I problemi di Fibonacci: Inseguimenti

Il più noto problema di inseguimento è, sicuramente, il paradosso di Zenone, dove Achille insegue e sicuramente raggiunge la tartaruga. Non è mia intenzione riprendere e ripercorrere la storia di quel paradosso, ma semplicemente introdurvi al primo problema di inseguimento presente nel Liber Abaci di Fibonacci, Di un cane e di una volpe. Questo il testo, così come è presente su Giochi matematici del medioevo a cura di Nando Geronimi:

Una volpe in fuga è 50 passi davanti a un cane che la insegue. Il cane compie un tratto di 9 passi mentre la volpe ne compie uno di 6 passi.
Dopo quanti passi la volpe sarà raggiunta dal cane?

Questo problema può essere risolto sia in maniera matematica, sia in maniera fisica. Ed è in quest'ultimo modo che ve lo sottopongo, così come in questo modo l'ho fatto risolvere durante la mia (lontana ormai di mesi) ultima supplenza.
Dal punto di vista fisico possiamo decidere di cercare il percorso fatto dalla volpe prima di venire raggiunta dal cane. Per risolverlo trasformiamo il numero di passi compiuti nell'unità da volpe e cane rispettivamente nelle velocità v_v e v_c, mentre chiamiamo d la distanza che c'è tra i due animali. Fatto questo il problema è risolto: basta ragionare in termini di velocità relativa.
Supponiamo di essere una pulce sul pelo della volpe. A parte il moto in su e in giù dovuto ai sobbalzi, il cane si avvicinerà sempre di più a noi ma non con la sua velocità, ma con una inferiore

e questa è la velocità relativa del cane rispetto alla volpe. Il tempo che, quindi, il cane impiegherà per raggiungere la volpe sarà dato allora da

dove v è la velocità relativa calcolata prima.
A questo punto un'ultima equazione: usando questo tempo e la velocità della volpe scopriremo lo spazio percorso dalla volpe fino alla sua inevitabile cattura:

E se ci fate attenzione è anche la soluzione proposta da Fibonacci:

Calcola prima il prodotto tra 6 e 50, dividi poi il risultato per la differenza tra9 e 6. Il prodotto tra 6 e 50 è 300, la differenza tra 9 e 6 è 3; il rapporto tra 300 e 3 è 100 e tanti sono i passi che farà la volpe.

Un altro problema di inseguimento si trova in apertura del volumetto e ha per protagonisti due uomini. E' noto come Di due viaggiatori:

Due uomini si mettono in cammino per un lungo viaggio a piedi. Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20 miglia, il secondo ne percorre 1 il primo giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via, aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il giorno precedente.
Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore raggiungerà il primo?

In questo caso possiamo ragionare usando semplicemente la matematica: il percorso compiuto dal secondo è la somma di x numeri interi a partire da 1 e quindi, come insegnano Pitagora e i suoi numeri triangolari, la somma dei primi x numeri interi è data da

Il primo, invece, percorrerà invece un numero di miglia pari a 20x. Uguagliando le due espressioni si ottiene l'equazione

che ha due soluzioni, 0, che coincide con l'inizio del viaggio, e 39, che coincide con il numero di giorni che il secondo viaggiatore impiega per raggiungere il primo.

P.S.: Grazie a Dracula, Platone e Darwin di Martin Gardner ho scoperto il Fibonacci Quarterly, che purtroppo non ha il doi, ma che comunque potrebbe consentirmi di proseguire la serie una volta esauriti i problemi proposti nel libro di Geronimi.

I problemi di Fibonacci
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