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mercoledì 17 agosto 2011

Pierre de Fermat e il suo teorema impossibile

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
E' questo quello che scrisse Pierre de Fermat a margine della sua copia del secondo volume dell'Arithmetica di Diofanto e in pratica sancisce l'impossibilità di trovare soluzioni, nel campo dei numeri naturali, per l'equazione diofantea(1) che generalizza il teorema di Pitagora: \[a^n + b^n = c^n\] Sappiamo che per $n = 2$ abbiamo l'enunciato matematico del famoso teorema del matematico crotonese, e sappiamo anche che tale teorema presenta soluzioni nel campo dei numeri naturali. Tali soluzioni sono dette terne pitagoriche. Quando invece $n = 3$ o superiore non ci sono soluzioni.
Fermat, evidentemente studiando sul volume di Diofanto, ebbe l'intuizione sulle potenze superiori a 2, però fornì semplicemente la dimostrazione per $n = 4$, mentre la prima, dopo Fermat, ad affrontare il teorema fu la matematica Sophie Germain(2), che dimostrò il seguente teorema:
Sia $p$ un numero primo dispari. Se esiste un numero primo ausiliario $P = 2Np + 1$ tale che:
  1. se $x^p + y^p + z^p = 0 \; (\text{mod} P)$, allora $P$ divide $xyz$
  2. se $p$ non è una $p$-esima potenza residua ($\text{mod} P$)
  3. allora il primo caso per l'ultimo teorema di Fermat conduce a una verità per $p$.
Nel corso dei secoli molti si impegnarono per dimostrare il teorema, sperando anche di riscoprire la dimostrazione originale di Fermat, però fu Andrew Wiles(3) a concludere con successo la dimostrazione, impedendo così che i molti teoremi successivamente scoperti e basati sull'opera di Fermat continuassero a vivere sul bilico della verità o falsità di questo teorema.
Resta, però, il problema della dimostrazione di Fermat, perché è certo che Wiles ha utilizzato tecniche a Fermat sconosciute. I partiti, in questo caso, sono differenti: alcuni ritengono che non abbia mai avuto una dimostrazione del teorema, a parte quella parziale per il quarto grado, altri invece ritengono che semplicemente il matematico francese si accorse che la sua dimostrazione era sbagliata, così decise di pubblicare solo il caso particolare.
Potrebbe, però, esserci un'altra soluzione. Wiles, nella sua dimostrazione, ha fatto ampio uso delle funzioni ellittiche, ma questo non deve stupire visto che il teorema di Fermat si basa proprio su un'equazione che rientra in tale classe. E le equazioni ellittiche sono uno degli argomenti studiati da Niels Abel, che insieme a Galois ha scoperto (o ideato) la teoria dei gruppi. Così potrebbe non essere impossibile immaginare che, in realtà, Fermat si trovò in mano una dimostrazione che anticipava i risultati di Abel e Galois e non fidandosi del risultato trovato, semplicemente di farla sparire per sempre.
Certo è che il piccolo teorema di Fermat(4), che afferma che per ogni numero intero $a$ e ogni primo $p$, \[a^p \equiv p \; (\text{mod} p)\] è sicuramente dimostrabile sia usando la teoria dei gruppi, sia usando il teorema binomiale.
E' possibile (credo anche più probabile di una scoperta anticipata della teoria dei gruppi) che Fermat provò a utilizzare questo teorema o comunque l'approccio binomiale per la dimostrazione generale, per poi doversi magari accontentare di quella particolare(5) per $n = 4$.
Ad ogni modo, indipendentemente dal mistero della dimostrazione di Fermat e dalle teorie fantasiose che mi sono divertito ad accennare qui, potete trovare una dimostrazione del teorema su Math World, oltre a un Wikibooks sull'argomento.

P.S.: come ha ricordato Google con il doodle di oggi, questo è il 140.mo anniversario della nascita di Fermat: auguri!

(1) In effetti per equazione diofantea si intende già una equazione per la quale bisogna cercare soluzioni esclusivamente nel campo dei numeri naturali.
(2) ìVoici ce que jíai trouvÈ:îSophie Germainís grand plan to prove Fermatís Last Theorem di Reinhard Laubenbacher e David Pengelley
(3) Per maggiori dettagli e i pdf degli articoli con la dimostrazione date una lettura a L'ultimo teorema di Fermat
(4) L'enunciato in matematichese tradotto in termini più usuali afferma che $a^p - a$ è divisibile per $p$.
(5) Proofs of Fermat's little theorem

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