I rompicapi di Alice: Misture (an)alcoliche

Nella vita tutti quanti abbiamo fatto delle misture costituite da liquidi differenti. Ad esempio mescolando due bibite analcoliche, come nel mio caso, essendo astemio, o magari allungando un liquore con dell'acqua perché troppo alcolico o per farlo durare di più quando abbiamo ospiti a casa. Ovviamente, sperando che ciò non vi suggerisca un tale comportamento, potete concludere la cena, magari prima di offrire il classico brandy, un simpatico giochino matematico tanto amato da Lewis Carroll, logico, matematico e soprattutto autore de Alice nel Paese delle Meraviglie.

Un problema di mescolamento

Il problema è presto detto. Prendiamo due bicchieri. Il primo lo riempiamo con 50 cucchiai di brandy. Il secondo con 50 cucchiai di acqua. Quindi prendiamo un cucchiaio dal bicchiere di brandy e lo versiamo nel bicchiere d'acqua. E poi mescoliamo. Alla fine di questa operazione preleviamo un cucchiaio della mistura e lo versiamo nel bicchiere di brandy.
La domanda è: sarà di più la quantità di acqua nel bicchiere di brandy o la quantità di brandy nel bicchiere d'acqua?
Pensateci un po' e poi tornate a leggere.

Mi spiace deludervi, ma se avete fornito una qualunque delle due opzioni di cui sopra come risposta, avete semplicemente sbagliato. la quantità di brandy nel bicchiere d'acqua è, in proporzione, identica alla quantità di acqua nel bicchiere di brandy. Proviamo a vederlo usando bicchieri riempiti con appena 10 cucchiai.
Quando prendiamo il primo cucchiaio di brandy e lo versiamo nell'acqua, avremo un bicchiere costituito da 10 parti di acqua e 1 parte di brandy, in frazioni $10/11$ di acqua e $9/11$ di brandy.
Dopo aver mescolato per bene, il cucchiaio che preleviamo dal bicchiere d'acqua sarà a sua volta costituito con le stesse proporzioni. Per cui nel bicchiere di brandy alla fine dell'operazione conterrà 10 cucchiai di liquido così costituito: \[9b + \frac{10}{11} a + \frac{1}{11} b\] e facendo un paio di conti \[\frac{100}{11} b + \frac{10}{11} a\] Il bicchiere d'acqua, invece, dopo la sottrazione di un cucchiaio di mistura, risulta costituito da \[10 a + 1 b - \frac{10}{11} a - \frac{1}{11} b\] e facendo un po' di conti \[\frac{100}{11} a + \frac{10}{11} b\] E quindi il brandy nell'acqua ha le stesse proporzioni dell'acqua nel brandy!

Il paradosso del vino e dell'acqua

Una variazione su questo rompicapo, anche se l'autore non l'ha posta in questi termini, è stata proposta nel 2005 dal matematico australiano Michael Deakin⁽²⁾. Il paradosso recita all'incirca così:

In un bicchiere c'è una mistura di vino e di acqua. Sappiamo che il rapporto tra la quantità di vino e quella di acqua è un numero $x$ compreso tra 1/3 e 3. Cerchiamo la probabilità per cui $x \leq 2$.

Utilizzando il principio di indifferenza, si assume che $x$ sia uniformemente distribuita. Quindi la probabilità per cui $x \leq a$ è data da⁽¹⁾ \[\frac{1}{8} (3a - 1)\] Sostituendo $a=2$ otteniamo che la probabilità per cui $x \leq 2$ risulta $5/8$.
E fin qui tutto bene.
Proviamo, ora, a chiederci qual'è la probabilità per cui il rapporto $y$ tra acqua e vino (quello che abbiamo calcolato è il rapporto vino/acqua) sia superiore a $1/2$. Allo stesso modo con cui abbiamo calcolato la probabilità per $x$⁽¹⁾, calcoliamo la probabilità per $y$: \[\frac{3}{8} (3-a)\] In questo caso, sostituendo $a = 1/2$ otteniamo una probabilità di $15/16$. Il problema è che, mentre ci saremmo aspettati di trovare due probabilità identiche, ciò non è avvenuto.
Da dove sorge questa discrepanza? Nel suo articolo⁽²⁾ Deakin metteva in fila una serie di soluzioni presenti in letteratura, ma l'unica più ovvia mi sembra che sia stata bellamente ingnorata. Prendiamo la disuguaglianza relativa a $x$: \[\frac{1}{3} \leq x \leq 3\] Questa, prendendo $y=1/4$, diventa \[3 \geq y \geq \frac{1}{3}\] che è in tutto analoga a quella precedente. Ciò che cambia, però, è il vincolo. Nel primo caso $x \leq 2$, per cui l'intervallo di valori possibili è dato da \[2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\] Nel secondo caso $y \geq 1/2$, per cui l'intervallo è lungo \[3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\] Come vediamo i due intervalli hanno lunghezze differenti e dunque le due probabilità, calcolate come rapporto tra intervalli, sono inevitabilmente differenti.

---

1. La probabilità in questione viene calcolata in questo modo. La probabilità è definita come il rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali. In questo caso i casi totali sono tutti i numeri compresi tra $3$ e $1/3$. La lunghezza di questo intervallo è $8/3$. I casi favorevoli sono tutti i numeri compresi tra $a$ e $1/3$. La lunghezza di questo intervallo è $a - 1/3$. Quindi la probabilità è data da \[\frac{a - \frac{1}{3}}{\frac{8}{3}}\] da cui la formula di cui sopra. ↩↩
2. Deakin, Michael A. B. (2005). The Wine/Water Paradox: background, provenance and proposed resolutions. Australian Mathematical Society Gazette. 33 (3): 200–205. (pdf su reaserchgate.net) ↩↩