venerdì 12 febbraio 2021

Un fatto curioso sui semicerchi

Dopo un periodo (che definirei terribile) finanche troppo lungo in cui ho passato a vedere ogni giorno i video di MasterChef Italia, sono finalmente uscito dal tunnel e ho ripreso possesso di YouTube, riuscendo a riportare in home page i miei video preferiti, quelli legati al metal in varie declinazioni, alla musica classica e alla scienza. In particolare il tubo mi ha consigliato un video particolare, A Curious Fact About Semicircles e mi è venuto in mente che avrei potuto usarlo per un nuovo post della serie senza parole. Poi mi sono reso cnto che mi servivano due immagini, e allora ho realizzato un'infografica matematica (qui il pdf e per i più curiosi ecco il LaTeX). Ovviamente qui sotto vi ho spezzato l'infografica nelle due immagini principali, ognuna delle quali corredata delle sue equazioni. Rispetto al video cambia la dimostrazione della prima immagine, dove sfrutto il teorema delle corde.
Alla fine ho scritto troppo, ma mi sembrava giusto metterci un po' di contesto. Il resto lo lascio alle immagini e alle formule:
20210212-semicerchi01
\[A_1H : HB = B_1H : HA2\] \[A_1H = a+b = HB \Rightarrow b-a = B_1H = HA_2 = x\]
20210212-semicerchi02
\[(2a)^2 + (2b)^2 = (2r)^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = r^2\] \[A_a = \frac{1}{2} \pi a^2, \qquad A_b = \frac{1}{2} \pi b^2\] \[A_c = \frac{1}{2} \pi r^2\] \[A_a + A_b = \frac{1}{2} \pi (a^2 + b^2) = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} A_c, \, \forall a, b \in R\]

2 commenti:

  1. Ogni volta che trovo problemi di questo tipo "baro" partendo dall'assunzione che una risposta esiste ed è univoca (= problema ben posto). Allora considero un caso degenere come, nell'esempio, uno dei due semicerchi nullo e, quindi, l'altro che occupa una metà intera del cerchio. In questo modo la risposta di 1/2 viene fuori istantaneamente senza nessun calcolo in 15 secondi. Lo so che è barare ma è più forte di me... :-)

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    1. Più che barare è un controllare in maniera rapida l'esattezza della soluzione!
      E comunque il caso degenere è ammesso, in matematica.

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