Matematica, lezione 3: Funzioni ed equazioni

Dopo il volume sulla logica, eccoci tornare a qualcosa di un po' più matematico (almeno nel sentire comune) come le funzioni e le equazioni. A condurci attraverso questo mondo di per se molto vasto troviamo Roberto Zanasi, insegnante e matematto. E per chi lo ha già letto in altri testi, come per esempio Verso l'infinito ma con calma, o per chi lo legge usualmente sul suo blog, è indubbiamnente un percorso confortante attraverso uno stile noto che riesce a coniugare la didattica con la divulgazione. Considerando che questo è uno degli intenti della serie di volumetti, è fuori di dubbio che proprio con Funzioni ed equazioni quell'intento è stato raggiunto nel modo migliore possibile.
Considerando, poi, la vastità dell'argomento, la selezione fatta da Roberto (Zanasi) risulta quella minima e sufficiente per avere un'idea su cosa siano le equazioni e le funzioni, su quale sia il loro legame, sull'interpretazione geometrica delle stesse o dei sistemi di equazioni, senza dimenticare uno sguardo veloce allo studio di funzioni, senza dire che è uno studio di funzioni.

Storia di uno zero

Che poi non è uno zero qualsiasi, ma proprio lui, lo zero per eccellenza, il numero 0!
La sua storia è particolarmente interessante, visto che è la storia di un viaggio d'andata e ritorno. Lo zero, o almeno il suo simbolo, nasce infatti nell'Antica Grecia. Infatti Claudio Tolomeo e Giamblico di Calcide usavano la lettera greca omicron, \(\omicron\), proprio per indicare lo zero. Esso aveva nome di ouden (οὺδἐν), nulla, e venne probabilmente "esportato" in India grazie alle conquiste di Alessandro Magno. E furono proprio i matematici indiani a iniziare a usarlo come un numero vero e proprio, di fatto creando il sistema posizionale che utilizziamo ancora oggi. Per esempio Jinabhadra Gani nel VI secolo definiva il 224400000000 come ventidue e quaranta e quattro e otto zeri, dando cosi' valore al numero grazie agli 0 che seguivano al 2244.
Successivamente furono gli arabi ad apprendere il sistema posizionale degli indiani, trasmettendolo successivamente in Europa, in particolare grazie a Leonardo Fibonacci grazie al suo Liber Abbaci del 1202, e successivamente rieditato nel 1228.

Breve storia del pi greco / La sequenza di Fibonacci

Come da tradizione, arriva la nuova puntata della breve storia del pi greco. Come già la settima, anche questa ottava parte guadagna un titolo visto il tema delle notizie pi greche del Carnevale della Matematica #148 è l'uso della sequenza di Fibonacci per il calcolo del valore del $\pi$.

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da New Adventures of Queen Victoria di Pab Sungenis

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A quanto pare anche Leonardo Fibonacci si cimentò, nel 1220, con il calcolo del pi greco, ottenendo come risultato 3.141818. Non sono riuscito a scovare il metodo usato dal matematico italiano, ma esistono un paio formule basate sui numeri della successione di Fibonacci che permettono di calcolare le cifre di $\pi$.
Partiamo dalla seguente formula di Leonhard Euler (vi ricordo che il nostro propose nella sua carriera diverse formule che permettevano di calcolare pi greco) scritta intorno al 1738

Carnevale della Matematica #148

Per il secondo anno consecutivo l'edizione del pi day del Carnevale della Matematica è rappresentata da un numero pari, il 148. Per cui un benvenuto a tutti, sempre al solito orario pi greco a tutti i nottambuli che hanno atteso la lettura puntuali alle 3:14, ma anche a quei lettori che hanno deciso di non lasciarsi travolgere dalla passione per il numero di Archimede e hanno atteso la mattina per leggere cosa i matematti hanno preparato per voi per festeggiare degnamente il pi day 2021.
Prima di immergerci tra i contributi, andiamo, come da tradizione, a riassumere alcune delle proprietà del numero di questa edizione. Come detto il 148 è un numero pari con i seguenti divisori: 1, 2, 4, 37, 74, 148. Poiché la loro somma, 148 escluso, è 118 < 148, il numero è detto difettivo.
Ha anche una caratteristica geometricamente interessante: è un numero ettagonale e 26-gonale. In generale un numero poligonale è un numero che può essere rappresentato utilizzando un poligono regolare. La regola è semplice: si prendono tanti pallini quanti sono quelli che servono per rappresentare il numero in questione e li si dispongono, riempiendo anche l'area interna, per formare un poligono regolare. Nel caso del 148 si riescono a realizzare due poligoni regolari, uno di 7 e l'altro di 26 lati.
In particolare nel caso dell'ettagono, questi ha anche un pallino al centro, rendendo il 148 un numero ettagonale centrato. Dal punto di vista matematico un numero ettagonale centrato è ricavato dalla formula \[\frac{7n^2 - 7n + 2}{2}\] Fa anche parte di ben 5 terne pitagoriche, (48, 140, 148), (111, 148, 185), (148, 1365, 1373), (148, 2736, 2740), (148, 5475, 5477), oltre a essere un numero congruente. Questo genere di numeri sono tutti naturali e sono equivalenti all'area di un triangolo rettangolo con lati razionali (ovvero costituiti da frazioni di numeri interi).
E' anche un numero di Ulam, un genere di numeri che abbiamo già incontrato in occasione del Carnevale #131, un numero odioso (ma la cosa verrà approfondita in un contributo presente nel Carnevale) ed è persino palindromo, o almeno lo è la sua rappresentazione in base 6: 404.

Vignetta di Antonino La Barbera in corso di pubblicazione su EduINAF

La sezione aurea

Realizzato e pubblicato ormai quasi 11 anni fa da Cristóbal Vila, Nature by Numbers mostra come la matematica sia presente in tutta la natura. E la base di tutto sembra essere un piccolo, semplice numero, $\varphi$, il numero aureo. Il suo valore è di poco superiore a 3/2 e può essere scritto in maniera molto semplice con la seguente formula \[\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\] E' anche legato alla serie di Fibonacci, come abbiamo visto in varie occasioni, e può essere ritrovato un po' d'appertutto: è diventato, in effetti, sinonimo di perfezione, grazie alla sua presenza nel mondo dell'arte. Opere di pittori, ma anche in architettura, sia dell'antichità sia degli evoluti XX e XXI secolo si basano sul numero aureo. La sua definizione si trova negli Elementi di Euclide:

Si dice che una retta è divisa in media ed estrema ragione quando la lunghezza della linea totale sta a quella della parte maggiore come quella della parte maggiore sta a quella della minore.

La definizione geometrica qui sopra può essere facilmente visualizzata con la seguente immagine:

Lateralus

Il nucleo originario dei Tool, band progressive metal statunitense formatasi nel 1990, era costituito da Danny Carey, Adam Jones, Maynard James Keenan e Paul D'Amour. Quest'ultimo, però, lasciò la band nel 1995 e venne sostituito da Justin Chancellor. I quattro, tutt'ora in attività, hanno sempre avuto una caratteristica: sperimentare, sia dal punto di vista musicale, sia da quello visuale. In particolare le loro canzoni proponevano spesso delle scansioni temporali inusuali per l'industria musicale e in continuo cambiamento anche nel corso dello stesso pezzo. Esempio di questo approccio è Lateralus, singolo tratto dall'omonimo album datato 2001.

Ritratti: Leonardo Fibonacci

Fibonacci - via commons

Leonardo figlio di Bonacci nacque in un non meglio precisato giorno del 1170, cioé 850 anni fa, da qualche parte nella Repubblica di Pisa. Essendo figlio di Bonacci è diventato oggi noto come Leonardo Fibonacci. Tale appellativo sembrerebbe risalire al 1506, anche se viene comunemente fatto risalire a Guillaume Libri che lo giustificò proprio come forma contratta di filius Bonacci.
Al di là dell'origine del nome, Fibonacci è considerato come il più talentuoso e importante matematico del Medio Evo. E questa importanza è ribadita dal fatto che è proprio Fibonacci ad aver introdotto in Europa le cifre arabe grazie al suo meritorio Liber Abaci. Il titolo è quasi un contrappasso, visto che cerca di introdurre un nuovo sistema di contare che voleva sostituire, peraltro con successo come intuito dallo stesso Fibonacci, l'uso dell'abaco.
Il suo contatto con le cifre arabe avvenne grazie al suo lavoro nell'attività paterna: Guglielmo Bonacci era un mercante con interessi nel Mediterraneo, per cui portava il figlio con se in giro per l'Europa e non solo. Fu proprio nel nord Africa, in particolare a Bugia in Algeria, che il giovane Leonardo entrò in contatto con le cifre arabe. Grazie alla sua attività di mercante ebbe modo di approfondire la conoscenza del sistema di posizionamento, comprendendone le enormi potenzialità rispetto ai sistemi in uso, come quello romano. Nel sistema di posizionamento, infatti, indipendentemente dalla base numerica, non ha importanza solo il valore rivestito dal singolo simbolo numerico, ma anche la sua posizione. Ad esempio $1$, da solo, vale "uno", mentre accompagnato da uno $0$ dietro, vale "dieci", $10$. In questo senso il numero $0$, anch'esso introdotto da Fibonacci, simbolo del "niente", diventa di importanza fondamentale nel sistema posizionale, perché permette di aggiungere o togliere valore a una serie di cifre.
Ad ogni buon conto, sempre sul Liber Abaci, si trova il risultato per cui è famoso: il problema della proliferazione dei conigli.

I segni satanici di Gerberto

Nella storia dei numeri assume un ruolo curioso Gerberto di Aurillac, meglio noto come Silvestro II, 139° papa della chiesa cattolica.
Fu un personaggio eclettico: appassionato di scienza e matematica, si tramanda che sia stato l'introduttore delle cifre arabe in Europa:

Gerberto fu una figura di massima importanza come religioso, politico e scienziato, che non poté essere ignorata dai suoi successori al soglio pontificio. Considerato il massimo esponente intellettuale del X secolo e uno dei più importanti del Medioevo, poliedrico e profondo conoscitore delle arti del trivio e del quadrivio, Gerberto introdusse in Occidente, grazie al contatto con la più avanzata cultura islamica, l'uso dell'orologio, di una sirena funzionante a vapore acquoso, e fu inventore di complicati strumenti musicali e astronomici. Tutte invenzioni che utilizzò a Reims per la didattica nella scuola cattedrale. Per esempio, Gerberto aveva costruito un complesso sistema di sfere celesti volte a far calcolare le distanze che intercorrevano fra i pianeti e, sempre in ambito astronomico, chiese in una lettera del 984 a Lupito di Barcellona la traduzione di un trattato arabo di astronomia, le Sententiae Astrolabii. Sempre a Reims fece costruire un organo idraulico che eccelleva su tutti gli strumenti precedentemente noti, nel quale l'aria doveva essere pompata manualmente, e che nel XVI secolo era visibile ancora a Ravenna. Nel campo della matematica, a lungo si è attribuita a Gerberto l'introduzione dei numeri arabi in Europa, merito di difficile attribuzione: sicuramente il giovane aquitano li conobbe alla scuola di Hatto a Vich, ma nulla ci autorizza a pensare che le abbia poi fatte conoscere nel vecchio continente. Di sicuro, Gerberto ebbe il grande merito di contribuire agli studi sull'astrolabio e di reintrodurre l'abaco in Europa, di cui, secondo una cronaca antica, avrebbe appreso l'uso dagli Arabi.

2048 Fibonacci

Ricordate 2048, il divertente gioco matematico di successo? Le variazioni su quel gameplay sono numerosissime e spesso si staccano anche dall'elemento numerico del gioco, sostituendo le cifre con oggetti o animali o quant'altro passi per la testa dei programmatori. Una variazione sul gioco originale particolarmente interessante e che, in questo modo, aumenta anche un po' il livello di difficoltà è quella di 2048 Fibonacci. In questo caso i numeri si fondono uno con l'altro per dare origine al successivo solo quando sono due numeri di Fibonacci consecutivi.

Vi ricordo che la serie di Fibonacci è costituita dai numeri:

\[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \cdots\]

dove ogni numero della successione è la somma dei due precedenti (a parte 0 e 1, ovvero i primi due numeri nella serie). Essa è attribuita a Leonardo Fibonacci che la utilizzò per risolvere il classico problema dei conigli:

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia.
Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
- via Gianfranco Bo

Buon divertimento!

Le grandi domande della vita: Alan Turing

Oggi, 23 giugno, ricorrono i 105 anni dalla nascita di uno dei più noti e importanti matematici del XX secolo. Ed è stato allora più che naturale dedicargli la puntata odierna de Le grandi domande della vita!

Girasoli

Della serie di Fibonacci ho scritto anche abbastanza di recente, ma oggi è il caso di ritornarci, visto che uno degli ultimi lavori di Alan Turing era dedicato alla serie numerica e alla sua presenza in natura, in particolare nella struttura delle piante⁽¹⁾: si potrebbero considerare gli sforzi di Turing come uno dei più importanti tentativi per rispondere al perché la sequenza si ripete in natura.
Il problema era noto come la fillotassi di Fibonacci e può essere definito come segue:

Le forme a spirale sulle teste dei girasoli sembrerebbero seguire la sequenza di Fibonacci, suggerendo la proposta di Turing che studiando i girasoli potremmo capire meglio come crescono le piante

Turing scrisse il suo interesse in ua lettra allo zoologo JZ Young:

Riguardo il punto (iii), Turing scrisse in un’altra lettera:

a nostra nuova macchina sta per arrivare lunedì. Spero di fare qualcosa riguardo alla “chimica embiologica”. In particolare penso di poter dare conto della comparsa dei numeri di Fibonacci in connessione con rappresentare l’aspetto dei numeri di Fibonacci in connessione con le pigne.⁽¹⁾

Nel 2012 Jonathan Swinton, durante il Manchester Science Festival che si tiene ad ottobre, annunciò i risultati del grande esperimento sui girasoli di Turing:

Le grandi domande della vita: la perfezione di Olinto

Scusandomi con i lettori per il leggero ritardo nella pubblicazione della consueta rubrica, vado immediatamente a raccontarvi di un numero che attirerebbe immediatamente l’attenzione di Paperon de Paperoni!

Il numero perfetto

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese.
Quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

La soluzione di questo rompicapo, proposto da Leonardo Fibonacci, è la famosa serie numerica che porta il suo nome, $1$ $1$ $2$ $3$ $5$ $8$ $13$ $21$ e così via. In generale l’$n$-simo numero della serie di Fibonacci è dato da: \[F_n = F_{n-2} + F_{n-1}\]

da Paperino nel mondo dela matematica

Nel 1611 Johannes Kepler, italianizzano come Giovanni Keplero, scoprì che il rapporto tra due numeri consecutivi di Fibonacci approssimava sempre meglio il numero aureo $\varphi$, mentre per attendere un legame formale tra la serie e $\varphi$ bisogna attendere la formula scoperta da Jacques Binet: \[F(n) = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^2}{\sqrt{5}}\] La scoperta del numero aureo viene tradizionalmente associata al pitagorico Ippaso di Metaponto ed è legata allo studio del pentagono regolare. In particolare il numero aureo viene definito come il rapporto tra una diagonale del pentagono e un suo lato. Il fatto che il pentagono fosse una figura geometrica dagli attributi praticamente mistici per i pitagorici⁽¹⁾, ha reso lo stesso $\varphi$ un numero di una certa importanza, tanto che gli antichi greci pensavano che le proporzioni perfette, quelle del bello, fossero legate esattamente al valore di tale numero $\varphi$.
E spero sinceramente che ciò possa rispondere alla prima curiosità sul perché il numero aureo è perfetto.

Anteprima recensione: Annhilator e il buco nero di Fraser Irving

Questa volta estraggo, ma non come screenshot, una parte della recensione di "Annihilator", ultimo fumetto di Grant Morrison che sta arrivando in Italia a ridosso dell'edizione originale

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I conigli sono degli animali estremamente prolifici, quasi leggendari nel loro tasso di riproduzione, tanto che Leonardo Fibonacci proprio grazie a questi simpatici roditori scoprì la serie che oggi porta il suo nome: 1 1 2 3 5 8 13 21 e così via, e dove ogni numero è la somma dei due precedenti.
È però stupefacente notare quanto sia pervasiva all'interno della natura questa serie numerica: possiamo ritrovarla, per esempio, nella disposizione dei semi dei girasoli⁽¹⁾, nella struttura dei carapaci delle tartarughe, nelle spirali delle conchiglie. O, ancora, nelle galassie a spirale⁽²⁾.

M51 (Whirlpool Galaxy) - fonte: reddit, NASA

Viaggiando nell'universo

La materia galattica, infatti, ruota intorno al suo centro realizzando, spesso, delle strutture spiraleggianti, bracci di materiale solido e gassoso che prendono delle forme descrivibili proprio grazie alla serie di Fibonacci mentre cadono verso il centro, fagocitate lentamente da un oggetto apparentemente assurdo ma assolutamente reale che porta il nome di buco nero supermassiccio. All'interno di ogni galassia a spirale si trova proprio un buco nero^{(3, 4)}, che al tempo stesso rappresenta il motivo dell'esistenza⁽⁵⁾ e il destino ultimo di strutture come la nostra Via Lattea, al cui centro si trova Sagittarius A*⁽⁶⁾.
Quasi nulla sfugge dall'orizzonte degli eventi di questo mostro cosmico: immaginate la materia mentre, strato dopo strato, cade al suo interno, scomposta nei suoi costituenti fondamentali, e l'unica traccia di questo pasto è una semplice, piccola radiazione X⁽⁷⁾, un leggero calore che riesce a sfuggire, la prova di una digestione millenaria. È in questa zona di confine che viene portato Max Nomax, avventuriero e genio, alla ricerca di "una cura per la morte", un modo per ricongiungersi in vita con la sua amata, protagonista di una classica storia di fantascienza cosmica scritta dall'altrettanto geniale Ray Spass, sceneggiatore hollywoodiano in crisi creativa e tormentato dal suo manager, che lo pressa per ottenere la sceneggiatura per una nuova serie di film, Annihilator.

I problemi di Fibonacci: Tini, fori e rubinetti

Dopo la recensione di Giochi matematici del medioevo, raccolta di problemi di matematica del commerciante e matematico Leonardo Fibonacci a cura di Nando Geronimi, proseguo con la serie dei Problemi di Fibonacci, parallela a quella dei Rompicapi ma destinata a una conclusione (in relazione con la fine dei giochi presenti nel libro).
I problemi di oggi sono tre e sono ispirati a questo bell'articolo sull'acqua e non solo: avevo già citato questo blog sulle pagine di SciBack, ma non volevo perdere l'occasione di citare anche su queste pagine Tania e il suo lavoro. La scelta dei tre problemi è caduta sui tre legati alla fluidodinamica, anche se lo stesso Fibonacci avvisa che possono essere risolti senza alcuna necessità di usare tale branca della fisica.
Leggiamo il primo:

Il tino con quattro fori
Un tino pieno d'acqua ha quattro rubinetti d'uscita. Usando il primo rubinetto, il tino può essere svuotato in 1 giorno; usando il secondo lo si svuota in 2 giorni; con il terzo in 3 giorni e con il quarto in 4 giorni.
In quante ore può essere svuotato il tino, se si aprono contemporaneamente i quattro rubinetti?

Per risolvere il problema basta ragionare in questo modo:
In un giorno il primo rubinetto svuota 1 tino, il secondo 1/2 tino, il terzo 1/3 di tino, il quarto 1/4 di tino. Sommando tutte queste frazioni otteniamo 25/12 di tino, che è il numero di tini (poco più di 2) che quei particolari 4 rubinetti riuscirebbero a svuotare lavorando contemporaneamente. Questo vuol dire che quell'unico tino verrà svuotato in 12/25 di giorno, cioè 11,52 ore, ovvero 11 ore 31 minuti e 12 secondi.

Il prossimo problema è, in effetti, una aggiunta al problema precedente e in effetti suggerisce che è possibile riempire una botte forata sul fondo a patto che il flusso d'entrata sia superiore a quello d'uscita:

Il tino con rubinetti e fori
Al di sopra dello stesso tino dell'esercizio precedente ci sono quattro rubinetti che portano acqua; il primo può riempire il tino in 6 ore, il secondo in 9 ore, il terzo in 24 ore e il quarto in 27 ore.
Il tino è inizialmente vuoto. Si aprono contemporaneamente i quattro rubinetti di entrata, mentre dai quattro rubinetti sul fondo continua a uscire l'acqua.
Dopo quante ore il tino sarà pieno (approssimare al minuto più vicino)?

Per risolvere quest'ultimo, invece di ragionare sul giorno, si ragiona sull'ora: quanto tino viene riempito (e svuotato) in un'ora?
Per quel che riguarda il primo rubinetto avremo 1/6 di tino in un'ora, e così via.
Per quel che riguarda lo svuotamento avremo che il primo rubinetto svuoterà 1/24 di tino all'ora, il secondo 1/48 e così via.
Questa seconda quantità va sottratta alla prima, e alla fine si ottengono 6 ore 28 minuti e 20 secondi⁽¹⁾.
Ed arriviamo, finalmente, all'ultimo problema:

I problemi di Fibonacci: giochi del medioevo

Leonardo Fibonacci è stato uno dei più illustri matematici italiani. Il suo nome è legato soprattutto ai conigli di Fibonacci, da cui la famosa serie:

Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le coppie, nate nel corso dell'anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch'esse generarono una nuova coppia ogni mese.
Quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

La foto che vedete qui sopra è un'opera di Mario Merz, un artista moderno che utilizza spesso la serie di Fibonacci nelle sue opere, e può essere vista nella stazione Vanvitelli della metropolitana 1 di Napoli (vedi Nob, Rocco Papa). Altro esempio è la Mole di Torino.
Fibonacci, però, era un commerciante, e infatti nel libro Giochi matematici del medioevo, curato da Nando Geronimi, sono presenti anche alcuni problemi e giochi di matematica ricreativa direttamente ispirati all'economia del tempo, come ad esempio la serie sulla ricerca del denaro posseduto da un gruppo di amici a partire da alcune informazioni su un potenziale acquisto che questi potrebbero decidere di affrontare.
I giochi raccolti da Geronimi sono tutti tratti dal Liber Abaci, che in effetti riprende una serie di testi della matematica araba, su tutti quelli di al-Khwarizmi.
Tra gli scritti originali, invece, è presente il Flos Leonardi Bigolli Pisani super solutionibus quarandam questionum ad numerum et geometriam vel utrumque pertinentum del 1225.
In questo libro si trova un interessante problema di terzo grado, citato nella prefazione di Pietro Nastasi

che può essere tradotto in matematica moderna con la seguente equazione:

Come tutte le equazioni di grado dispari, esisterà almeno una soluzione reale:

cui si affiancano un numero pari di soluzioni complesse, in questo caso due:

Le soluzioni sono state ricavate usando Wolfram Alpha.

Questo libro, poi, l'ho usato in una recente supplenza, che mi ha impegnato per quasi tre settimane tra novembre e i primi di dicembre. E grazie a questo libro, che consiglio caldamente sia al lettore interessato, sia all'insegnante (può essere un utile mezzo per proporre problemi alternativi a quelli sui libri di testo classici), anche DropSea avrà una sua piccola serie, anche se a termine.