\[71 - 1 = 1 * 2 * 5 * 7\]
\[71 + 1 = 3 * 4 * 6\]
Il 71, poi, è imparentato anche con tutti i numeri primi che lo precedono: se infatti li sommiamo tutti (71 escluso) otteniamo 568, che è l'ottavo numero nella tabellina del 71. Se proseguiamo nella lettura delle sue proprietà scopriamo poi che il 71 è anche l'ultimo di 15 numeri primi supersingolari, ovvero una classe particolare di numeri primi associata a una classe particolare di funzioni ellittiche (quelle del tipo del teorema di Fermat, giusto per intenderci), dette supersingolari.
\[71 = \frac{4! + 4.4}{.4}\]
E il fatto realmente singolare, a questo punto, è che il 71 è anche un primo di Chen, come il 59 e il 47, i numeri delle precedenti edizioni del Carnevale targato Pi Day. E tutti e tre fanno anche parte del quadrato magico $3 \times 3$ di Rudolf Ondrejka (in particolare appartengono a una delle due diagonali) e costituito solo da numeri primi di Chen:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
\[71^2 = 7! + 1\]
Come dal box precedente, il 71, insieme con il 7, è una coppia di Brown, dove per coppia di Brown si intendono due numeri naturali $n$, $m$ tali che $n^2 = m! + 1$. E', inoltre, un primo di Esenstein (vedi il Carnevale #47 per definizione o aggiungere box più sotto) e un primo di Pillai (http://en.wikipedia.org/wiki/Pillai_prime) e fa parte della sequenza di Euclid-Mullin, definita come
\[a_n = \prod_{i < n} a_i + 1\]
dove il primo elemento della serie è 2.E' poi un numero ettagonale centrato, ovvero un numero definito come \[\frac{7 n^2 -7n + 2}{2}\] e che può essere rappresentato proprio con un ottagono, il cui centro è costituito da 1, che è quindi il primo numero ettagonale centrato (il 71 è il 5.o della serie).
Infine il mostruoso polinomio qui sotto, la cui unica soluzione è la costante di Conway, è di grado 71!
Altre curiosità sul 71 su Prime curios!
Il 71, però, è anche il numero atomico del lutezio, ma ha anche un'altra interessante proprietà, visto che oggi, 14 marzo 2014, è il Pi Day: nella tabellina del $\pi$, il multiplo $71 \cdot \pi$ è il più vicino di tutti a un numero primo (che poi è il 223)!E con quest'ultima curiosità entriamo nel vivo del Carnevale, dedicato, come intuibile a tutti, proprio al mitico numero archimedeo. Iniziamo con Cristina Sperlari, una maestra delle scuole primarie con tanta passione per la matematica e che ha aperto un bellissimo blog, Il piccolo Friedrich, che
(...) si propone di far conoscere la festa della matematica (o pi-day), di divulgarne i significati, di documentare le esperienze svolte e di sottolineare la valenza di un evento come questo. La festa della matematica, infatti, può davvero essere un'occasione di divertimento e di scoperta della vera matematica per i bambini, ma anche di ripensamento delle modalità didattiche con cui si affronta questa disciplina per gli insegnanti.Per questa edizione del Carnevale, dedicata al Pi Day, Cristina manda Happy pi day to you!:
è un po' un racconto sintetico di che cos'è il pi-day, perché si celebra, quale significato ha per gli insegnanti e gli studenti e come è stato festeggiato negli anni passati in alcune scuole primarie di Cremona e Milano. L'articolo vuole poi dare dei suggerimenti di attività da svolgere con i bambini della primaria in occasione del pi day (o, più in generale, esperienze di matematica "non comuni"). Le attività proposte sono suddivise a seconda del livello e delle abilità dei bambini e hanno ciascuna un argomento particolare e delle modalità di svolgimento esperienziali.E passiamo a Juhan van Juhan che, sui lidi del Tamburo Riparato, ci propone un programmino in Python per contare le cifre del $\pi$, e visto che c'è prova anche a calcolarle, le cifre, i primi 1000 decimali.
I link in fondo all'articolo si vanno poi a collegare ad altri post, che raccontano nei dettagli ciascuna attività.
Notizie pi greche #5
Una volta introdotto nella matematica il $\pi$, uno dei problemi a margine per la determinazione delle sue cifre fu, evidentemente, comprenderne la sua natura, ovvero che genere di numero esso sia. La classificazione è abbastanza nota e semplice per tutti: avendo come base di partenza i numeri naturali (gli interi positivi e negativi), si possono definire i numeri razionali, ovvero quelli generati dal rapporto di due numeri naturali. Ciascun numero razionale può quindi essere espresso nella forma $\frac{a}{b}$, con $a$, $b$, naturali e $b$ non nullo.
Il primo a dimostrare la natura irrazionale di $\pi$ fu Johann Heinrich Lambert nel 1761 in Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques:
che in termini moderni può essere scritta come segue:
\[\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}\]
Lambert dimostrò che se $x$ è non nullo e razionale, allora questa espressione deve essere irrazionale. E poiché $\tan (\pi /4) = 1$, segue che $\pi$ è irrazionale.
Una semplificazione di questa dimostrazione è stata proposta da Laczkovich nel 1997, mentre Li Zhou, nel 2009, ne ha proposto una variazione che fa uso del calcolo integrale.
In particolare la seconda dimostrazione dell'irrazionalità di $\tan x$ e quindi di $\pi$ prende ispirazione dalla dimostrazione del 1873 che Charles Hermite lasciò in due lettere a Paul Gordan e Carl Borchardt. Una semplificazione di questa dimostrazione, che utilizza la tecnica della riduzione per assurdo, è stata proposta da Mary Cartwright, così come divulgato da Harold Jeffreys in Scientific interference del 1973.
Un'ultima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$, che sta tra l'altro in una paginetta, è data da Ivan Niven nel 1946. La trascendenza di $\pi$, invece, così come quella di $e$, è una diretta conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass che afferma che, dati $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ numeri algebrici linearmente indipendenti nel campo dei numeri razionali, allora $e^{\alpha_1}$, $\cdots$, $e^{\alpha_n}$ sono algebricamente indipendenti sui razionali, dove per numero algebrico si intende un numero che è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Nel 1882 Lindemann, utilizzando proprio questo teorema, dimostrò che $e$ è trascendentale, e quindi, utilizzando l'identità di Eulero, si può dimostrare anche la trascendenza di $\pi$.
Approfondimenti:
Lambert su The world of $\pi$
James Constant. Elementary proof that $\pi$ is irrational
Xavier Gourdon, Pascal Sebah. Numbers, constants and computation
Bibliografia:
Laczkovich M. (1997). On Lambert's Proof of the Irrationality of $\pi$, The American Mathematical Monthly, 104 (5) 439
Li Zhou (2009). Irrationality proofs à la Hermite, arXiv: 0911.1929v2
Zhou L. & Markov L. (2010). Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values, American Mathematical Monthly, 117 (4) 360-362 (arXiv.
Niven I. (1947). A simple proof that $\pi$ is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6) 509-510.
Chow T.Y. (1999). What is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, 106 (5) 440.
Nell'immagine Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics
Concediamo, ora, ai lettori una piccola digressione letteraria con Spartaco Mencaroni e il suo racconto matematico Il tempio:
Il primo a dimostrare la natura irrazionale di $\pi$ fu Johann Heinrich Lambert nel 1761 in Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques:
Una semplificazione di questa dimostrazione è stata proposta da Laczkovich nel 1997, mentre Li Zhou, nel 2009, ne ha proposto una variazione che fa uso del calcolo integrale.
In particolare la seconda dimostrazione dell'irrazionalità di $\tan x$ e quindi di $\pi$ prende ispirazione dalla dimostrazione del 1873 che Charles Hermite lasciò in due lettere a Paul Gordan e Carl Borchardt. Una semplificazione di questa dimostrazione, che utilizza la tecnica della riduzione per assurdo, è stata proposta da Mary Cartwright, così come divulgato da Harold Jeffreys in Scientific interference del 1973.
Un'ultima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$, che sta tra l'altro in una paginetta, è data da Ivan Niven nel 1946. La trascendenza di $\pi$, invece, così come quella di $e$, è una diretta conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass che afferma che, dati $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ numeri algebrici linearmente indipendenti nel campo dei numeri razionali, allora $e^{\alpha_1}$, $\cdots$, $e^{\alpha_n}$ sono algebricamente indipendenti sui razionali, dove per numero algebrico si intende un numero che è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Nel 1882 Lindemann, utilizzando proprio questo teorema, dimostrò che $e$ è trascendentale, e quindi, utilizzando l'identità di Eulero, si può dimostrare anche la trascendenza di $\pi$.
Approfondimenti:
Lambert su The world of $\pi$
James Constant. Elementary proof that $\pi$ is irrational
Xavier Gourdon, Pascal Sebah. Numbers, constants and computation
Bibliografia:
Laczkovich M. (1997). On Lambert's Proof of the Irrationality of $\pi$, The American Mathematical Monthly, 104 (5) 439
Li Zhou (2009). Irrationality proofs à la Hermite, arXiv: 0911.1929v2
Zhou L. & Markov L. (2010). Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values, American Mathematical Monthly, 117 (4) 360-362 (arXiv.
Niven I. (1947). A simple proof that $\pi$ is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6) 509-510.
Chow T.Y. (1999). What is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, 106 (5) 440.
Nell'immagine Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics
Il racconto prende spunto dalle suggestioni che una ricca storiografia ha seminato intorno alla figura di Pitagora e all'attività della sua scuola (o setta che dir si voglia). In particolare, qui la questione del "trauma" riguardante la scoperta delle quantità incommensurabili e dei rapporti irrazionali è portato all'estrema conseguenza. Il tutto è traslato in chiave fantascientifica e costruito in maniera tale da includere qualche spunto dalle "Lezioni americane" del grande Italo Calvino: il contrasto fra la leggerezza e il peso, materiale e simbolico, è uno dei temi del racconto e ne costituisce anche una chiave di lettura che permette, con un pizzico di intuito, di anticipare il finale.Di non minore qualità letteraria è il percorso storico attraverso la matematica che da anni sta portando avanti Flavio Ubaldini, alias Dioniso. Il nuovo capitolo di questo lungo percorso, giunto fino a Raffaele Bombelli e i numeri complessi è Il rinascimento: Recorde e il simbolo =; Bombelli, gli irrazionali e i complessi coniugati - Numeri e Geometria attraverso la storia:
Lo sapevate con chi bisogna prendersela per gli esercizi con le operazioni sui numeri complessi? Con un certo Raffaele. Sapevatelo!E ritorniamo, quindi, ad occuparci di $\pi$ con Leonardo Petrillo che ci propone:
L'affascinante metodo di calcolo di pi greco, ideato nientemeno che da Newton, spiegato in modo il più possibile chiaro e semplice! Questo è ciò che vi aspetta nel suddetto post.Che poi si intitola, guarda un po' le coincidenze, Pi greco: I calcoli di Newton. D'altra parte, Maurizio .mau. Codogno, come al solito manda una carrettata di contributi. Per cui mettetevi comodi e iniziate a inserire nella lista delle letture prima di tutto i post tratti dalle Notiziole, suddivisi nelle categorie povera matematica:
- L'algebra di Ezio Mauro: termini matematici messi più o meno a caso
- "Graduale ma disomogenea": non concordo con i termini usati da Mario Draghi (ma i commentatori non concordano con me :-) )
- 63% non pervenuto: 25% donne, 12% uomini, e poi?
- Big Data: (un po' tangenziale...) un po' troppo anglosassone, però un ottimo punto di partenza
- Mathematical Omnibus: Matematica per universitari curiosi (ma molto pesa)
- Un punto fermo: l'ebook di Roberto zar Zanasi per i tipi elettronici di #40kmate
- Aha! Solutions: come risolvere problemi matematici
- Infine c'è un divertissement, Soglia di maggioranza: quale può essere una soglia "naturale" per il premio di maggioranza?
- Inviluppami! - come disegnare ellissi, cardioidi... e un cuoricino
- Come scrivere di matematica secondo Strogatz - Se si fa divulgazione, bisogna capire a chi si vuole scrivere
- Una dimostrazione più grande di tutta Wikipedia - Il primo passo avanti nella dimostrazione di una congettura di Erdős è stato (forse) compiuto da un dimostratore automatico di teoremi. Ma...
- Il Tetris è finito o infinito? - Non sembra, ma basta qualche piccola differenza nella definizione di casualità per cambiare completamente le carte in tavola
- Come calcolare pi greco a furia di rimbalzi - un calcolatore analogico per trovare le cifre di pi greco
Notizie pi greche #6
Il pi greco è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio, però può essere calcolato/definito anche grazie a una serie di formule, che sono cresciute negli anni con l'aumentare dell'interesse nei suoi confronti. L'anno scorso abbiamo visto un folto gruppo di formule:
Un'altra formula per il calcolo del $\pi$ è la formula di Leibniz e Gregory: \[\frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\] La serie, in effetti, è nota anche come semplicemente serie di Leibniz. Solo successivamente si associò a essa anche il lavoro di James Gregory, che la riscoprì e la pubblicò nel 1668: il suo primo scopritore, però, fu, nel XIV secolo, il matematico e astronomo indiano Madhava di Sangamagrama.
La formula può essere opportunamente modificata per accelerare la sua convergenza inserendo al suo interno la funzione $\zeta (z)$, ovvero la zeta di Riemann: \[\pi = \sum_{k=1}^\infty \frac{3^k-1}{4^k} \zeta (k+1)\] Sempre restando sulle serie storiche, ecco quella di Abarham Sharp, del 1717 circa: \[\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2 (-1)^k 3^{1/2 - k}}{2k+1}\] Anche Eulero si interessò al $\pi$: è infatti grazie al suo lavoro se oggi chiamiamo questo numero trascendentale pi greco, ed è ovviamente sua la famosa identità di Eulero, che unisce le due costanti più importanti della matematica, oltre a rappresentare anche una possibile sintesi della matematica stessa: \[e^{i \pi} + 1 = 0\] La serie particolare, scoperta da Eulero, per il calcolo del $\pi$ è, però, una produttoria, che lega il numero archimedeo con gli ennesimi numeri primi $p_n$: \[\pi \frac{2}{\prod_{n=1}^\infty \left ( 1 + \frac{\sin \left ( \frac{1}{2} \pi p_n \right )}{p_n} \right )}\] che può anche essere rappresentata graficamente:
Bibliografia:
Bailey D.H., Plouffe S.M., Borwein P.B. & Borwein J.M. (1997). The quest for PI, The Mathematical Intelligencer, 19 (1) 50-56. (pdf)
Jesus Guillera (2008). History of the formulas and algorithms for pi, La Gaceta de la RSME, 10 (2007) 159-178, arXiv: 0807.0872v3
Philippe Flajolet, Ilan Vard. Zeta Function Expansions of Classical Constants (pdf)
Wikipedia: Leibniz formula for $\pi$
Weisstein, Eric W. "Pi Formulas" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Immagine tratta da Mysterius di Leo Ortolani
Annarita Ruberto, invece, per questa edizione di festa ci propone tre contributi, e nei primi due protagonista è ancora una volta il pi greco:
- formula dei Chudnovsky
- formula BBP
- formula di Bellard
- formula di Rabinowitz e Wagon
- una formula di Ramanujan
Un'altra formula per il calcolo del $\pi$ è la formula di Leibniz e Gregory: \[\frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\] La serie, in effetti, è nota anche come semplicemente serie di Leibniz. Solo successivamente si associò a essa anche il lavoro di James Gregory, che la riscoprì e la pubblicò nel 1668: il suo primo scopritore, però, fu, nel XIV secolo, il matematico e astronomo indiano Madhava di Sangamagrama.
La formula può essere opportunamente modificata per accelerare la sua convergenza inserendo al suo interno la funzione $\zeta (z)$, ovvero la zeta di Riemann: \[\pi = \sum_{k=1}^\infty \frac{3^k-1}{4^k} \zeta (k+1)\] Sempre restando sulle serie storiche, ecco quella di Abarham Sharp, del 1717 circa: \[\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2 (-1)^k 3^{1/2 - k}}{2k+1}\] Anche Eulero si interessò al $\pi$: è infatti grazie al suo lavoro se oggi chiamiamo questo numero trascendentale pi greco, ed è ovviamente sua la famosa identità di Eulero, che unisce le due costanti più importanti della matematica, oltre a rappresentare anche una possibile sintesi della matematica stessa: \[e^{i \pi} + 1 = 0\] La serie particolare, scoperta da Eulero, per il calcolo del $\pi$ è, però, una produttoria, che lega il numero archimedeo con gli ennesimi numeri primi $p_n$: \[\pi \frac{2}{\prod_{n=1}^\infty \left ( 1 + \frac{\sin \left ( \frac{1}{2} \pi p_n \right )}{p_n} \right )}\] che può anche essere rappresentata graficamente:
Bibliografia:
Bailey D.H., Plouffe S.M., Borwein P.B. & Borwein J.M. (1997). The quest for PI, The Mathematical Intelligencer, 19 (1) 50-56. (pdf)
Jesus Guillera (2008). History of the formulas and algorithms for pi, La Gaceta de la RSME, 10 (2007) 159-178, arXiv: 0807.0872v3
Philippe Flajolet, Ilan Vard. Zeta Function Expansions of Classical Constants (pdf)
Wikipedia: Leibniz formula for $\pi$
Weisstein, Eric W. "Pi Formulas" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Immagine tratta da Mysterius di Leo Ortolani
- Uno Straordinario Numero Di Nome Pi greco: si tratta di alcune tra le numerose curiosità riguardo a pi greco.
- La Bellezza Della Matematica, L'Arte E La Musica Attivano La Stessa Area Cerebrale: In un articolo, pubblicato il 13 febbraio 2014, sulla rivista open-access Frontiers in Human Neuroscience, i ricercatori hanno usato la risonanza magnetica funzionale (fMRI) per visualizzare l'attività cerebrale di 15 matematici mentre vedevano delle formule matematiche, che avevano precedentemente valutato come belle, neutre o brutte.
I risultati hanno inequivocabilmente dimostrato che l'esperienza della bellezza matematica è correlata con l'attività nella stessa parte del cervello emotivo - vale a dire la corteccia mediale orbitofrontale - così come l'esperienza della bellezza derivata dall'arte o dalla musica.
La formula ritenuta più bella è l'identità di Eulero, tra quelle ritenute più brutte c'è la serie infinita di Ramanujan. In entrambe, figura, pi greco.
Mandelbrot Set: Video Musicale Per La Canzone Di Jonathan Coulton:
"Mandelbrot Set" è un video musicale realizzato da Pisut Wisessing per l'omonima canzone di Jonathan Coulton, tratta dal primo EP dell'autore, intitolato "Where Tradition Meets Tomorrow".A completamento del post c'è la traduzione del testo Mandelbrot Set curata dagli studenti di Annarita della 3.a B, supervisionati dalla loro insegnante di Inglese.
La canzone è un omaggio al celebre frattale, conosciuto come Mandelbrot set o insieme di Mandelbrot, e all'uomo da cui ha preso il nome, ovvero Benoît Mandelbrot.
Subito dietro la Regina del Carnevale, ecco il trio per eccellenza, la trinità matematica, quelli che se non li leggi ti diverti solo a metà: i Rudi Mathematici!
Questo è l'elenco, deliziosamente confezionato, dei loro contributi mensili:
- Un classico di Loyd con Ferryboat che si incontrano in mezzo al lago: Ricordo di estati lontane
- Il Paraphernalia dei numeri di Conway (Surreali), che ha un posto nel nostro libro di cui nessuno parla più, e se qualcuno vuole sapere come continua la storia, deve trovare e eleggere: I numeri surreali
- Un Q&D sulle frazioni continue, che i nostri lettori hanno risolto più in fretta di quanto noi ci abbiamo messo a scriverlo: Equazione in tre incognite
- Infine il post di soluzione, che ha comunque divertito tutti (se non altro il bel disegno del Fabbri con i nostri eroi ringiovaniti e la nonna arabbiatissima): Cavalli, capodanni e campanili
per il suo ruolo centrale nel creare, plasmare, promuovere e far avanzare il campo dell'intelligenza artificialeDal piedistallo del premio Turing passiamo alla non meno importante cattedra di Rosalba Cocco che per questo mese propone L'addizione e il dito immaginato, che suppongo a molti, carnevalisti e non, ricorderà i tempi in cui si imparava a far di conto:
Il post racconta un breve episodio, sempre legato alla matematica che evidenzia come nel progredire della comprensione a un certo punto si attivano processi d'immaginazione non legati al dato pratico, assai significativi nell'evidenziare il passaggio all'astrazione e al calcolo mentale. Sono quei piccoli passaggi nei quali si scopre che i bambini stanno mettendo in relazione quanto imparano e perciò cominciano a precorrere i contenuti anticipando già i passaggi successivi. D'altro canto questi episodi sono per gli insegnanti momenti di verifica insostituibili perché evidenziano l'efficacia del metodo.Con Jean Manuel Morales, invece, saltiamo alla matematica ricreativa e teoria dei grafi:
Pacchetti:
In una griglia sono schierate formazioni rettangolari di pacchetti rossi e blu. Se si possono scambiare di posto due pacchetti adiacenti, di quante mosse ho bisogno per invertire la disposizione iniziale?Più amici di quanti ne hai te:
In una rete sociale, in media, ogni individuo ha meno amici di quanti ne hanno i suoi amici. L'articolo riporta un paio di dimostrazioni di questa proprietà richiamando alcuni concetti di teoria dei grafi.Moccoli d'oro:
Si descrive un poliedro che fa parte della tradizione italiana, il moccolo di Castignano che viene bruciato alla fine del carnevale. Tra consuete spiritosaggini, si definiscono le proporzioni di un moccolo ideale del quale si riporta lo sviluppo piano in pdf e si chiede di calcolarne il volume.
Notizie pi greche #6
Una delle sfide matematiche più impegnative dell'ultimo secolo e mezzo, non ancora risolta, è la distribuzione dei numeri primi, che coinvolge la famosa zeta di Riemann, che come abbiamo visto può essere utilizzata per calcolare il $\pi$.
Una possibile conseguenza di ciò è, quindi, immaginare che le cifre che costituiscono $\pi$ non sono distribuite in maniera casuale, ma potrebbero così presentare una certa regolarità. Caldwell e Dubner si muovono proprio in quella direzione quando, esaminando tutte le prime 10 cifre di $\pi$, vanno a determinare quanti numeri primi si trovano all'interno di queste cifre, determinando alla fine un totale di 14 numeri primi, la maggior parte dei quali da una cifra.
Come vedete nella tabella, i numeri primi da una cifra possono tranquillamente ripetersi (3 e 5 si ripetono due volte, per esempio), mentre i primi con più di una cifra vengono costruiti utilizzando solo cifre che all'interno dello sviluppo di $\pi$ sono una accanto all'altra.
A quel punto non ci si può accontentare e il passo successivo è calcolare la probabilità di trovare un numero primo di date cifre all'interno di una sequenza di cifre di $\pi$ estratta casualmente:
E' uno di quei problemi per cui i matematici non trovano una utilità pratica, ma che su tempi lunghi permette di costruire tecniche di calcolo, analitico e numerico, che permettono di risolvere problemi che potrebbero avere una certa utilità anche in altre discipline.
Bibliografia:
Chris K. Caldwell, Harvey Dubner. Primes in Pi. Journal of Recreational Mathematics, Volume 29, Number 4, 1998 (pdf)
Nell'immagine Bound and gagged di Dana Summers via Bamdad's Math Comics
Un'altra istituzione del web matematico italiano è invece MaddMaths!, il gruppo di matematici applicati (non solo nel senso che si applicano tanto nella matematica!) capitanati da Roberto Natalini, che ci inviano, come sempre, un folto gruppo di contributi:Una possibile conseguenza di ciò è, quindi, immaginare che le cifre che costituiscono $\pi$ non sono distribuite in maniera casuale, ma potrebbero così presentare una certa regolarità. Caldwell e Dubner si muovono proprio in quella direzione quando, esaminando tutte le prime 10 cifre di $\pi$, vanno a determinare quanti numeri primi si trovano all'interno di queste cifre, determinando alla fine un totale di 14 numeri primi, la maggior parte dei quali da una cifra.
Come vedete nella tabella, i numeri primi da una cifra possono tranquillamente ripetersi (3 e 5 si ripetono due volte, per esempio), mentre i primi con più di una cifra vengono costruiti utilizzando solo cifre che all'interno dello sviluppo di $\pi$ sono una accanto all'altra.
Bibliografia:
Chris K. Caldwell, Harvey Dubner. Primes in Pi. Journal of Recreational Mathematics, Volume 29, Number 4, 1998 (pdf)
Nell'immagine Bound and gagged di Dana Summers via Bamdad's Math Comics
Per l'Alfabeto della matematica, M come Monotòno di Corrado Mascia:
Monotonia è avere sempre lo stesso andamento. Ma se si mette l'accento sulla penultima sillaba non è poi così noiosa.Da DidaMadd ecco Il costo marginale di Erasmo Modica:
Un’applicazione del differenziale di una funzione all'economia.Dall'Angolo arguto, sempre di Corrado Mascia, La febbre del goal, in formule:
È possibile 'prevedere' un gol con le armi della statistica? Qualcosa si può direPer il 6.o Madd-Spot ecco Simulare il sistema atmosferico su tempi lunghi: buone e cattive notizie
Le previsioni meteorologiche affrontate con i potenti mezzi della matematica dei modelli fluidodinamici dell'atmosfera. Ce ne parla Roberto Ferretti dell'Università Roma Tre.Non poteva, poi, mancare dal Carnevale Walter Caputo, che propone La scoperta della matematica, entusiastica recensione del libro pop-up Mamma che numeri! di Jonathan Litton e Thomas Flintham. Ora, con Giuseppe Lipari e Ok Panico, torniamo a discorrere di argomenti un po' più turingiani: in una serie di post (Macchine a stati finiti - parte 1 e parte 2, e Linguaggi regolari) Giuseppe ci parla di alcuni concetti alla base dell'informatica: le macchine a stati finiti e i linguaggi regolari.
Giuseppe spiega come funziona un sistema di apertura tramite un codice, come riconoscere delle sequenze di caratteri, che relazione c'è tra Noam Chomsky, la linguistica computazionale e l'informatica, e infine la relazione tra automi a stati finiti e macchine di Turing. State all'erta perché la serie non è ancora terminata!E il meglio, come si suol dire, arriva sul finire, con Marco Fulvio Barozzi, meglio noto come Popinga (preso a prestito dal nome del protagonista di uno splendido romanzo di Simenon), che sarà l'organizzatore della prossima edizione del Carnevale, che per il pi day cala un tris:
- La vita secondo Boileau: Una piccola riflessione aritmetica venata di una leggera e malinconica partecipazione per la sorte dell’uomo. Del poeta classicista francese Nicolas Boileau (1636 – 1711).
- Riconoscere nell'immenso il piccolo, quanta voluttà!: Nel Tractatus de Seriebus Infinitis, Jacob Bernoulli (1654-1705) volle dare una struttura euclidea alla teoria delle serie. Il testo, che contiene la dimostrazione che la serie armonica è divergente e che la somma della serie dei reciproci dei numeri quadrati è convergente, si conclude con una poesia in latino che esprime il senso di meraviglia per il fatto che una somma infinita può dare un risultato finito o che proprio il calcolo di grandezze estremamente piccole rivela connessioni inaspettate tra campi diversi come l’algebra, la geometria o la teoria dei numeri.
- L'educazione matematica di Marcel Pagnol: Nel quarto volume dei Ricordi d'infanzia del grande scrittore marsigliese Marcel Pagnol (1895- 1974) si trova una curiosa "Prefazione" che descrive come era insegnata la geometria nei licei classici francesi all’inizio del Novecento: "Insomma, non era un corso di scienza: era un corso di religione scientifica, era una continua rivelazione di misteri".
Notizie pi greche #8
Le cifre che costituiscono il pi greco sono infinite e a tutt'oggi se ne conoscono circa 5 trilioni. Così come calcolarle è impresa di per sé abbastanza ardua, anche mostrarle tutte non è semplice, anche se è certo molto più semplice che vederle tutte. A meno che non ci si accontenti di una visualizzazione al tempo stesso semplice e spettacolare, che se da un lato fa perdere il dettaglio delle cifre, dall'altro mostra il livello di casualità nella distribuzione delle stesse.
L'idea della visualizzazione delle cifre delle costanti matematiche irrazionali e trascendentali nasce proprio a margine della ricerca sulla normalità di tali numeri, dove un numero reale $a$ è detto normale nella base $b$ se ogni stringa di $m$ cifre compare nel numero con una frequenza pari a $1/b^m$.
Conseguenza di questa ricerca, che è anch'essa figlia della domanda se le cifre di $\pi$ sono distribuite casualmente o meno, condotta da Bailey e dai fratelli Borwein (gli stessi della formula BBP) è la rappresentazione grafica delle cifre del pi greco che fa ampio utilizzo dei cammini casuali:
Approfondimenti: Samuel Arbesman. A Random Walk with Pi
Walking on Real Numbers
Bibliografia: Aragón Artacho F.J., Bailey D.H., Borwein J.M. & Borwein P.B. (2013). Walking on Real Numbers, The Mathematical Intelligencer, 35 (1) 42-60.
Bailey D.H., Borwein J.M., Calude C.S., Dinneen M.J., Dumitrescu M. & Yee A. (2012). An Empirical Approach to the Normality of $\pi$, Experimental Mathematics, 21 (4) 375-384.
Aistleitner C. (2013). Normal Numbers and the Normality Measure, Combinatorics, Probability and Computing, 22 (03) 342-345. (arXiv)
Nell'immagine Frank & Ernest di Bob Thares via Bamdad's Math Comics
E come da tradizione si chiude con il blog che ospita l'edizione in corso del Carnevale. Inizio dalla fine, ovvero dalla dimostrazione di un piccolo teorema proposto da Marco Cameriero: la sfida lanciata da Marco ai matematici di GPlus è stata raccolta dal sottoscritto e risolta sottraendo tempo al sonno (ma senza troppo danno: non temete!).L'idea della visualizzazione delle cifre delle costanti matematiche irrazionali e trascendentali nasce proprio a margine della ricerca sulla normalità di tali numeri, dove un numero reale $a$ è detto normale nella base $b$ se ogni stringa di $m$ cifre compare nel numero con una frequenza pari a $1/b^m$.
Conseguenza di questa ricerca, che è anch'essa figlia della domanda se le cifre di $\pi$ sono distribuite casualmente o meno, condotta da Bailey e dai fratelli Borwein (gli stessi della formula BBP) è la rappresentazione grafica delle cifre del pi greco che fa ampio utilizzo dei cammini casuali:
Approfondimenti: Samuel Arbesman. A Random Walk with Pi
Walking on Real Numbers
Bibliografia: Aragón Artacho F.J., Bailey D.H., Borwein J.M. & Borwein P.B. (2013). Walking on Real Numbers, The Mathematical Intelligencer, 35 (1) 42-60.
Bailey D.H., Borwein J.M., Calude C.S., Dinneen M.J., Dumitrescu M. & Yee A. (2012). An Empirical Approach to the Normality of $\pi$, Experimental Mathematics, 21 (4) 375-384.
Aistleitner C. (2013). Normal Numbers and the Normality Measure, Combinatorics, Probability and Computing, 22 (03) 342-345. (arXiv)
Nell'immagine Frank & Ernest di Bob Thares via Bamdad's Math Comics
L'altro contributo è una nuova puntata della serie dei Rompicapi di Alice: Il problema dei servizi. E' un vecchio problema, per la prima volta proposto su carta dal grande Dudeney, e che uno studente mi aveva proposto alcuni anni fa. Legato alla teoria dei grafi e quindi anche ai ponti di Konigsberg, il rompicapo trova anche applicazione nei giochi, come ho cercato di mostrare in 3d logic, una brevissima recensione di due giochi on-line basati su logica e teoria dei grafi.
A questo punto, nella speranza di avervi fatto passare un pi day come sempre interessante e matematicamente ricco, non mi resta che salutarvi e darvi appuntamento alla prossima edizione, la 72.ma, che verrà ospitata, come accennato prima, su Popinga giusto il 14 del mese prossimo!
Jack Horner il Piccolo
si sedette in un angolo
per mangiare la sua pie.
(variazione sulla poesiola di Carroll che apre un suo saggio umoristico)
Orpolà, che capolavoro!
RispondiEliminaChe meraviglia! L'introduzione sul numero 71 è davvero interessante e ricca! Le notizie pi greche belle come al solito, e i contributi variegati e di qualità. Complimenti a Gianluigi per l'allestimento e a tutti i partecipanti.
RispondiEliminaBuon Pi Day a tutti!!!!
Son come sempre belli
RispondiEliminai Carnevali del Filippelli.
In colpevole ritardo arrivano anche i miei complimenti, per te e per tutti i partecipanti.
RispondiEliminaAvevo qualche dubbio circa l'argomento e mi chiedevo cosa mai si poteva ancora scrivere sul Pi greco e invece questo straordinario numero non finisce mai di "raccontare": bravissimi voi che l'avete fatto così bene.
Riguardo ai cammini casuali, ho pubblicato un post su G+ alla fine di febbraio:
RispondiEliminahttps://plus.google.com/100838479986767739179/posts/NEN3fSrmo3Q
C'è stata un'accesa discussione al riguardo. Avrei voluto scrivere un articolo sul blog, ma non ne ho avuto il tempo. Penso che prima o poi lo farò.
Interessantissimo carnevale.
Congratulazioni a te e a tutti i partecipanti.