Prima di procedere con la lettura, c'è una novità: ho deciso, infatti, di raccogliere i post della serie in una pagina apposita, scelta più pratica del solito copia/incolla della lista completa: Come raccontato nell'ormai lontano Carnevale della matematica #59 (oppure nella prima puntata della Breve storia del pi greco), il moderno calcolo delle cifre decimali del \pi si basa su una combinazione degli algoritmi iterativi con le serie rapidamente convergenti. La serie di record, ben 18, ottenuta dal matematico giapponese Yasumasa Kanada è stata possibile proprio grazie a questo genere di serie.
Le prime serie rapidamente convergenti sono dovute al Srinivasa Ramanujan, che nel 1914 pubblicò diverse di queste serie, tutte caratterizzate da una grande eleganza matematica e, soprattutto, dalla loro velocità nel convergere. Per esempio, una di queste formule, basata sulle equazioni modulari, è \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k!) (1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} Queste serie risultano tutte più rapide delle serie basate sulle funzioni trigonometriche, come l'arcotangente, persino più veloci della formula di Machin. Il primo a utilizzarle fu Bill Gosper, che nel 1985 ottenne il record di 17 milioni di cifre decimali del pi greco.
Un grosso impulso alla realizzazione di algoritmi sempre più efficienti è arrivato, però, a partire dai primi anni del terzo millennio grazie alle così dette serie di Ramanujan-Sato, che generalizzano le serie di Ramanujan come quella che vi ho mostrato poco fa alla forma \frac{1}{\pi} = \sum_{k=0}^{\infty} s(k) \frac{Ak + B}{C^k} Questo genere di serie, effettivamente formalizzate in un articolo di Takeshi Sato del 2002, Apéry numbers and Ramanujan's series for 1/π pubblicato nella raccolta di articoli relativa all'Annual Meeting of the Mathematical Society of Japan, sono alla base dell'algoritmo sviluppato dai fratelli Jonathan e Peter Borwein nel 1987, oppure del lavoro coevo dei fratelli David e Gregory Chudnovsky. Questi ultimi svilupparono, indipendentemente dai Borwein, la loro famosa formula su cui si sono basati gli ultimi record recenti, incluso quello di oltre 200 trilioni di cifre decimali ottenuto da Jordan Ranous, Kevin O’Brien e Brian Beeler: \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}
La correzione migliore è ovviamente quella legata a F_3: con n=151 si passa da un errore dell'ordine di 10^{-3} per la serie troncata a un errore dell'ordine di 10^{-16} per la serie con il terzo termine di correzione. Un gran bel risultato!
I loro testi, però, non ci forniscono alcun indizio su come Madhavan sia giunto all'espressione dei tre termini se non per un unico dettaglio: F_1 è, in pratica, un passaggio intermedio per ricavare F_2. Così nel 1990 tre matematici giapponesi hanno proposto un metodo, più che plausibile, che il matematico indiano potrebbe aver utilizzato per ricavare le tre correzioni. Tale metodo si basa sull'assunto che Madhavan sia partito dall'approssimazione di \pi con la frazione \frac{355}{113} e che abbia utilizzato l'algoritmo di Euclide per le divisioni.
Il risultato finale, ovviamente, sono stati i tre termini di correzione attribuiti a Madhavan.
e^\pi - \pi^e - \frac{1}{\varphi} \approx 0.0635 Si potrebbe fare di meglio? In effetti si potrebbe utilizzare il rapporto superaureo, su cui il buon .mu. ha scritto una trilogia (parte 1, parte 2, parte 3). In questo caso l'approssimazione diventa: e^\pi - \pi^e - \frac{1}{\psi} \approx -0.00079
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