrum - PhET Interactive Simulations e Electromagnetic Radiation in the Atmosphere: Reflection, Absorption, and Scattering
I contributi di Einstein
Anche Albert Einstein contribuì alla nascita della meccanica quantistica iniziando con l'equazione di Planck-Einstein $E = h \nu$, che lega l'energia alla frequenza $\nu$ della radiazione, e con l'idea dei quanti di luce. A questi contributi iniziali sono da aggiungere la quantizzazione dell'energia di un oscillatore materiale (marzo 1906) e la spiegazione di alcuni calori specifici utilizzando tale quantizzazione (novembre 1906); la doppia natura ondulatoria e corpuscolare della luce confermata dalle fluttuazioni nella densità di energia emessa da un corpo nero (1909); la spiegazione dell'effetto fotoelettrico e l'introduzione della casualità (1916); indipendentemente da de Broglie, propone di attribuire proprietà ondulatore ai corpuscoli, introduce la statistica quantistica per un gas di particelle e scopre l'oggi noto condensato di Bose-Einstein (1924); propone il famoso paradosso EPR (dai co-autori Boris Podolsky e Nathan Rosen) che invece di mostrare l'irrealtà fisica della meccanica quantistica, apre la strada all'entanglement (1935).
E' difficile credere che questa descrizione sia completa. Sembra rendere il mondo nebuloso a meno che qualcuno, un topo ad esempio, non lo stia guardando. E' credibile che lo sguardo di un topo possa cambiare considerevolmente l'universo?Tale commento fu di ispirazione per Hugh Everett che propose l'interpretazione dei molti mondi della meccanica quantistica. Questa, però, è un'altra storia il cui racconto verrà per ora lasciato in sospeso.
Consigli per la scuola
L'effetto fotoelettrico
L'effetto fotoelettrico consiste nell'emissione di elettroni da una piastra metallica colpita da una radiazione elettromagnetica prodotta con una particolare lunghezza d'onda, il cui valore dipende dal metallo colpito.
Un ottimo modo per fornire agli studenti un modo per avvicinarsi all'effetto fotoelettrico è utilizzando la simulazione, realizzata con java, Effetto fotoelettrico - PhET Interactive Simulations. Come spiegato in Teaching the photoelectric effect inductively, tale approccio permette di
- Approcciare e impratichirsi con il problem solving
- Stabilire le ipotesi/raccogliere le informazioni
- Realizzare una analisi/controllo concettuale
La struttura dell'atomo
Gli esperimenti di Millikan del 1916 e di Compton del 1921 fornirono indizi sulla natura dell'elettrone e delle sue interazioni con la materia. Sono del 1924 i due lavori indipendenti di Einstein e di Louis de Broglie che suggeriscono l'esistenza di onde di materia le cui frequenza e lunghezza d'onda sono definite dalle due relazioni:
\[\nu = \frac{E}{c}\]
\[\lambda = \frac{h}{p}\]
L'anno dopo ecco arrivare la famosa equazione di Erwin Schroedinger, che può essere intesa come una sorta di generalizzazione matematica dell'equazione di Planck-Einstein. E infine nel 1927 ecco l'esperimento di Davisson e Germer dove un cristallo di nichel viene fatto attraversare da un fascio di elettroni. Ci sono tutti gli ingredienti per suggerire una descrizione il più accurata possibile dell'atomo.Il primo a lanciarsi in tale impresa fu Niels Bohr con il suo famoso modello planetario dell'atomo di idrogeno; a seguire quello che potremmo chiamare l'atomo di de Broglie, dove l'elettrone si muove oscillando intorno al nucleo guidato da un'onda di materia; infine ecco arrivare l'atomo di Schrodinger, dove l'elettrone è visto come un'onda la cui struttura è simile a una sfera di densità. L'elettrone è così delocalizzato intorno al nucleo. Tale descrizione è stata verificata nel 2013 con la prima osservazione degli orbitali dell'atomo di idrogeno.
Consigli per la scuola
Bibliografia e immagini a fumetti:
Il mistero del mondo quantistico di Thibault Damour e Mathieu Burniat. Traduzione di Ugo Moschella. Edizioni Gribaudo, 2017 9788858018637
Il mistero del mondo quantistico di Thibault Damour e Mathieu Burniat. Traduzione di Ugo Moschella. Edizioni Gribaudo, 2017 9788858018637
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