Paralipomeni di Alice: Racconti intrecciati

Come promesso, ho deciso di scrivere un breve post con tutti link per leggere o rileggere i Rompicapi dedicati a A tangled tale di Lewis Carroll e le loro soluzioni.
A tangled tale, come potrete leggere meglio nella recensione, è un libro costituito dalla raccolta di una serie di dieci racconti usciti su rivista. Al suo interno per ciascun racconto è presente uno o più problemi di matematica ricreativa, le cui soluzioni venivano discusse da Carroll nel numero successivo.
L'elendo l'ho dunque suddiviso per dieci nodi e per ognuno dei nodi trovate i link ai rompicapi e alle loro soluzioni, tutte pubblicate nella rubrica dei Paralipomeni.

nodo 1

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rompicapo -> soluzione

nodo 2

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rompicapo -> soluzione

nodo 3

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rompicapo -> soluzione

nodo 4

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rompicapo -> soluzione

nodo 5

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rompicapo -> soluzione

nodo 6

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rompicapo -> soluzione

nodo 7

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rompicapo -> soluzione

nodo 8

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rompicapo n.1 -> soluzione
rompicapo n.2 -> soluzione

nodo 9

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rompicapi nn. 1 e 3 -> soluzione
rompicapo n.2 -> soluzione

nodo 10

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Il nodo 10 ha la caratteristica di mettere insieme i protagonisti dei nodi precedenti in un unico racconto. Inoltre i tre rompicapi presenti nel testo non li ho proposti nell'ordine in cui si trovano, questo perché del secondo rompicapo ho fornito una soluzione direttamente nel post in cui l'ho presentato, e questo perché è stato lo stesso Carroll a non averla proposta!
Dopo questa doverosa premessa, eccovi l'elendo dell'ultimo trittico di rompicapi con le soluzioni:
rompicapo n. 1 -> soluzione
rompicapo n.3 -> soluzione
rompicapo n.2

Immagine d'apertura generata con Gemini e pubblicata su NightCafe

Rompicapi di Alice: Il cambio di giorno

Come avevo anticipato nella soluzione del terzo rompicapo contenuto nel nodo 10 di A tangled tale di Lewis Carroll, il rompicapo centrale di quel decimo nodo sarebbe stato l'ultimo di questa lunga serie. La soluzione di questo rompicapo, però, ve la fornirò (o proverò a fornirvela) direttamente in questo post. Per definire il problema, però, andiamo a leggere il dialogo tra Balbus, Lambert e Hugh che avviene all'incirca a metà del racconto:

«Bene, ora, supponiamo che qui a Chelsea sia mezzanotte. Allora è mercoledì a ovest di Chelsea (diciamo in Irlanda o in America), dove la mezzanotte non è ancora arrivata; ed è giovedì a est di Chelsea (diciamo in Germania o in Russia), dove la mezzanotte è appena passata?»
«Certamente», ripeté Balbus. Persino Lambert annuì questa volta.
«Ma non è mezzanotte da nessun'altra parte; quindi non può esserci un cambio di giorno da un'altra parte. Eppure, se in Irlanda, in America e così via lo chiamano mercoledì, e in Germania, in Russia e così via lo chiamano giovedì, ci deve essere un posto – non Chelsea – dove i giorni sono diversi ai due lati. E il peggio è che le persone lì hanno i giorni nell'ordine sbagliato: hanno mercoledì a est e giovedì a ovest, proprio come se il loro giorno fosse cambiato da giovedì a mercoledì!»
«Ho già sentito questo enigma!» esclamò Lambert. «E vi spiego. Quando una nave fa il giro del mondo da est a ovest, sappiamo che perde un giorno nel suo conteggio: così, quando torna a casa e chiama quel giorno mercoledì, qui la gente lo chiama giovedì, perché abbiamo avuto una mezzanotte in più rispetto alla nave. E quando si fa il giro inverso si guadagna un giorno.»
«Lo so già», disse Hugh, in risposta a questa spiegazione non proprio chiara: «ma non mi è di aiuto, perché la nave non ha giorni veri e propri. In un senso si hanno più di ventiquattro ore al giorno, nell'altro meno: quindi ovviamente i nomi si sbagliano: ma le persone che vivono in un posto hanno sempre ventiquattro ore al giorno.»
«Suppongo che un posto del genere esista», disse Balbus pensieroso, «anche se non ne ho mai sentito parlare. E la gente deve trovare molto strano, come dice Hugh, avere il vecchio giorno a est e il nuovo a ovest: perché, quando arriva la mezzanotte, con il nuovo giorno davanti e quello vecchio alle spalle, non si vede esattamente cosa succede. Devo rifletterci su.»

Rompicapi di Alice: Le età dei figli

Ci siamo quasi. Dopo aver affrontato il rompicapo dei reduci della battaglia di Trafalgar, affrontiamo il secondo dei tre rompicapi che cstituiscono il nodo 10 di A tangled tale. In effetti questo secondo rompicapo è quello conclusivo ed è un classico quesito sulla determinazione dell'età di tre individui.
Le informazioni per arrivare al risultato finale ce le fornisce il padre nel corso della cena (che tra l'altro riunisce tutti i protagonisti dei nove nodi precedenti). Innanzitutto sappiamo che all'inizio, un certo numero di anni prima:

(...) le età di due di voi insieme erano uguali a quella del terzo (...)

Poi alcuni anni più tardi

Le età di due di voi insieme erano il doppio del terzo.

Abbiamo anche due ulteriori informazioni. La prima è:

Il numero di anni che sono trascorsi dalla prima occasione è giusto i due terzi del numero di ghinee che vi diedi.

Nel corso delle riunioni familiari, infatti, il padre assegnava a ciascun figlio tante ghinee quanti erano gli anni di ciascuno.
La seconda informazione era che uno dei tre figli avrebbe raggiunto quell'anno la maggiore età, che a quell'epoca era fissata a 21 anni.
Usando questi soli dati, determinare le età dei tre figli.

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Immagine di apertura generata con Gemini

Rompicapi di Alice: La battaglia di Trafalgar

La celebre battaglia di Trafalgar venne combattuta il 21 ottobre del 1805 dalla Royal Navy britannica contro una flotta franco-spagnola al largo del Capo Trafalgar, nell'Oceano Atlantico. A guidare le 27 navi della flotta britannica c'era l'ammiraglio Horatio Nelson, mentre dall'altro lato dello schieramento l'ammiraglio Pierre Charles Silvestre de Villeneuve aveva sotto i suoi ordini 33 navi da guerra.
Alla fine di quella sanguinosa battaglia, che vide anche la morte dello stesso Nelson, che stoicamente fino all'ultimo guidò i suoi uomini, all'oscuro della ferita mortale che aveva subito, la vittoria arrise alla Gran Bretagna. Mentre Nelson divenne un eroe postumo, molti dei suoi eroi ritornarono in patria con vari gradi di invalidità. Ed è proprio intorno ai vari gradi di invalidità dei reduci della battaglia di Trafalgar che ruota uno dei tre rompicapi proposti da Lewis Carroll nel decimo e ultimo nodo di A tangled tale.
In effetti nella finzione narrativa a proporre il rompicapo alla nipote Clara è Madd Mathesis:

Diciamo che il 70% ha perso un occhio, il 75% un orecchio, l'80% un braccio, l'85% una gamba: questo rende perfettamente l'idea. Ora, mia cara, qual è la percentuale minima di persone che ha perso tutti e quattro gli arti?

La soluzione si spera entro un paio di settimane.

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Illustrazione d'artura generata con Gemini

Rompicapi di Alice: Il giardino

Dopo la pubblicazione della soluzione del primo e del terzo rompicapo presenti nel nono nodo di A tangled tale di Lewis Carroll è venuto il momento di vedere il rompicapo intermedio che lo scrittore di Alice nel Paese delle Meraviglie ha proposto ai suoi lettori.
Il rompicapo lo troviamo espresso nel seguente scambio di battute tra Balbus e Hugh:

"Un mio amico possiede un giardino... molto grazioso, anche se non molto grande..."
"Quanto è grande?" chiese Hugh.
"È quello che dovete scoprire!" rispose Balbus allegramente. "Ti dico solo che ha una forma oblunga.. appena mezza iarda più lungo della sua larghezza... e che un vialetto di ghiaia, largo una iarda, inizia da un angolo e lo circonda completamente."
"Si ricongiunge a se stesso?" chiese Hugh.
"Non si ricongiunge a se stesso, giovanotto. Poco prima di farlo, gira un angolo e gira di nuovo intorno al giardino, costeggiando la prima parte e poi entrando di nuovo in quella, serpeggiando sempre più all'interno, e ogni giro tocca il precedente, finché non ha occupato tutta l'area."
"Come un serpente con gli angoli?" disse Lambert.
"Esattamente. E se lo percorri per intero, fino all'ultimo centimetro, rimanendo al centro del sentiero, sono esattamente due miglia e mezzo furlong. Ora, mentre tu scopri la lunghezza e la larghezza del giardino, io cercherò di risolvere l'enigma dell'acqua di mare."

Il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Ci si vede prossimamente con la soluzione!

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L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Rompicapi di Alice: Di secchi d'acqua e laghi

Era dal nodo 2 (la soluzione) di A tangled tale di Lewis Carroll che non ci imbattevamo in Balbus e nei suoi compari. E finalmente eccoli tornare nel nodo 9, il penultimo. Siamo quindi in dirittura d'arrivo con questa lunga serie dei Rompicapi e dei Paralipomeni dedicata al libro di puzzle matematici dello scrittore di Alice nel paese delle meraviglie.
Anche in questa occasione, come per il nodo precedente (prima parte e soluzione, seconda parte e soluzione), siamo di fronte a più di un rompicap all'interno dello stesso racconto, nello specifico tre. Visto, però, che due di essi ricadono nello stesso argomento, realizzo un unico post per i primi due e un post successivo per il terzo. D'altra parte rispondere al primo dovrebbe rendere più semplice anche rispondere al secondo.

Rompicapi di Alice: Passeggiando verso la spiaggia

Succede, a volte, quando si va nelle località di mare di perdere l'autobus che ci porta alla spiaggia, o viceversa, o in qualche altra amena località nei dintorni. E poi siamo costretti ad attendere un po'. A volte anche un bel po'. Per cui l'idea migliore diventa quella di iniziare a incamminarsi a piedi verso la propria destinazione, cosa che può anche rivelarsi piacevole a seconda del paesaggio o del tempo atmosferico. E qualcosa del genere è avvenuto anche per i protagonisti del nodo 8 di A tangeld tale di Lewis Carroll. In effetti il rompicapoo che segue è il secondo, presente in quel nodo (ho già pubblicato la soluzione del primo), e potrebbe sembrare analogo al rompicapo dei treni del terzo nodo. Andiamo, però, con ordine e vediamo nel dettaglio cosa dice il secondo rompicapo del nodo 8.
A un certo punto i due viaggiatori si trovano nel punto di partenza dell'omnibus diretto verso il mare. Essendo pieno, i due decidono di avviarsi a piedi verso la spiaggia. Dopo esattamente dodici minuti e mezzo incrociano, proveniente dalla direzione opposta, ovvero dal mare, un omnibus. A questo punto la domanda sorge spontanea:

Quando ci raggiungerà il prossimo omnibus?

Ultimo dato: gli omnibus partono ogni quarto d'ora.
Per la soluzione ci vorranno, come nelle altre occasioni, un paio di settimane circa.

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NughtCafe

Rompicapi di Alice: Il girotondo dei maiali

Dopo il problema culinario di Madd Mathesis della nipote (qui la soluzione), nel nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll ritroviamo i nostri amici approdati sull'isola di Kgovjni. Qui, dopo aver affrontato l'enigma della miglior tessitrice di sciarpe (qui la soluzione), si trovano a dover affrontare un nuovo problema posto da Sua Altezza Radiosa.
Uno dei soldati della guardia è in difficoltà. L'annoiata sovrana, infatti

(...) gli ha ordinato di disporre 24 maiali in quei quattro porcili, in modo tale che, girando per la corte, ella possa sempre possoa trovare che il numero [di maiali] in ogni porcile sia più vicino a dieci di quello precedente.

Riusciranno i nostri eroi a risolvere anche questa volta l'enigma?
Ovviamente provateci anche voi!

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NightCafe

Rompicapi di Alice: Pranzo all'inglese

Avevamo lasciato Mad Mathesis e la nipote Clara valutare quadri al nodo 5 (la soluzione) di A tnagled tale di Lewis Carroll. E ora le ritroviamo mentre fanno i conti con le spese del pranzo.
Il pranzo all'inglese di cui discutono è costituito in maniera abbastanza semplice da limonate, panini e biscotti. Possiamo immaginare che questi panini siano, in effetti, i tipici sandwich inglesi: due fette di pane bianco, a volte tostato a volte no, con all'interno quel che si preferisce. Non sto qui a raccontare come i sandwich inglesi siano stati importati in Italia diventando dei tramezzini, visto che ci sono diverse versioni, ma mi porto immediatamente nel cuore del problema.
Partiamo da ciò che sappiamo: nel quaderno degli appunti di Madd Mathesis sono segnati i costi i due recenti pasti svolti nel medesimo locale. Questa pratica di appuntare i costi dei pasti è suggerita, in realtà, dalla nipote Clara, che a causa della sua labile memoria, vuole che questi costi vengano appuntati per poi rifondere delle spese la zia.

Rompicapi (natalizi) di Alice: Lo scambio dei doni

Lo so: in questo periodo la serie dei Rompicapi di Alice è impegnata con i nodi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll, però mi piaceva proporre un rompicapo a tema natalizio. Per renderlo carrolliano, anche se non esattamente ideato dallo scrittore di Alice, ho deciso di usare i quattro protagonisti del famoso tea party, il Cappellaio Matto, la Lepre Marzolina, il Ghiro e Alice.
I nostri hanno deciso di scambiarsi i doni per Natale, così si vedono nella radura in mezzo al bosco per un té natalizio, quattro chiacchiere e lo scarto dei regali. Le informazioni che abbiamo riguardo il party sono le seguenti:

• Ognuno ha portato un regalo diverso: una sciarpa, un libro, una tazza e un set di colori.
• Nessuno ha ricevuto il regalo che ha portato.
• La Lepre Marzolina ha portato la sciarpa, ma non ha ricevuto il libro.
• Il Ghiro ha ricevuto la tazza.
• Alice ha ricevuto il regalo portato da chi ha ricevuto il set di colori.
• Il Cappellaio Matto ha portato il libro.

Chi ha portato il set di colori e chi ha ricevuto la sciarpa?
Ovviamente la soluzione uscirà, come per i nodi, in un Paralipomeno apposito.
Nel frattempo...

Buon Natale!

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Immagine di apertura generata da Gemini e pubblicata su Nightcafe

Rompicapi di Alice: Una questione di sciarpe

Con il nodo di oggi, il sesto di A tangled tale di Lewis Carroll, inizia la fase di "discesa" nella sequenza dei dieci nodi di cui è composto il libercolo.
In particolare ritroviamo i nostri amici del quarto nodo (qui la soluzione) che, giunti a Kgovjni, vengono coinvolti da Sua Radiosità, il "re" del luogo, nell'annuale competizione per il posto di Imperial Tessitore di Sciarpe. I nostri amici sono, infatti, invitati a giudicare la migliore a produrre sciarpe. Ci sono tre contendenti al posto: Lolo, Mimi e Zuzu.

Lolo fa 5 sciarpe mentre Mimi ne fa 2; ma Zuzu ne fa 4 mentre Lolo ne fa 3! Di nuovo, l'opera di Zuzu è così leggera che 5 delle sue sciarpe non pesano più di una di Lolo; eppure quella di Mimi è ancora più leggera: 5 delle sue ne bilanciano 3 di Zuzu! E per quanto riguarda il calore, una di Mimi equivale a 4 di Zuzu; eppure una di Lolo è calda quanto 3 di Mimi!

Per determinare chi sia la migliore, bisogna dare un peso uguale a rapidità, leggerezza e calore.
Il nodo, però, presenta anche un problema che non è esattamente un problema:

[Un mio amico] e suo fratello andarono [a Londra] un anno fa, con mille sterline ciascuno; e il primo dell'anno avevano sessantamila sterline tra loro!

Il come hanno fatto non sta, esattamente, nel regno della matematica, ma lo scopriremo nel prossimo Paralipomeno!

Rompicapi di Alice: Sfida a Burlington House

Dopo la sfida dei treni (qui la soluzione), ritroviamo l'arzilla signora nota come Mad Mathesis e la nipote Clara mentre si dirigono verso Burlington House, uno storico palazzo di Londra eretto intorno al 1664. All'epoca del racconto, tra il 1880 e il 1885, era ospitata tra le sue sale la Royal Academy of Arts, che aveva preso sede lì sin dal 1867. Negli anni successivi altre grandi istituzioni si unirono alla Royal Academy of Arts all'interno di Burlington House: oggi trovano sede lì anche la Geological Society of London, la Linnean Society of London, la Royal Astronomical Society, la Society of Antiquaries of London e la Royal Society of Chemistry.
Le due protagoniste del quinto nodo di A tangled tale di Lewis Carroll, però, erano interessate all'esposizione di quadri della Royal Society of Arts e questo per poter portare a compimento una sfida piuttosto particolare proposta da Madd Mathesis.

Rompicapi di Alice: Una storia di sacchi e libbre

I problemi di pesate sono abbastanza usuali all'interno dei rompicapi matematici. E in effetti all'interno di A tangled tale di Lewis Carroll ne incontriamo uno una volta giunti al quarto nodo.
Ci troviamo a bordo di una nave che sta viaggiando verso il paese di Kgovjni. A un certo punto il capitano della nave coinvolge i suoi passeggeri (quelli occidentali) proprio in un problema di pesate. Gli indigeni che stanno viaggiando a bordo della nave hanno infatti pesato 5 sacchi:

Il primo e il secondo sacco pesavano 12 libbre; il secondo e il terso, 13 \(\frac{1}{2}\); il terzo e il quarto, 11 \(\frac{1}{2}\); il quarto e il quinto, 8; (...)

A queste quattro pesante si aggiunge la quinta il cui il primo, il terzo e il quinto sono risultati pesare 16 libbre.
L'ovvia domanda che il capitano rivolge ai suoi ospiti (e Carroll ai lettori) è quale sia il peso di ciascun sacco.
Ora che ci siamo temporizzati con il Carnevale della matematica, la soluzione a tra un paio di settimane circa, ovviamente dopo il Carnevale.

Rompicapi di Alice: Un paio di giri sul treno

via pixels.com rielaborato graficamente con Canva

Il termine mathesis deriva dal greco e identificava l'imparare. Dopo la pubblicazione nel 1970 di The Order of Things del filosofo Paul-Michel Foucault, molti lo intendono come scienza universale della misura e dell'ordine, ma ai tempi di Lewis Carroll era utilizzato non solo nel significato originale, ma anche per indicare i calcoli mentali. E una delle protagoniste del terzo nodo di A tangled tale è una simpatica (ma dipende dai punti di vista!) signora della Mad Mathesis, che quindi potremmo rendere come folli calcoli mentali! E sicuramente la sfida che propone alla sua giovane ospite, la nipote Clara, sembrerebbe avere un che di folle.
Le due si trovano alla stazione di Londra, Charing Cross. Le due, in virtù di un recente completamento della linea, decidono di prendere i treni che passano per Bayswater e Birmingham e questo per un semplice motivo: viaggiano in circolo e quindi partono e arrivano a Londra senza cambiare direzione. Ovviamente i treni possono prendere due direzioni differenti, verso est e verso ovest. I tempi di percorrenza, però, sono differenti: i treni che viaggiano verso est impiegano tre ore a completare il giro, quelli che viaggiano verso ovest due ore. Nonostante questo i treni partono puntualmente ogni quarto d'ora in entrambe le direzioni.
Date queste premesse, ecco il gioco:

Rompicapi di Alice: Una piazza perfettamente quadrata

Continuo a presentarvi i rompicapi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll con la struttura testo del rompicapo dentro i Rompicapi di Alice e soluzione dentro i Paralipomeni di Alice. Questa struttura, in effetti, è perfetta per questo periodo estivo e così, dopo il primo nodo e la sua soluzione, eccoci al secondo nodo.
I protagonisti del racconto matematico sono Balbus, Hugh e Lambert. I tre si trovano a Little Mendip, una stazione termale molto rinomata, e quindi piena di alloggi fino all'orlo, però girovagando trovano che in una piazza quadrata si trovano delle acconce dimore (in pratica dei bed&breakfast, come diremmo oggi!). La piazza è costituita da 20 palazzine per lato e ciascun lato è suddiviso in 21 parti uguali.
I tre visitano quattro stanze differenti, tutte sul retro delle case e con vista sull'orto! Le stanze visitate sono la n.9, 25, 52, 73. Balbus vuole prendere tutte e quattro le stanze, una per usarla come soggiorno e le altre tre come camere da letto. La domanda che quindi pone ai suoi giovani compagni è quindi:

I rompicapi di Alice: Una gita in montagna

Come abbiamo visto, A tangled tale di Lewis Carroll è un libro costituito da dieci rompicapi matematici originariamente proposti ai lettori di The Monthly Packet tra l'aprile del 1880 e il marzo del 1885.
Il primo di questi rompicapi, tutti scritti come dei racconti, vede due soldati fare una gita in montagna dalla locanda in cui alloggiano. Sul loro viaggio abbiamo a disposizione questi dati: la velocità in pianura è di 4 miglia orarie, quella in salita di 3 miglia orarie e quella in discesa di 6 miglia orarie. Sappiamo, inoltre, che sono partiti alle 3 del pomeriggio e dovrebbero rientrare alle 9 di sera.
Avendo a disposizione questi dati, Carroll vuole sapere quante miglia hanno percorso i due commilitoni e, come bonus, a che ora si trovavano in cima alla montagna, con un errore di mezz'ora.
Vista la semplicità della risoluzione, mi è sembrato corretto presentare questo primo rompicapo senza discuterne in questo stesso post la soluzione, lasciando il tempo a chi il libro di Carroll non l'ha letto (e quindi non conosce la soluzione) di poter provare a risolverlo. Conto di pubblicare una possibile soluzione tra un paio di settimane.

I rompicapi di Alice: Il fantastico mondo dei politopi

La serie dei Rompicapi di Alice nasceva, ai tempi in cui Science Backstage era ospitato sull'ormai defunta Blogosfere, per proporre articoli più o meno brevi intorno al mondo di Alice nel paese delle meraviglie e del suo autore, Lewis Carroll. La guida che utilizzavo all'inizio, e che alcune volte utilizzo ancora adesso, era Il libro dei rompicapi di Alice di John Fisher, un'utile e interessante raccolta di molti dei rompicapi carrolliani usciti sia sui suoi volumi, sia sulle riviste con le quali collaborava. Oltre, ovviamente, ad altre curiosità.
A questi spunti iniziali, si aggiungevano anche ricerche personali su "cose carrolliane" non prese in considerazione da Fisher, o, in puro spirito carrolliano, diventavano punti di partenza per andare in direzioni leggermente differenti. La serie, però, non si è limitata solo ai rompicapi di Carroll, ma l'ho utilizzata per raccontare anche altre questioni presenti nella matematica, in particolare ricreativa, utilizzando altri punti di riferimento del campo, su tutti Martin Gardner.
L'articolo di oggi ricadrebbe in questa seconda categoria, ma molto più di altri merita di avere l'Alice nel titolo, come scoprirete se avrete la pazienza di leggerlo tutto (anche se chi legge il blog da un po', potrebbe intuirlo!).

Rompicapi di Alice: Palindromi primi

Un palindromo è un numero che, quale sia il suo verso di lettura, non cambia. Qualcosa tipo 181, 191, 313, eccetera...
Non ho preso questi numeri a caso, ma li ho estratti dalla lista dei palindromi primi, ovvero quei palindromi che sono anche numeri primi. Il più piccolo numero primo palindromo, escludendo i primi costituiti da un'unica cifra, è 11, che è anche l'unico palindromo con cifre pari a essere primo. Tutti i palindromi di questo genere, infatti, sono multipli proprio di 11.
L'11, però, è anche il primo numero primo appartenente a una lista piuttosto particolare, quella dei repunit, ovvero i numeri costituiti solo ed eslusivamente da 1 ripetuti, che sono anche primi.
Esiste una formula che, data la base \(b\) e il numero di cifre \(n\) permette di determinare i repunit:

Rompicapi di Alice: Il sudoku e i quadrati magici

Che in realtà l'argomento lo affronterò al contrario, ma il titolo così mi suonava meglio!

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I quadrati magici sono tra i più noti e antichi rompicapi matematici. Testimonianze dei primi quadrati magici sono state ritrovate sin dai primi secoli dopo Cristo, ma c'è chi ritiene che risalgano a diversi secoli prima, forse addirittura al IV secolo a.C.
Tra i più antichi quadrati magici fin qui ritrovati ci sono i luoshu, o lo shu, cinesi, quadrati che vanno dall'ordine 3 fino al 10 (l'ordine è il numero di righe o colonne del quadrato).
In poche parole un quadrato magico è una disposizione di numeri interi tutti diversi uno dall'altro all'interno di una griglia quadrata. La somma dei numeri lungo ciascuna riga e colonna e lungo le due diagonali principali è una costante, detta "costante magica".
Per riempire un quadrato \(n \times n\) servono, come ovvio, \(n^2\) numeri interi. Se vengono utilizzati tutti i numeri da 1 a \(n\), allora il quadrato si dice perfetto.
Per questi quadrati vale la seguente formula per il calcolo della costante magica:

Rompicapi di Alice: La spirale di Ulam

Mentre Stanislaw Ulam stava aspettando l'inizio di una conferenza presso i laboratori di Los Alamos, per passare un po' il tempo disegnò una griglia di linee orizzontali e verticali su uno dei fogli di appunti che si era portato dietro. Ulam, che era anche uno scacchista, all'inizio pensò di ideare un problema scacchistico, poi la sua mente andò in un'altra direzione e iniziò a scrivere all'intersezione delle linee un numero intero, partendo da 1 posto al centro della griglia.
Iniziò a disporli nella forma di una spirale e poi, una volta completata la griglia, iniziò a cerchiare i numeri primi, osservando come questi sembravano disporsi lungo linee dritte. Gli venne, così, in mente di capire cosa sarebbe successo riuscendo a realizzare una struttura con molti più punti all'interno della griglia.
Per fortuna di Ulam ai laboratori di Los Alamos erano dotati di un nastro magnetico (all'epoca i dati si registravano su delle bobine di pellicola dette nastri magnetici) su cui erano registrati i primi 90 milioni di numeri primi. Inoltre i ricercatori avevano a disposizione un supercomputer (super per l'epoca, ovviamente), MANIAC. Così, insieme con Myron Stein e Mark Wells, scrisse un programma per visualizzare sullo schermo del computer una spirale con tutti i numeri primi compresi tra 1 e 65000. Il risultato lo vedete nell'immagine qui sotto, tratta da The remarkable lore of the prime numbers di Martin Gardner, pubblicato nella sua rubrica dei Mathematical games su Scientific American 210: