Carnevale della matematica #195: pi day 2026

Cosa troverete nel Carnevale della matematica #195:

• Le proprietà matematiche del 195.
• Alcune curiosità sul pi greco.
• I link a una serie di contenuti pensati per il pi day.
• I link ai post scritti nel mese precedente dai blogger matematici italiani.

Come ogni anno arriva puntuale il 14 marzo, ovvero il pi day. E anche in questo 2026 il Carnevale della Matematica viene ospitato su DropSea. Ricordandovi che, come negli anni passati, troverete i contributi dei matematti intervallati dalle notizie pi greche, non mi resta che riassumere brevemente le proprietà del numero legato a questa edizione.
Il 195 è un numero dispari, divisibile sia per 3 sia per 5. Il terzo numero primo che lo divide esattamente è, poi, il 13, ottenendo così la seguente fattorizzazione: \[3 \times 5 \times 13\] cosa che lo rende un numero sfenico. Questa tipologia di numeri, infatti, è costituita da tutti coloro che posseggono tre fattori primi distinti. Per capire meglio basta osservare che 30 è sfenico, mentre 60 no, e questo perché tra i divisori di 60 c'è \(4 = 2^2\), ovvero 2 non è un divisore primo distinto di 60. Una proprietà interessante dei numeri sfenici è che posseggono esattamente \(8 = 2^3\) divisori, incluso se stesso.
E infatti la lista dei divisori è costituita da 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, che sono appunto 7 e diventano 8 aggiungendo il 195 stesso. Inoltre se sommiamo tra loro questi divisori (195 escluso) otteniamo 141, un numero inferiore a 195, che dunque rientra nella lista dei numeri difettivi.
Altra simpatica proprietà del 195 è che è divisibile per la somma delle proprie cifre: se infatti le sommiamo otteniamo 15, che è appunto un divisore del 195. Questo fatto lo rende un numero di harshad, che deriva dal sanscrito harṣa, ovvero una grande gioia.
Se sommiamo i primi 11 numeri primi dispari, otteniamo come risultato 195. E' anche un numero fortunato. Indine le sue rappresentazioni binaria (11000011), in base 4 (3003) e in base 8 (303) sono tutte palindrome.

Una delle edizioni più difficili del Carnevale della matematica da organizzare è stata quella del pi day 2022, e questo per i noti fatti riguardanti l'invasione dell'Ucraina da parte della Russia. Da allora non solo la situazione non è migliorata, ma se possibile è pure peggiorata. Per cui il tema di Matematica e Speranza della Giornata internazionale della matematica 2026 cade decisamente a fagiolo. In questo box iniziale allora vi presento due post di MaddMaths! dedicati a questa giornata e con i quali iniziamo ufficialmente a raccontare i contributi di questa edizione speciale del Carnevale della matematica:

• Gli eventi italiani per la Giornata Internazionale della Matematica 2026
• Dal 14 marzo, riparte il CALENΠARIO, un progetto ormai annuale organizzato da Riccardo Moschetti e Roberto Zanasi. Un problema ogni 3 (,14...) giorni, dal 14 marzo fino al 28 giugno.

Prepararsi al pi day 2026

Quest'anno mettere in piedi il Carnevale della Matematica del 14 marzo, che sarà peraltro la 195.ma edizione, non è stato per nulla semplice. Il motivo è che il giorno del pi day sarò sul treno per rientrare da Firenze, dove a partire dall'11 marzo sarà in svolgimento Didacta, fiera della didattica italiana. Ho, quindi, costretto gli altri matematti a inviarmi con congruo anticipo i loro contributi (e nel frattempo ho anche cercato di impostare delle bozze, non sia mai che riesca a raccontarvi qualcosa da Didacta a fine serata!), per cui non ho preparato nessun contenuto video da lanciare in contemporanea o in anteprima al Carnevale. E allora ecco l'idea di proporre in un post apposito un paio di news di MaddMaths! dedicate proprio al pi day e che sarebbero state decisamente vecchie uscendo all'interno del Carnevale:

• Tutte le info per segnalare gli eventi dedicati alla Giornata intenazionale della matematica: per questa edizione il tema è Matematica e speranza
• Inoltre c'è anche una pagina con alcune attività da organizzare per il pi day. All'interno troverete alcune schede in italiano per attività a tema matematico (e pi greco!).

Anche se mancano ancora pochi giorni al pi day, c'è comunque ancora un po' di tempo per segnalare eventi o lasciarsi ispirare dalle attività proposte!

Carnevale della Matematica #185: pi day 2025

Benvenuti all'edizione n. 185 del Carnevale della matematica, la manifestazione on-line che raccoglie i post matematici dei blogger italiani che partecipano all'iniziativa.
Oggi, tra l'altro, è un giorno speciale: il pi day, il giorno del pi greco, ovvero la Giornata internazionale della matematica. In questo giorno si organizzano molti eventi un po' in tutto il mondo, e qui trovate gli eventi italiani. Qui su questo blog, che ormai da anni ospita il Carnevale della matematica proprio in occasione del pi day, il tema portante sarà, come da tradizione, il pi greco, che sviluppo all'interno del post attraverso le notizie pi greche. Questi box, due o tre a edizione, si intercalano tra i contributi dei matematti sviluppando il tema portante, mentre nell'introduzione vado a riassumere alcune delle proprietà del numero corrispondente all'edizione. Cosa da cui non sfuggiamo nemmeno quest'anno!

Le proprietà del 185

La poesia gaussiana di Marco Fulviuo Barozzi, in arte Popinga, è una struttuta poetica generata in maniera abbastanza semplice. Partendo dal 2, il primo numero primo della lista, associa a ciascun numero primo un vorso costituito da una parola o da una combinazione di parole, mentre a ciascun verso associato a un numero non primo, i corrispondenti versi "primi" con le opportune ripetizioni in base, appunto, alla fattorizzazione di quel verso.
Questa semplice regola permette di ricavare il verso della poesia gaussiana per ciascun numero naturale, a meno di avere un verso associato a ciascun numero primo. Il problema dell'estensione originale di Popinga è che l'ultimo numero primo considerato è il 31, ma la fattorizzazione del 185, ovvero l'ordinale associato a questa edizione del Carnevale della matenatica è \[185 = 5 \times 37\] per cui per generare il verso gaussiano associato a questa edizione era necessaria un'estensione di quelli che chiamo i "versi primi", estensione che trovate su questa pagina, ma che non è di mio pugno. A partire da questa estensione, il verso gaussiano risulta quindi:

tra i cespigli gorgheggiando

Se poi facciamo la somma dei suoi divisori, otteniamo 43 che è minore di 185, il che rende quest'ultimo un numero difettivo.
Una proprietà molto interessante del 185 è, però, quella di essere un semiprimo. Un numero, infatti, appartiene a tale famiglia se può essere scritto come prodotto di due numeri primi, non necessariamente distinti. Si potrebbe allora dire di primo acchitto che tutti i numeri naturali sono semiprimi. In realtà non è così. Prendiamo il 4, la prima potenza di 2. Esso è semiprimo poiché \(4 = 2 \times 2\). Prendiamo la potenza di 2 successiva, 8. Possiamo scriverlo come prodotto di due numeri nel modo seguente \(8 = 2 \times 4 = 4 \times 2\), solo che l'unico primo è il 2 mentre il 4 non è primo, e quindi 8 non è semiprimo.
Anche il 581, ovvero il 185 scritto invertendo l'ordine delle sue cifre, è semiprimo, il che rende il 185 (e il 581) un numero omirpimes.
Il 185, poi, è un numero 20-gonale, ovvero che può essere rappresentato attraverso un poligono di 20 lati opportuno, e fa parte delle seguenti terne pitagoriche:

(57, 176, 185), (60, 175, 185), (104, 153, 185), (111, 148, 185), (185, 444, 481), (185, 672, 697), (185, 3420, 3425), (185, 17112, 17113)

E a proposito di triangoli rettangoli l'ultima curiosità su cui voglio soffermarmi prima di lasciarvi ai contributi di questa 185.ma edizione è legata alla spirale di Teodoro, così chiamata in onore del matematico greco Teodoro di Cirene, il primo a realizzarla.
Tale spirale viene costruita a partire dal triangolo rettangolo isoscele con cateti pari a 1. Sull'ipotenusa di tale triangolo, si costruisce un nuovo triangolo rettangolo, in cui un cateto è l'ipotenusa del triangolo precedente, e l'altro è un cateto sempre di lunghezza 1. A partire dal triangolo così ottenuto se ne costruisce un altro nello stesso modo. E così via. La spirale originale, che permette in questo modo di disegnare le radici quadrate dei numeri naturali, secondo quanto tramandatoci da Platone, si ferma al 16.mo triangolo e, quindi, alla radice quadrata di 17. E se portiamo la spirale fino al quarto giro troviamo proprio 185 triangoli rettangoli.

Pi day 2025: Tutti a raccolta!

Anche se un po' in ritardo rispetto a quel che avrei voluto, ecco l'annuncio ufficiale che chiama a raccolta i matematti, sia quelli soliti sia quelli che normalmente non partecipano al Carnevale della Matematica, a segnalarmi i loro articoli a tema matematico realizzati tra la metà febbraio e la metà marzo 2025. La deadline è, come sempre, il 12 marzo. Nell'e-mail vi ricordo di indicare il titolo, il link e una breve descrizione. Per il tema, ovviamente il protagonista principale è il pi greco, ma va bene qualunque altro genere di post, a patto che la matematica sia, comunque, protagonista.
Qui sotto un'immagine con l'indirizzo e-mail cui scrivermi. In alternativa potete scrivermi sia nel fediverso su mastodon.social, sia su instagram. Solito nick: ulaulaman.
Buona matematica a tutti!

Carnevale della Matematica #176: Pi day!

canta, canta, canta, canta all'alba

La poesia gaussiana redatta con grande impegno da Marco Fulvio Barozzi in arte Popinga è una struttura poetico-matematica abbastanza semplice da comprendere. Una volta capito come si alternano i versi si può trasformare (quasi) qualisiasi numero in un verso partendo dalla sua fattorizzazione. E per il 176, numero d'ordine del Carnevale della Matematica che vi apprestate a leggere, la sua fattorizzazione è pari a \[2^4 \times 11\] per cui dall'unione dei versi corrispondenti ai "due" fattori, ecco il verso d'apertura della special edition odierna.
Perché, come spero ricorderete (e l'orario di uscita del Carnevale è in questo un indizio significativo) oggi è il pi day, che ormai dal lontano 2012 con l'edizione #47 viene festeggiato qui su DropSea. Come è ovvio, quindi, il tema portante di questa edizione è proprio il pi greco, che sarà protagonista non solo in alcuni dei contributi che mi appresso a presentare, ma anche grazie alle ormai usuali notizie pi greche, i piccoli box con i quali nel corso degli anni ho cercato di raccontare la storia e altre curiosità del numero più famoso del mondo. Per cui questa introduzione al Carnevale è dedicata al 176.
Questi è un numero pari i cui divisori sono: 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176. Se li sommiamo insieme, 176 escluso, otteniamo 196, maggiore di 176, il che fa di quest'ultimo un numero abbondante. Se però alla somma di prima togliamo il 4 e il 16 otteniamo proprio 176, il che lo rende un numero semiperfetto.
Fa poi parte delle seguenti terne pitagoriche:

(57, 176, 185), (132, 176, 220), (176, 210, 274), (176, 330, 374), (176, 468, 500), (176, 693, 715), (176, 960, 976), (176, 1932, 1940), (176, 3870, 3874), (176, 7743, 7745)

proprio come il 167, ovvero il protagonista dell'edizione 2023, è un numero felice. E visto che vi voglio bene, invece di rimandarvi a quell'edizione, vi (ri)definisco qui la felicità:
Prendiamo un numero. Eleviamo al quadrato ciascuna delle sue cifre. Quindi sommiamole. Ripetiamo l'operazione con il risultato ottenuto. Proseguendo si può ricadere in due situazioni: il ciclo finisce con 1; il ciclo non finisce mai con 1 e, anzi, entra in un loop. Nel primo caso il numero si dice felice. E questa è la felicità del 176: \[1^2 + 7^2 + 6^2 = 86\] \[8^2 + 6^2 = 100\] \[1^2 = 1\] Come qualcuno avrà notato, la cosa non poteva che essere così, visto che le cifre del 176 sono una delle possibili permutazioni delle cifre del 167! Con le prossime due proprietà del 176 spero di non perdervi. Il 176, infatti, è un numero pratico. Il motivo è che tutti i numeri interi positivi precedenti al 176 possono essere scritti come somma di uno o più dei suoi divisori.
E' interessante osservare come due particolari congetture sui numeri primi, la congettura di Goldbach e la congettura dei numeri primi gemelli, che non sono ancora state dimostrate per i numeri primi, si sono rivelate vere per i numeri pratici. In pratica ogni numero pari può essere scritto come la somma di due numeri pratici, ed esistono ifniniti numeri pratici (m) tali che anche (m+2) è un numero pratico (in realtà i numeri pratici si spingono addirittura fino a terne di numeri pratici gemelli!).
Infine il 176 è un numero colombiano. Per spiegare cosa sono questi numeri faccio un esempio. Prendiamo il 43. Può essere scritto come 43 = 35 + 5 + 3. Notate che sia 5 sia 3 sono le cifre che compongono il 35. Ebbene il 43 non è un numero colombiano. Mentre, per esempio, il 42, o il nostro 176, è un numero colombiano poiché non esiste nessun intero positivo con il quale scrivere un'uguaglianza simile a quella scritta per il 43.
Lascio per ultima la proprietà che può essere rappresentata con una figura. Il 176, infatti, è un numero ottagonale poiché può essere rappresentato come un ottagono:

Pi Day 2024: Un'anteprima

Ero lì, che stavo ragionando a quale anteprima proporvi per il Carnevale della Matematica del pi day di prossima uscita (mancano ancora poche ore), con il file scritto in markdown pronto per essere convertito in html, quand'ecco che mi viene in mente che manca ancora il mio ultimo post! La corsa per aggiungerlo, integrarlo ed esportare il tutto. Un sospiro di sollievo e via, eccovi il video che è uscito ieri come anticipazione del Carnevale, e che in effetti meritava un post tutto per se:

Tutti pronti per il pi day?

Anche quest'anno la chiamata alle armi per il Carnevale della Matematica del pi day, griffato #176, arriva abbinato a un video. E come l'anno scorso, oltre a lanciare ufficialmente la raccolta dei contributi, chiedo anche a chi realizza video su YouTube (ma non solo) di segnalarmeli o tramite i commenti al video o attraverso i soliti canali, ovvero l'indirizzo e-mail o i social, in particolare mastodon e instagram che sono quelli che utilizzo di più. Quest'anno, poi, c'è anche una nuova opzione, visto che su feddit, l'alternativa italiana a reddit, è attivo un gruppo dedicato alla matematica e quindi potrete passare anche di lì per segnalare i vostri contributi o commentando sul post che spunterà a breve nel gruppo, o inserendo l'hashtag #carnevaledellamatematica: basta, però, che vi ricordiate di inserire un paio di righe di presentazione dell'articolo che mi segnalate. Deadline: 12 marzo 2024.
Non mi resta, quindi, che lasciarvi al video annuncio!

3.15: Un video addendum

Non volevo lasciare solitaria senza alcun post di appoggio la seconda uscita della mia videonewsletter, DropSea, che come il numero uno è dedicata alla matematica, in particolare proprio al pi day e al Carnevale della Matematica #167, che ovviamente continua a stare lì, a disposizione di tutti, per la consultazione, per permettere a tutti i lettori di recuperare articoli e post matematici che, speriamo, possiate trovare interessanti!
Intanto, per chi vuole, qui sotto mi potete ascoltare spiegarvi qualcosa sul Carnevale e fornire qualche anticipazione sullo stesso, anche se forse per qualcuno è ormai storia passata...

Carnevale della Matematica #167: Pi day!

il merlo tra i cespugli all'alba
canta intrepidamente
con gioia
canta il merlo, canta melodioso, canta

Questi sono i quattro versi associati ai primi quattro carnevali della matematica del 2023 della poesia gaussiana del sommo Popinga. Ho messo in grassetto il verso associato all'edizione #167, ovvero quella che vi apprestate a leggere.
E', ovviamente, un'edizione speciale, visto che oggi è il pi day, il giorno del pi greco e, per estensione, il giorno della matematica. E questa particolare edizione del Carnevale rappresenta anche qualcosa di speciale per questo blog, visto che è dal lontano 2012 con l'edizione #47 che su DropSea il 14 marzo di ogni anno stiamo festeggiando il pi day con il Carnevale della Matematica. Quindi questa è la 12.ma edizione del Carnevale del pi day ospitata da DropSea, ma soprattutto l'11.ma edizione in cui compaiono le notizie pi greche, dei piccoli box con informazioni varie sul pi greco che trovate sparse tra i contributi di queste edizione. La prima volta che queste notizie pi greche sono apparse, infatti, fu il 14 marzo del 2013 in occasione dell'edizione #59. Inizia così un secondo decennio, o un terzo lustro, fate un po' voi, di notizie pi greche. Prima però di immergerci nella lettura dei contributi pervenuti per questa edizione #167, andiamo a vedere le proprietà del 167.
Il 167 è un numero dispari, oltre che primo, proprio come il 127 che fu anche il numero associato al pi day del 2019. E come numero primo è anche un numero primo di Eisenstein, un numero primo di Chen, un numero primo sicuro e un numero primo sexy. In particolare un numero primo si dice sexy se esiste un altro numero primo distante da lui 6 unità. Si possono, quindi, definire coppie di numeri sexy, come per esempio 167 e 173. Il 167, però, appartiene anche a una terzina di numeri sexy, visto che pure il 179 è un numero primo. Ci fermiamo, però, qui, visto che il 185 non è un numero primo. Il nome sexy, però, deriva dal latino sex, ovvero 6. Che poi ci sia in giro un qualche matematico che trovi sexy questa proprietà, questi sono problemi che non attengono alla sfera della matematica.
Tornando al 167, questi oltre a essere sexy è anche un numero felice. Il motivo è semplice. Prendiamo un numero. Eleviamolo al quadrato. Prendiamo le cifre del risultato ed eleviamo al quadrato ciascuna di esse. Quindi facciamo la somma. Ripetiamo l'operazione con il risultato ottenuto. Proseguendo si può ricadere in due situazioni: il ciclo finisce con 1; il ciclo non finisce mai con 1. Nel primo caso il numero si dice felice. E questa è la felicità del 167:

\[167^2 = 27889\] \[2^2 + 7^2 + 8^2 + 8^2 + 9 = 262\] \[2^2 + 6^2 + 2^2 = 44\] \[4^2 + 4^2 = 32\] \[3^2 + 2^2 = 13\] \[1^3 + 3^2 = 10\] \[1^2 + 0^2 = 1\]

Non mi dilungo nel raccontare in maniera completa tutte le proprietà del 167 e mi limito giusto a un'ultima manciata. Iniziamo ricordando che è un numero congruente, ovvero coincide con l'area di un triangolo rettangolo che ha per lati tre numeri razionali. E' un numero omirp, ovvero 761 è anch'esso un numero primo (e anche omirp, ovviamente). Fa parte della terna pitagorica (167, 13944, 13945) e, infine, è la differenza di due quadrati:

\[167 = 84^2 - 83^2\]

Per altre curiosità sul 167 vi rimando a Prime Curios!, perché per noi è giunto il momento di immergerci tra i contributi del Carnevale della Matematica #167. Partiamo con Flavio Ubaldini, che ritroveremo nel finale con la sua cellula melodica, che ci propone la recensione che ha ricevuto il suo romanzo Il mistero della scienza infinita.

Pi day 2023: un'anteprima

Ormai tra poche ore (potete ben immaginare a quale orario!) sarà online l'edizione #167 del Carnevale della Matematica, la tradizionale edizione del pi day che ormai da poco più di dieci anni è ospitata proprio qui su DropSea. Nell'attesa dell'uscita del Carnevale, ho pensato bene di riproporvi i due video matematici che ho pubblicato l'anno scorso più o meno in concomitanza con quel pi day. Nell'attesa di leggerci sul Carnevale, buona visione!

Annuncio matematico

E come ongi anni, è venuto il momento di annunciare l'edizione del piday del Carnevale della Matematica. Tra l'altro stavo guardando la lista dei Carnevali e ho notato che la prima edizione del Carnevale del piday che ho ospitato risale al 14 marzo del 2012, ormai 11 anni fa. Era il Carnevale #47. Abbiamo quindi festeggiato ben 10 piday su questo blog, e ci apprestiamo afesteggiare l'11.mo. E tutti di seguito. Quindi era un'ottima occasione per fare l'annuncio anche tramite video. Lo troverete dopo le usuali informazioni di contatto. Nel video, che fa parte della mia neonata serie delle videonewsletter, oltre a ringraziare Alberto Saracco, la cui presenza su YouTube mi ha in effetti spinto a rendere sempre più regolare il canale, segnalo anche un'altra interessante iniziativa, People for math, una playlist di video che mira a raccontare la vita di matematiche e matematici che hanno fatto grande questa disciplina. E che per quest'anno ho deciso di incorporare all'interno del Carnevale stesso!

Carnevale della Matematica #158

E' stato un mese decisamente complicato, e siamo stati un po' distratti. Immagino che sia successo anche ad altri. - Piotr Silverbaums

Ed è di nuovo pi day, ma la situazione rispetto allo scorso anno si è, usando un eufemismo, un po' complicata. Per cui mi sono interrogato spesso sulla necessità non solo di ospitare un Carnevale della Matematica (peraltro dopo essermi preso l'impegno), ma persino un Carnevale associato con un giorno così importante e fausto come il pi day, che ricordo è anche la Giornata Internazionale della Matematica. Però, come scrivero all'inizio del mese, penso che sia importante celebrare quelle piccole cose che rendono la vita interessante, perché servono per tenerci lontani, anche solo per un po', dai cattivi pensieri.
Ed è dunque con questo spirito che do il via al Carnevale della Matematica #158 iniziando proprio dalle proprietà del numero ordinale che identifica l'edizione del 14 marzo 2022.
I suoi divisori, egli stesso incluso, sono 4: 1, 2, 79, 158. Escludendo invece il 158 dalla lista e sommando i divisori otteniamo 82 che è minore di 158 e questo lo rende un numero difettivo.
E' un numero semiprimo, poiché è il prodotto di due numeri primi, nello specifico 2 e 79. Si può essere semiprimi anche se i due numeri primi sono identici, come ad esempio avviene con 4. E' anche un numero omirpimes. A differenza di quanto potrebbe suggerire il nome, questi numeri non sono palindromi, ma, più semplicemente, se invertiamo l'ordine delle cifre otteniamo un altro numero semiprimo. Nello specifico del 158 è l'851, che è il prodotto di 23 e 37, entrambi numeri primi. E' un numero nontotiente, per la cui definizione vi rimando al Carnevale #117 e un numero congruente. Inoltre fa parte della terna pitagorica:

(158, 6240, 6242)

Infine, motivo per cui sono stato parco con le altre definizioni, è un numero di Perrin.
I numeri di Perrin sono definiti a partire dai seguenti valori \[P(0) = 3\] \[P(1) = 0\] \[P(2) = 2\] Da qui in poi la definizione è invece data da \[P(n) = P(n-2) + P(n-3)\] Ovviamente i numeri di Perrin sono i risultati di questa operazione e i primi numeri della sequenza sono

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ...

Potete verificare l'appartenenza del 158 alla sequenza su The on-line encyclopedia of integer sequences.
La sequenza, a quanto pare, era stata menzionata nel 1876 da Édouard Lucas, ma prende il nome dal matematico François Olivier Raoul Perrin che aveva fornito il primo riferimento esplicito nel 1899.
Cito, così di passaggio visto che mi sembra interessante, che la sequenza di Perrin può essere determinata anche usando le matrici: \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P\left(n\right) \\ P\left(n+1\right) \\ P\left(n+2\right) \end{pmatrix}\] Passiamo ora ai carnevalisti e a quello che ci hanno preparato per questa edizione! Iniziamo con Annalisa Santi e Il pi greco celato nel quadro di Tobia Ravà:

Carnevale della Matematica #148

Per il secondo anno consecutivo l'edizione del pi day del Carnevale della Matematica è rappresentata da un numero pari, il 148. Per cui un benvenuto a tutti, sempre al solito orario pi greco a tutti i nottambuli che hanno atteso la lettura puntuali alle 3:14, ma anche a quei lettori che hanno deciso di non lasciarsi travolgere dalla passione per il numero di Archimede e hanno atteso la mattina per leggere cosa i matematti hanno preparato per voi per festeggiare degnamente il pi day 2021.
Prima di immergerci tra i contributi, andiamo, come da tradizione, a riassumere alcune delle proprietà del numero di questa edizione. Come detto il 148 è un numero pari con i seguenti divisori: 1, 2, 4, 37, 74, 148. Poiché la loro somma, 148 escluso, è 118 < 148, il numero è detto difettivo.
Ha anche una caratteristica geometricamente interessante: è un numero ettagonale e 26-gonale. In generale un numero poligonale è un numero che può essere rappresentato utilizzando un poligono regolare. La regola è semplice: si prendono tanti pallini quanti sono quelli che servono per rappresentare il numero in questione e li si dispongono, riempiendo anche l'area interna, per formare un poligono regolare. Nel caso del 148 si riescono a realizzare due poligoni regolari, uno di 7 e l'altro di 26 lati.
In particolare nel caso dell'ettagono, questi ha anche un pallino al centro, rendendo il 148 un numero ettagonale centrato. Dal punto di vista matematico un numero ettagonale centrato è ricavato dalla formula \[\frac{7n^2 - 7n + 2}{2}\] Fa anche parte di ben 5 terne pitagoriche, (48, 140, 148), (111, 148, 185), (148, 1365, 1373), (148, 2736, 2740), (148, 5475, 5477), oltre a essere un numero congruente. Questo genere di numeri sono tutti naturali e sono equivalenti all'area di un triangolo rettangolo con lati razionali (ovvero costituiti da frazioni di numeri interi).
E' anche un numero di Ulam, un genere di numeri che abbiamo già incontrato in occasione del Carnevale #131, un numero odioso (ma la cosa verrà approfondita in un contributo presente nel Carnevale) ed è persino palindromo, o almeno lo è la sua rappresentazione in base 6: 404.

Vignetta di Antonino La Barbera in corso di pubblicazione su EduINAF

Carnevale della Matematica #138

E così, un anno dopo, ci troviamo di nuovo qui su DropSea per festeggiare il piday, il "giorno del pi greco". Qualcuno potrebbe obiettare che c'è ben poco da festeggiare, in questo marzo 2020, con un inizio dell'anno bersagliato dall'emergenza sanitaria dovuta al nuovo coronavirus scoperto sul finire dell'anno precedente in Cina. Mi permetto, però, di controbattere che l'idea, in fondo, è anche quella di permetterci di staccare per un po' dai problemi quotidiani e immergerci nel magico mondo della matematica. Ed è anche per questo che, quest'anno, il Carnevale del pi day ha deciso di aderire, come evento off, allo Science Web Festival (per maggiori informazioni vedete la pagina facebook e il profilo instagram) questo perchè #ladivulgazionenonsiferma.
Detto ciò, non mi resta che introdurre alle proprietà del 138, il numero di questa edizione:

A differenza degli anni passati, quest'anno ci imbattiamo in un numero pari con i seguenti divisori: 1, 2, 3, 6, 23, 46, 69. Poiché la somma dei suoi divisori è pari a 150 > 138, questi fa parte della vasta famiglia dei numeri abbondanti. A tal proposito c'è da notare che 23 + 46 + 69 = 138, il che rende il nostro numero semiperfetto.
La sua scomposizione in fattori primi è 2 $\cdot$ 3 $\cdot$ 23: essendo i tre fattori primi distinti (ovvero non avendo nessuno una potenza superiore a 1), allora 138 è anche un numero sfenico. Come il 131, è un numero di Ulam, ovvero fa parte di una successione di Ulam.
Dati i due numeri iniziali della successione, ad esempio 1 e 2, i numeri successivi sono la somma di due distinti numeri che lo precedono. Ad esempio nella successione U(1,2), quella che parte dai numeri 1 e 2, abbiamo 3 = 2+1, 4 = 3+1, 6 = 4+2 e così via.
E' anche un numero congruente, ovvero rappresenta l'area di un triangolo rettangolo con lati razionali, e, visto che siamo in argomento triangolare, fa parte delle seguenti terne pitagoriche:

(138, 184, 230), (138, 520, 538), (138, 1584, 1590), (138, 4760, 4762)

Fuori dalla matematica, si segnala la sua presenza nei cieli stellati sotto forma di una cometa, la 138P/Shoemaker-Levy, e di un asteroide, il 138 Tolosa. Inoltre NGC-138 è il codice con cui è nota una galassia a spirale (tipo la nostra Via Lattea) presente nella costellazione dei Pesci, costellazione tipicamente invernale.

Carnevale della Matematica #127

E' passato un anno, ma appena dieci edizioni, dall'ultimo pi day festeggiato insieme e anche per questo 2019 l'edizione di marzo del Carnevale della Matematica viene ospitata, per l'ottavo anno di fila, qui su DropSea. Il Carnevale, nel frattempo, è giunto alla ragguardevole cifra di 127 edizioni, per cui prima di addentrarci tra i contributi di questo mese e le ormai consuete notizie pi greche permettetemi di introdurvi alle curiosità legate al numero principe dell'edizione.
31.mo numero primo dopo il 113 e prima del 131, il 127 è un numero primo di Mersenne, come il 107, un numero primo isolato, poiché né 125 = 127 - 2 né 129 = 127 + 2 sono numeri primi, e un numero primo cubano. No, questo genere di numeri non è stato scoperto né da un matematico cubano, né è stato visto scorrazzare sulle spiaggie di Cuba, ma nella sua espressione gioca un ruolo fondamentale il cubo.
In effetti si distinguono due tipi differenti di primi cubani, quelli della prima forma, ricavabili dalla seguente espressione: \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+1\] ovvero della forma \[3y^2+3y+1\] e quelli della seconda forma \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+2\] ovvero della forma \[3y^2+6y+4\] con $y$ numero intero positivo. In particolare il 127 è un primo cubano della prima forma: per generarlo basta mettere 6 al posto di $y$. In realtà non tutti i numeri di questa forma sono anche primi. Ad esempio per $y$ pari a 5 si ottiene 91, che è solo dispari, e per $y$ pari a 7 ecco 169 come risultato, neanch'esso primo. Sempre restando nel "dominio" dei numeri primi, il 127 è anche la somma dei primi 9 numeri primi dispari.
Il 127 è anche un numero esagonale centrato, ovvero uno di quei numeri che può essere rappresentato con la forma di un esagono e assume l'espressione matematica \[1 + 3n (n-1)\] che sviluppandola diventa \[3n^2 -3n +1\] che non è molto differente dalla prima forma dei numeri cubani. E infatti i numeri esagonali che si ottengono con $n$ intero positivo sono gli stessi numeri cubani della prima forma, numero 1 a parte che è "solo" esagonale (è cubano, ma non primo cubano, per $y = 0$).
Tornando un attimo ai numeri primi di Mersenne, ovvero numeri della forma $2^n-1$, si scopre agilmente che 127 è il più piccolo primo di Mersenne triplo. Il motivo è che $127 = 2^7-1$ e $7=2^3-1$, con $3=2^2-1$ il più piccolo numero di Mersenne e $7$ il più piccolo numero di mersenne doppio.
Il 127 è anche un numero di Motzkin, il settimo per la precisione. Questi numeri curiosi vennero scoperti da Theodore Motzkin in ambito geometrico.
Li spiego con un esempio: supponiamo di mettere su una circonferenza 4 punti. A questo punto ci possiamo chiedere in quanti modi possiamo collegare i punti con delle corde che non si intersecano. La risposta è 9, che è anche il quinto numero di Motzkin. Ovviamente ogni numero di questo genere risponde proprio alla domana su quanti modi esistono per collegare $n$ punti su una circonferenza con corde non intersecantesi.
E' anche un numero di Friedman in ben due basi differenti. In base 10: \[120 = -1+2^7\] e in base 2: \[1111111 = (1 + 1)^{111} - 1 \cdot 1\] dove ovviamente 1111111 è la rappresentazione binaria di 127.
Come il 117 è un numero congruente e nontotiente e come il 37 è anche fortunato. Inoltre fa parte della terna pitagorica (127, 8064, 8065).
Altra proprietà curiosa è quella di essere il numero dispari più piccolo che non può essere scritto nella forma $p + 2^n$, con $p$ numero primo ed $n$ intero.
Fuori dall'ambito matematico il 127 è associato a due oggetti celesti, la cometa 127P/Holt-Olmstead e l'asteroide 127 Johanna.
Come di consueto i pezzi di storia del pi greco sono inseriti tra un contributo e l'altro come notizie pi greche, per cui iniziamo subito con i contributi dei carnevalisti per l'edizione 2019 del pi day!

La musica del pi greco

Con un po' di ritardo, per prepararci tutti quanti all'avvento del pi day (mancano poco meno di 6 giorni), eccovi un bel video sulla sonificazione delle cifre decimali del $\pi$. E non è per nulla una brutta sonificazione: ascoltare per credere:

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Un grazie a Laura Paganini di Cosmo Brain per avermi segnalato il video, e visto che ci sono vi inizio ad anticipare che la prossima puntata di questa piccola trasmissione web-radiofonica sarà dedicata proprio al $\pi$. E indovinate chi sarà ospite?

Pi Day 2019: Leonhard Euler, l'uomo del pi greco

#piday #piday2019 #matematica #carnevaledellamatematica cc @MathisintheAir @maddmaths @andreaplazzi @ComicsScience @Pillsofscience @stefacrono @cosmobrainonair @92sciencemusic @Popinga1

E' stato proprio Leonhard Euler il matematico che ha assegnato al fino all'epoca conosciuto come numero di Archimede il nome con cui lo conosciamo oggi: $\pi$. Questa e altre curiosità le trovate nella serie di articoli Breve storia del pi greco, di cui qui sotto vi metto i link alle varie puntate:

Parte 1 | Parte 2 | Parte 3 | Parte 4 | Parte 5

E' un work in progress che spero di proseguire anche quest'anno (rispetto all'anno scorso sono in deciso ritardo, per cui non garantisco una gran ricchezza...), dopo la consueta pubblicazione delle curiosità come notizie pi greche all'interno del Carnevale della Matematica, edizione pi day. Anche in questo caso vi segnalo tutte le edizioni del Carnevale pubblicate su DropSea in occasione del giorno del $\pi$:

Carnevale #47 | #59 | #71 | #83 | #95 | #107 | #117

L'avvicinamento al pi day non si esaurisce con questo articoletto, ma proseguirà anche settimana prossima: spero siate in trepidante attesa!

Pi Day 2019: Lo sguardo della matematica

Diffondete la lieta novella: il #piday 2019 sta arrivando! @MathisintheAir @maddmaths @rudimathematici @Pillsofscience @stefacrono @mediainaf @92sciencemusic @Scientificast @cosmobrainonair #carnevaledellamatematica

E come ogni anno, anche in questo 2019 si avvicina il 14 marzo, giorno del pi greco, meglio noto come pi day. E come ogni anno il Carnevale della Matematica dedicato al pi greco sarà ospitato proprio qui, su DropSea. In effetti la tradizione è iniziata nell'ormai lontano 2012, collezionando alla fine sei edizioni:

Carnevale #47 | #59 | #71 | #83 | #95 | #107 | #117

La prossima edizione sarà la #127 (che la #126 è ospitata sul blog dei Rudi Mathematici, che come da tradizione ospitano il Carnevale giusto il mese prima del pi day) e, come da tradizione, non avrà un tema portante: si può offendere in questo modo il buon $\pi$? Non credo proprio!
Per introdurre l'edizione 2019, però, ho pensato bene di creare una copertina ad hoc: quelli che vedete sono gli occhi di un noto cantante (o almeno il tentativo di disegnare gli occhi di un noto cantante) cui ho messo due $\pi$ al posto delle pupille. Chi sarà mai il cantante?
Nell'attesa che la sua identità venga chiarita, vi lascio con la serie della Breve storia del pi greco, giunta l'anno scorso alla quinta puntata e che, si spera, possa avere una sesta quest'anno:

Parte 1 | Parte 2 | Parte 3 | Parte 4 | Parte 5

Ovviamente spero parteciperete numerosi!

Carnevale della matematica #117

Benvenuti al 117.mo Carnevale della Matematica e soprattutto un buon pi day a tutti quanti! Come ogni anno, da un po' di anni a questa parte, il Carnevale del giorno del pi greco viene ospitato su DropSea e, come da tradizione, si inizia con le proprietà del numero dispari che identifica questa edizione.
Il 117 è un numero composto i cui divisori sono 1, 3, 9, 13, 39, 117. Inoltre, essendo divisibile per la somma delle sue cifre, è anche un numero di Harshad. La somma dei suoi divisori, 117 escluso, è 65 < 117, il che lo rende un numero difettivo.
Inoltre è un numero pentagonale e fa parte di una ricca serie di terne pitagoriche:

(44, 117, 125), (45, 108, 117), (117, 156, 195), (117, 240, 267), (117, 520, 533),
(117, 756, 765), (117, 2280, 2283), (117, 6844, 6845)

Una curiosa proprietà del 117 è che i suoi corrispettivi in base 6 e in base 12 sono palindromi, rispettivamente 313 e 99, e in quest'ultimo caso anche a cifra ripetuta. Inoltre, come tutti i numeri dispari, è anche nontotiente, ovvero tale che l'equazione \[\varphi (x) = n\] dove $\varphi (x)$ è la funzione di Eulero (quella dell'ipotesi di Riemann), non ha soluzione.
Il 117 fa parte, poi, della lista dei numeri congruenti, dove per numero congruente sin intende un numero naturale che è l'area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali.
Esiste, sebbene non direttamente collegato con il nostro 117, un problema dei numeri congruenti:

Dato un numero $p$, stabilire se esso è congruente

Tale problema non ha ancora trovato soluzione, sebbene esista il teorema di Tunnell che fornisce un algoritmo per stabilire se un dato numero è congruente. Il problema è che si basa sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che non è stata ancora dimostrata. Esiste, però, a tal proposito un risultato interessante che porta la firma di Pierre de Fermat, ovvero il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, che stabilisce che nessun quadrato perfetto può essere congruente.
Fuori dal campo matematico, il 117 è un numero astronomico, poiché esistono ben tre oggetti celesti che hanno tale numero dispari nel nome: la cometa 117P/Helin-Roman-Alu, l'asteroide 117 Lomia e la galassia lenticolare NGC 117 appartenente alla costellazione della balena. Infine è il numero atomico del Tennesso.
E visto che il 14 marzo del 117 era un sabato e non si registrò alcun evento particolare, mi sembra giusto dare il via alle danze con la cellula melodica dedicata a questa edizione, identificata dal verso gaussiano il merlo, il merlo allegro, e gentilmente preparataci da Flavio Ubaldini:

Carnevale della matematica #107

Mentre l'edizione dell'anno scorso non era un numero primo (il 95 è divisibile per 5, per esempio!), il 107 è il 28.mo numero primo della lista. Insieme con il prossimo, il 109, formano una coppia di primi gemelli e di conseguenza il 107 è anche un primo di Chen. Se poi aggiungiamo 2 alle altre due cifre del 107 otteniamo 127 e 307 entrambi primi, così come il 701, ovvero il 107 ribaltato! Inoltre mettendo 107 nella formula $2^p - 1$ al posto della $p$ si ottiene un numero primo di Mersenne. 107 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero della forma $2p +1$ con $p$ primo.
Altre curiosità sul 107:
Nel 1983 Allan Brady dimostrò che il massimo numero di passi che una macchina di Turing a quattro stati è in grado di fare su un nastro bianco prima di fermarsi è 107.
Non esiste alcun intero $N$ tale che $N!$ ha esattamente 107 zeri. Lo stesso lo si può dire anche per 3, 31 e 43 (tutti primi).
Modi di ottenere 107:

1. $107 = 2 + 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 7 \cdot 11$
2. $107 = (1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3) - 1$

Definito $A_n = 1!+3!+5!+...+(2n-1)!$, allora 107 è un divisore di $A_{53}$ e di tutti gli $A_n$ con $n \geq 53$.
I numeri di Lucas, così chiamati in onore del matematico francese Édouard Lucas, sono una sequenza molto simile a quella dei numeri di Fibonacci definita dalla seguente relazione: \[v_1 = 1, \; v_2 =3 \; v_{n+1} = v_n + v_{n+1}\] Molti numeri di Lucas non sono primi, ma "LuCaS" lo è in un senso un po' più... chimico! Se infatti sommiamo tra loro i numeri atomici di lutezio (LU), calcio (Ca) e zolfo (S) otteniamo... $71 + 20 + 16 = 107$!
Infine 107 è il più piccolo numero primo $p$ per cui la $p$-esima cifra di $\pi$ è uno zero: ed entriamo, così, nel tema dell'edizione, il pi day!