L'ultima luna d'autunno

Quest'anno l'autunno è iniziato il 23 settembre e si concluderà il 21 dicembre. Dal punto di vista astronomico la stagione è definita dall'equinozio d'autunno, che ne determina l'inizio, e il solstizio d'inverno, che ne determina la conclusione. Se andiamo a consultare il calendario delle fasi lunari (la versione originale della NASA è disponibile su archive.org: ho utilizzato la versione del 10 aprile 2014) scopriamo che le lune nuove d'autunno cadono il 9 ottobre alle 3:47, il 16 novembre alle 16:02 e il 7 dicembre alle 7:20, e visto che sono tutte date passate al momento della pubblicazione di questo articoletto, mi scuso con tutti per la prontezza di riflessi.
Ciò che però potrebbe suonare interessante per tutti gli appassionati tolkeniani è il giorno di Durin, il primo giorno dell'anno nuovo dei Nani che cade il primo giorno dell'ultima luna nuova crescente d'autunno. In particolare Bilbo Baggins e la compagnia di nani che lo accompagna giungono finalmente presso la Montagna Solitaria dove il drago Smaug dimora all'interno dei possedimenti dei Nani, custodendo per se il loro tesoro.
Rispetto alla definizione classica, Tolkien definisce l'autunno come la stagione che va dal giorno a metà tra solstizio d'estate ed equinozio d'autunno fino al giorno a metà tra l'equinozio d'autunno e il solstizio d'inverno, o più semplicemente tra il 3.o e il 4.o cross quarter-day. Questo vuol dire che l'ultima luna d'autunno cadrà, secondo il nostro calendario, tra fine ottobre e inizio di novembre (nel caso del 2018 sarebbe il 9 ottobre). In particolare ne Lo Hobbit il calcolo della prima luna d'autunno risulta fondamentale, perché è proprio la luce prodotta dalla luna in questo particolare giorno che permette di identificare la porta segreta che da accesso alla dimora di Smaug. Per fare questo calcolo, nei panni di Bilbo Baggins, potremmo utilizzare queste due regole⁽¹⁾:

1. Una luna nuova cadrà nella stessa data ogni 19 anni
2. Una luna nuova cadrà due giorni più tardi rispetto a 160 anni prima

A questo punto creiamo il contesto fisico che ci permetterà di ricavarle: si definisce il tempo $t = 0$ la mezzanotte del 7 novembre dell'anno in cui il giorno di Durin cade il 7 novembre. Inoltre si prende come asse delle coordinate quello centrato sulla Terra, mentre il Sole sarà posto nella posizione fissa (2,0) e la luna si muoverà lungo la circonferenza di raggio 1 e centro (0,0).
La posizione della luna lungo questa traiettoria sarà descritta da equazioni trigonometriche dipendenti dal tempo e dalla frequenza $\nu$ del moto periodico della luna stessa. In questo sistema di coordinate le fasi della luna possono essere descritte attraverso l'intersezione tra l'asse verticale e la retta che unisce Sole e luna, che è una funzione periodica, $V(t)$, dipendente dal tempo:

\[V(t) = \frac{2 \sin (2\pi \nu t)}{2-\cos (2\pi \nu t)}(u-2)\] Come spiegato da Simonson⁽¹⁾ il 7 novembre nella definizione di Tolkien è l'ultimo giorno d'autunno. Quindi l'ultima luna d'autunno cadrà in un giorno compreso tra l'8 ottobre e il 7 novembre, che diventa così l'ultimo estremo possibile per fissare il giorno di Durin. La scelta è comunque arbitraria e serve per produrre i grafici che tracciano la posizione della Luna nel cielo vicino alla mezzanotte del 7 novembre di vari anni:

Come potete notare i grafici dopo 19 e 38 anni dallo 0 sono molto simili a quelli dell'anno 0.
Inoltre, consultando il calendario delle fasi lunari che linkavo all'inizio del post, si riesce a scoprire che il giorno di Durin per la Terra cade nella stessa data, anche se a orari differenti, negli anni 1994-2013, 1995-2014, 1996-2015⁽¹⁾ e 1999-2018.
Per applicare la seconda delle due regole è necessario utilizzare una versione normalizzata della $V(t)$ \[W(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} V(t)\] Al di là delle osservazioni tecniche per la determinazione dell'intervallo di 160 anni, c'è da osservare anche un altro piccolo dettaglio: a causa della precessione degli equinozi, anche le date di inizio e fine delle stagioni subiscono delle modifiche. In particolare nel corso di 160 anni si guadagnano all'incirca 2 giorni, quindi vuol dire che il giorno di Durin dopo 160 anni cadrà due giorni più tardi, come avviene negli anni 2013-2173, 2014-2174 e 2015-2175⁽¹⁾.
Ovviamente, mentre le date e gli anni sono riferiti alla Terra e al calendario giuliano e dunque sarebbero differenti per quel che riguarda la Terra di Mezzo, la matematica e la fisica necessarie per portare a termine i calcoli sono indipendenti in quanto universali.

---

---

1. Simoson, A. (2014). Bilbo and the last moon of autumn. Math Horizons, 21(4), 5-9. doi:10.4169/mathhorizons.21.4.5 (jstor) ↩↩↩↩