Rompicapi di Alice: Il sudoku e i quadrati magici

Che in realtà l'argomento lo affronterò al contrario, ma il titolo così mi suonava meglio!

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I quadrati magici sono tra i più noti e antichi rompicapi matematici. Testimonianze dei primi quadrati magici sono state ritrovate sin dai primi secoli dopo Cristo, ma c'è chi ritiene che risalgano a diversi secoli prima, forse addirittura al IV secolo a.C.
Tra i più antichi quadrati magici fin qui ritrovati ci sono i luoshu, o lo shu, cinesi, quadrati che vanno dall'ordine 3 fino al 10 (l'ordine è il numero di righe o colonne del quadrato).
In poche parole un quadrato magico è una disposizione di numeri interi tutti diversi uno dall'altro all'interno di una griglia quadrata. La somma dei numeri lungo ciascuna riga e colonna e lungo le due diagonali principali è una costante, detta "costante magica".
Per riempire un quadrato \(n \times n\) servono, come ovvio, \(n^2\) numeri interi. Se vengono utilizzati tutti i numeri da 1 a \(n\), allora il quadrato si dice perfetto.
Per questi quadrati vale la seguente formula per il calcolo della costante magica: \[M_2(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}{2} n (n^2 + 1)\] In Europa, uno dei quadrati magici più noti è quello inserito dal pittore e incisore Albrecht Durer nella sua opera Melancolia I del 1514:

Un'altra serie di quadrati magici piuttosto nota e interessante è quella presente nel De occulta philosophia del 1531, opera "alchemica" di Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim. Al suo interno troviamo diversi quadrati magici, ciascuno associato a un diverso pianeta. Tra questi quello su cui mi vorrei soffermare è quello di rango 4 associato a Giove:

Se confrontiamo questo quadrato magico con quello di Durer, scopriamo che è possibile ricavare uno dall'altro attraverso una serie di trasformazioni di simmetria, che, guarda un po', formano un gruppo di trasformazioni. Nel dettaglio le trasformazioni che permettono di passare tra questi due specifici quadrati magici sono:

• Scambio della 1.a con la 4.a riga
• Scambio della 2.a con la 3.a riga
• Scambio della 2.a con la 3.a colonna

Il risultato finale è indipendente dall'ordine con cui si eseguono le operazioni.
D'altra parte esistono diverse tecniche per ottenere un quadrato di ordine 4, alcune anche piuttosto complicate. La più semplice è, indubbiamente, quella di partire da uno schema con tutti i numeri da 1 a 16 al suo interno, cancellando quelli sulle due diagonali:

Ciò che resta da fare è, quindi, completare il quadrato in modo tale che colonne, righe e diagonali abbiano la stessa costante magica.

I primi rompicapi magici

Il rompicapo matematico più noto di tutti in questa prima parte di XXI secolo è proprio un quadrato magico, di ordine 9 per essere precisi: il sudoku. Ogni riga e colonna del quadrato \(9 \times 9\), infatti, deve essere riempito con cifre da 1 a 9. Inoltre il quadrato è suddiviso in 9 sottoquadrati \(3 \times 3\), ciascuno dei quali deve contenere solo le cifre da 1 a 9, senza ripetizioni.
La prima volta che un gioco simile comparve, fu sui quotidiani francesi sul finire del XIX secolo. In effetti quella prima versione, che aveva esordito nel 1892 su Le Siècle era piuttosto diversa da quella che conosciamo oggi, poiché erano presenti numeri a doppia cifra e per poter riempire le celle vuote dello schema, era necessario utilizzare soprattutto l'aritmetica e non la logica. Era comunque già presente la regola che vietava ripetizioni nella riga, nella colonna e in ciascun sottoquadrato.
Il primo quadrato magico molto simile al Sudoku moderno venne pubblicato da La France, ma lo schema non metteva in evidenza i sottoquadrati, come per esempio nello schema del 6 luglio del 1895:

Viaggio intorno al mondo

Nel maggio del 1979 sul sedicesimo numero del Dell Pencil Puzzles & Word Games con il titolo di Number Place venne pubblicato un rompicapo che è in tutto e per tutto il moderno sudoku. Secondo lo storico di enigmistica Will Shortz, questo rompicapo venne proposto alla rivista da Howard Garns, architetto in pensione dell'Indiana. Per semplificare la risoluzione dello schema, Garns aveva cerchiato 4 celle particolari indicando i 4 numeri (forniti in ordine crescente e non di soluzione) che andavano inseriti all'interno di quelle celle:

Nel 1984 il gioco sbarca in Giappone sul numero di aprile di quell'anno della rivista Monthly Nikolist, che due anni dopo, nel 1986, introdusse due novità, che poi sono oggi due possibili variazioni negli schemi usuali: il numero massimo di celle note, 32, e la loro disposizione simmetrica.
Nel 2004 Wayne Gould, ex giudice neozelandese, reintrodusse il rompicapo in Europa, in Gran Bretagna per la precisione, diffondendosi quindi in tutto il mondo.
Nel frattempo in Giappone, sempre nel 2004, l'insegnante di matematica Tetsuya Miyamoto propose un nuovo rompicapo ispirato proprio al sudoku: il calcudoku.
Questa, però, è un'altra storia che ho già raccontato.

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Testo che riprende, con qualche adattamento, il capitolo dei giochi matematici presente sul 52.mo volume della collana "Matematica". Per chi vuole sapere qualcosa di più, trovate il libro sullo store della Gazzetta dello Sport.