Mondo matematico: i numeri primi

Nell'ultimo periodo, particolarmente lungo e difficile, mi sono ritrovato a leggere di seguito, intervallati da una sola raccolta di fantascienza, un po' di libri di scienza, soprattutto matematici. E', infatti, arrivata in edicola la serie Mondo matematico che, nonostante buona parte degli argomenti li conosca abbastanza bene, mi ha attirato e ho iniziato ad acquistare.
La collana è la versione italiana di una serie di libri divulgativi in spagnolo che presentano una strutura ben definita: prefazione, svuiluppo dell'argomento in una serie di capitoli, eventuali appendici, bibliografia e ringraziamenti. All'interno sono poi posizionati a intervallare il testo principale una serie di box che propongono brevi digressioni e curiosità che arricchiscono la lettura e possono ovviamente essere letti secondo i gusti del lettore.
Vediamo un po' quali libri e quali argomenti propone la collana iniziando con il volume dedicati ai numeri primi, di Enrique Gracian.

La biblioteca di Alessandria

Il libro è una cavalcata nella storia dello studio di questi particolari numeri a partire dalle origini: la necessità del contare con la scoperta dei numeri stessi e di uno dei primi risultati ad essa legati, il teorema fondamentale dell'aritmetica sulla fattorizzazione. Da qui il salto verso la ricerca di una qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi è breve e passa anche attraverso la mitica biblioteca di Alessandria.

Costruita da Tolomeo I "Sotere", venne affidata alla gestione di Demetrio, allievo di Teofrasto, all'epoca in esilio. Il modus operandi della biblioteca era abbastanza semplice: chiedere in prestito testi da altre città, su tutte Atene, e ricopiarli per poi mandare indietro le copie e tenersi gli originali. Stessa operazione venne fatta con le navi che giungevano nel porto. Quando il gioco venne scoperto, con la protezione di Tolomeo, la città impose ai commercianti che giungevano al porto di... portare dei testi di varia natura per essere consegnati e ricopiati nella biblioteca.
La biblioteca di Alessandria divenne, così, il maggior centro di raccolta di informazioni e cultura dell'antichità, ma anche un ottimo modo per diffonderla. Inclusa la matematica.

Da Mersenne a Fermat

Torniamo ai numeri primi: il primo salto importante venne fatto con Marin Mersenne, religioso dell'ordine dei minimi. Proprio a lui sono dedicati i numeri primi di Mersenne, numeri della forma \[2^p -1\] con $p$ primo.
Un'altra delle caratteristiche di Mersenne fu la sua capacità di mantenere i contatti con altri scienziati e matematici dell'epoca, con i quali portava avanti varie ricerche nel campo. Lo si potrebbe considerare un antesignano della moderna colaborazione accademica e uno spirito piuttosto affine all'ungherese Paul Erdos, il matematico con il maggior numero di collaborazioni.

Pierre de Fermat di Bernarda Bryson

Tra gli amici di penna di Mersenne figurava anche Pierre de Fermat, noto soprattutto per il suo famoso ultimo teorema, ha anche ottenuto diversi risultati nella teoria dei numeri. In particolare il piccolo teorema di Fermat: \[a^p \equiv a \, (\mod p)\] con $a$ numero naturale qualsiasi, $p$ numero primo, $\cdot \mod \cdot$ operazione di modulo, ovvero l'operazione che restituisce il resto della divisione, in questo caso, per il primo $p$. Il teorema risulta vero soltanto se $p$ è un numero primo, in tutti gli altri casi no.
E' interessante rilevare come è proprio il piccolo teorema di Fermat la base matematica della crittografia a chiave pubblica, il miglior sistema possibile per proteggere la diffusione dei dati sensibili sulla rete.
Altro interesante risultato del matematico dilettante francese, sempre legato ai numeri primi, è la scoperta dei numeri di Fermat, numeri della forma \[2^{2^n}+1\] Fermat ipotizzò che tutti i numeri di questa forma fossero primi, ma fu Leonhard Euler nel 1732 a dimostrare la falsità dell'ipotesi, riuscendo a scomporre $F_5$ ovvero 4292967297 = 641 * 6700417.

Dalla zeta di Euler alla crittografia

Euler si interessò praticamente di ogni argomento matematico aperto dell'epoca, quindi inevitabilmente i numeri primi attirarono la sua attenzione. Partendo dal problema di Basilea, posto dai fratelli Jacob e Johann Bernoulli sulla somma esatta della serie: \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\] scoprì la zeta di Euler. Tale funzione, come abbiamo visto in un altro post, divenne il primo risultato importante per avvicinarsi all'obiettivo di cui si scriveva all'inizio: determinare una qualche regolarità all'interno della distribuzione dei numeri primi.
La zeta di Euler divenne la base per le ricerche di Bernhard Riemann, che la modificò opportunamente ottenendo il risultato più vicino ai desiderata dei matematici, sebbene l'ipotesi che formulò è ancora non dimostrata.
Per comprendere anche solo in parte il lavoro di Riemann, sono però necessari quelli di John Napier, il matematico scozzese che introdusse i logaritmi, inventore di un dispositivo in grado di eseguire alcuni calcoli matematici, come somme e moltiplicazioni, e di Carl Friederich Gauss, che utilizzò proprio i logaritmi di Napier per indagare sulla spaziatura tra i numeri primi.
Tutto questo, insieme con la matematica modulare e l'introduzione dei numeri immaginari da parte di Gerolamo Cardano o con i contributi di Srinivasa Ramanujan, viene raccontato in maniera precisa, leggera e appassionante nel testo fino ad arrivare a come i numeri primi trovano un'applicazione pratica grazie alla crittografia, che viene approfondita in un altro libro della collana, Matematici, spie e pirati informatici.

Rappresentazione parabolica dei numeri primi di Yuri Matiyasevich e Boris Stechkin