Ritratti: Alan Turing

Possiamo definire la seconda guerra mondiale una guerra totale un po' in tutti i sensi, non solo per l'uso dei più disparati mezzi belluci, o per la provenienza praticamente mondiale dei soldati e dei luoghi di battaglia, ma anche per l'importante coinvolgimento degli scienziati.
Se il gruppo di Oppenheimer negli Stati Uniti, al lavoro sul Progetto Manhattan, è il gruppo più noto, soprattutto a causa del suo coinvolgimento nella costruzione della bomba "atomica", ha avuto una grande importanza, se non addirittura superiore, il gruppo di crittografi britannici che riuscirono a scardinare il codice alla base della macchina tedesca Enigma, lo strumento utilizzato dai nazisti per scambiarsi le informazioni. Il merito maggiore in questa vittoria va sicuramente al capo del gruppo, colui che progettò la macchina in grado di battere Enigma: Alan Turing.

Alan possedeva una mente brillante, un carattere timido e un corpo ben allenato (tra le tante foto a nostra disposizione, ce ne sono alcune che lo ritraggono in tenuta da corsa!) e certo se c'è una persona che è l'emblema di come le inclinazioni e gli interessi che nascono nell'infanzia riescono a generare buoni frutti nelle età successive questa è certamente Alan Turing. Da quello che infatti ha raccontato la madre sul suo figlio così geniale e al tempo stesso sfortunato, da bambino Alan, secondogenito di Julius ed Ethel Sara Turing, erafortemente interessato ai numeri in quanto tali e all'invenzione di parole nuove, non presenti nel dizionario. Mostrava anche un certo interesse per la natura, tanto che è emblematico un disegno della madre che lo rappresenta durante una partita di hockey dal titolo esplicativo L'hockey, ovvero Guardar crescere le margherite. E in effetti la mente geniale e poliedrica del giovane Alan, crescendo, prese ad interessarsi proprio di logica, matematica, crittogrammi, macchine e biologia. Forse la scintilla finale del suo motore cerebrale venne posta da Natural wonder that every child should know di Edwin Tenney Brewster, dove biologia, evoluzione e natura vengono spiegate utilizzando il parallelismo della macchina. Forse è in questo modo che si possono sintetizzare tutti gli sforzi di Turing come ricercatore, quel tentativo di capire attraverso rappresentazioni schematiche (e semplici) la realtà, partendo dal cuore stesso dell'uomo, il suo cervello (con le ricerche sull'intelligenza artificiale) fino alle strutture presenti in natura (come le trame sulle pelli degli animali, come vedremo più avanti).
Dopo un primo periodo nelle scuole pubbliche, comunque, anche a causa di alcuni problemi con l'insegnante di matematica, i genitori decisero di mandarlo alla scuola privata di Sherborne e ciò, per molti versi, fu una bella fortuna per Alan: non solo l'ambiente era molto più stimolante, ma è anche qui che Turing conobbe Christipher Morcom, il suo primo vero amico nonché suo primo amore. Rimase, però, il rapporto puramente platonico e ancora allo stato di amicizia, per quanto profonda soprattutto da parte di Alan, a causa della morte prematura di Christopher a causa della tubercolosi. Il lutto lasciò Alan distrutto e gli impedì, soprattutto, di ricevere un probabile rifiuto, lasciandogli, secondo David Leavitt, un'idea piuttosto romantica dell'amore⁽¹¹⁾.
Ad ogni modo, superato il lutto, Alan nel 1931 si iscrive al King's College di Cambridge, scelta sicuramente molto più felice rispetto al Trinity: quest'ultimo, infatti, era un'istituzione non solo moralmente ma anche scientificamente più rigida e tradizionalista rispetto al King, e per un ragazzo che era pronto a mettere in dubbio anche gli assiomi più consolidati fu importante essere arrivato nell'ambiente giusto, anche perché il suo primo lavoro importante, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem⁽¹²⁾, aveva come base e risultato proprio una messa in dubbio di uno dei punti fondamentali del programma tracciato da Hilbert nel 1900: dare alla matematica delle fondamenta solide e certe, o per dirla con Leavitt, trovare un algoritmo che decida la validità di una data formulazione del primo ordine⁽¹¹⁾.
Per capire l'essenza del lavoro di Turing basta leggere l'introduzione, iniziando dalla definizione di numeri computabili, ovvero quei numeri che

(...) possono essere descritti brevemente come i numeri reali le cui espressioni decimali sono calcolabili in modi finiti.

Tutto il lavoro potrebbe essere svolto utilizzando le funzioni computabili, ma utilizzare i numeri computabili avrebbe permesso a Turing di utilizzare la tecnica meno ingombrante.

Secondo la mia definizione, un numero è computabile se i suoi decimali possono essere scritti da una macchina.

La classe dei numeri computabili è molto ampia, ma un po' come le classi di numeri che possiamo definire cercando di affrontare, come Cantor, il problema dell'infinito, non contiene tutti i numeri che siamo in grado di definire. Alcuni numeri infatti, pur se definibili, non sono computabili (fanno comunque parte dei computabili anche numeri trascendenti, come $\pi$, $e$ numero di Nepero, ad esempio). Inoltre questa classe di numeri è anche numerabile, come l'infinito dei numeri naturali, per intenderci. Esaminando alcuni argomenti a supporto e contrari alla numerabilità dei computabili, Turing arriva agli stessi risultati di Godel riguardo il problema della decisione (l'Entscheidungsproblem), ovvero la sua insolubilità: è una di quelle affermazioni che, per dirla alla Godel, è indecidibile.
Poiché anche Alonzo Church raggiunse risultati simili utilizzando l'idea dell'effettiva calcolabilità, ciò che ha grande importanza e interesse nell'articolo di Turing, oltre all'importante conferma di quanto già dimostrato per primo da Godel,. è nella definizione di macchina calcolatrice, nella sua descrizione e nel suo funzionamento, creando di fatto il più incredibile e, dal punto di vista matematico, efficiente esperimento mentale mai realizzato. Turing, infatti, non pensava che una tale macchina potesse essere realmente costruita e probabilmente solo quando iniziò realmente a pensare di costruirla, iniziò il forte interesse verso l'intelligenza artificiale, che ritroviamo ad esempio nei suoi eredi che si occupano di reti neurali.

Torniamo, però, alle nostre macchine computatrici: Turing definisce una serie di macchine, ognuna con compiti specifici. In particolare alla fine della serie di macchine una in particolare, la macchina E, dovrebbe essere in grado di elaborare e risolvere l'Entscheidungsproblem. Il punto è che una macchina tipo la E non può esistere, quindi l'Entscheidungsproblem non può essere risolto!
Importanti, ad ogni modo, in questo lavoro i due concetti, successivamente noti come macchina di Turing e macchina universale: la prima è una macchina calcolatrice ideale in grado di processare un nastro di grandezza infinita seguendo un numero ben definito di regole di base; la seconda è una macchina in grado di simulare il comportamento di qualsiasi tipo di macchina di Turing.
Ovviamente da queste considerazioni e da queste definizioni iniziano le elucubrazioni di Alan intorno all'intelligenza e alla possibilità che una macchina possa mostrare una intelligenza simile a quella umana. Questa ipotesi venne sviluppata e proposta in tre articoli usciti tra il 1948 e il 1951^{(13, 14, 15)}. In particolare nel secondo⁽¹⁴⁾, Computing machinery and intelligence, Turing introduce il gioco dell'imitazione, che verrà successivamente conosciuto come test di Turing

[Il gioco] viene giocato da tre persone, un uomo (A), una donna (B) e l'interrogante (C), che può essere dell'uno o dell'altro sesso. L'interrogante viene chiuso in una stanza, separato dagli altri due. Scopo del gioco per l'interrogante è quello di determinare quale delle altre due persone sia l'uomo e quale la donna. Egli le conosce con le etichette X e Y, e alla fine del gioco darà la soluzione "X è A e Y è B" oppure "X è B e Y è A". L'interrogante può far domande di questo tipo ad A e B: "Vuol dirmi X, per favore, la lunghezza dei propri capelli?" Ora suopponiamo che X sia in effetti A, quindi A deve rispondere. Scopo di A nel gioco è quello di ingannare C e far sì che fornisca un'identificazione errata. La sua risposta potrebbe perciò essere: "I miei capelli sono tagliati à la garçonne, e i più lunghi sono di circa 25 centimetri". Le risposte, in modo che il tono di voce non possa aiutare l'interrogante, dovrebbero essere scritte, o meglio ancora, battute a macchina. La soluzione migliore sarebbe quella di avere una telescrivente che mettesse in comunicazione le due stanze. Oppure le domande e le risposte potrebbero essere ripetute da un intermediario. Scopo del gioco, per il terzo giocatore (B), è quello di aiutare l'interrogante. La migliore strategia per lei è probabilmente quella di dare risposte veritiere. Essa peò anche aggiungere alle sue risposte frasi come "Sono io la donna, non dargli ascolto!", ma ciò non approderà a nulla dato che anche l'uomo può fare affermazioni analoghe. Poniamo ora la domanda: "Che cosa accadrà se una macchina prenderà il posto di A nel gioco?" L'interrogante darà una risposta errata altrettanto spesso di quando il gioco viene giocato tra un uomo e una donna? Queste domande sostituiscono quella originale: "Le macchine possono pensare?"^{(11, 14)}

Al di là di questa formulazione, che è stata negli anni perfezionata nel momento in cui programmi che la soddisfacevano venivano via via prodotti, la parte più interessante sta sicuramente nella sezione delle Learning machines, dove Turing pone, di fatto, le basi per la moderna ricerca sulle reti neurali

Invece di provarea produrre un programma che simuli la mente adulta, perché piuttosto non provare a produrne uno che simuli quella di un bambino?⁽¹⁴⁾

Il concetto alla base di questa domanda è molto semplice: la mente di un bambino è una mente ben disposta a imparare e a crescere e migliorare con l'acquisizione delle informazioni, sviluppando anche una intelligenza. Quindi ha perfettamente senso sviluppare un programma che simuli una mente disposta a imparare sia dalle informazioni ottenute sia dagli errori, che poi sono comunque delle informazioni importanti nell'apprendimento e nello sviluppo dell'intelligenza.
Non solo: poiché un'altra delle caratteristiche della mente del bambino è l'ereditarietà (strettamente parlando alla struttura fisica della mente), si potrebbe immaginare in questa identificazione una sorta di proto-programmazione a oggetti. In questo approccio agli algoritmi, infatti, una proprietà definita a partire di una proprietà madre, ne eredita alcune caratteristiche di base, che comunque possono essere sovrascritte alla bisogna.
Se questa è una linea di ricerca che ancora è lontana (ma non si sa bene quanto) dal fornire i primi importanti frutti, un'altra linea di ricerca, sempre iniziata da Turing, sta producendo negli ultimi anni dei risultati realmente sorprendenti: si sta parlando del famoso articolo di Turing sulla morfogenesi, The Chemical Basis of Morphogenesis⁽²⁾, dove Alan si interessò alla formazione ed allo sviluppo delle trame biologiche che compaiono sulla pelle di alcuni animali, come le strisce delle tigri o delle zebre, i pallini nei leopardi e altre strutture similari.

Any pattern or shape observed in nature, even though governed by genetics, is most likely produced by an unknown mechanism. Thus, determining these mechanisms that generate pattern and shape in organisms is an important goal of theoretical biologists.⁽³⁾

La formula utilizzata per questo genere di sistemi, detti di reazione-diffusione, può essere descritta da questa equazione: \[u_t = d \Delta u + f (\gamma, u)\] che in effetti va raddoppiata, avendo nel nostro sistema la presenza di due morfogeni, le cui dinamiche interne (hanno, ad esempio, velocità di diffusione differenti) determinano le trame che verranno a crearsi.

Reaction-diffusion models are particularly compelling with regard to their ability to capture complex evolving patterns.⁽³⁾

Equazioni come queste sono anche piuttosto complesse da analizzare, a causa dei fenomeni locali e generali contenuti in esse: i primi sono associati al così detto attivatore, i secondi al così detto inibitore. In effetti possiamo vedere lo sviluppo e l'evoluzione delle trame come una sorta di sfida tra il modo di reazione e il modo di diffusione. Nel suo articolo Turing:

suggested that a system of reacting and diffusing chemicals (morphogens) can interact to produce stable patterns in concentration (Turing patterns).⁽³⁾

Possiamo quindi immaginare che l'attivatore inizierà ad autoriprodursi sempre di più, formando però delle trame semplici. La presenza dell'inibitore, però, complicherà le trame prodotte, ma solo leggermente a meno di una interazione tra attivatore e inibitore, generando così le trame osservabili in natura.
Dopo la pubblicazione dell'articolo originale di Turing⁽¹⁾, però, il grande sviluppo e interesse nel suo modello iniziò seriamente a partire dal 1995 quando, su Nature, Kondo e Asai osservarono la presenza delle trame di Turing nel pesce Pomacanthus⁽⁴⁾.
Partendo da un'equazione differenziale che descrive la variazione nel tempo della concentrazione dell'attivatore, i due ricercatori sono stati in grado di riprodurre, con calcoli al computer, la trama presente sulla pelle del Pomacanthus:

Un meccanismo simile è stato osservato anche nei salmoni: in questo caso Miyazawa, Okamoto e Kondo hanno aggiunto al modello anche i colori⁽⁵⁾:

Un altro grande successo del modello di Turing della reazione-diffusione è la spiegazione delle trame sui felini. Ad esempio uno studio del 2011 sulle macchie di leopardo

shows that, in general, detailed aspects of felid's flank patterns have evolved to match visual properties of the environments they inhabit and their behaviour within those environments⁽⁶⁾

E riguardo le trame:

The major advance reported here is the demonstration that evolved traits (pattern, habitat and behavioural) can be linked to a mathematical model of pattern development. We suggest that future comparative studies of animal coloration should also be linked to specific models of development, as these constrain the variety of pattern expressions as well as affording a parametric basis for analysis.⁽⁶⁾

Più recentemente anche uno studio sulle strisce delle tigri si è aggiunto alle verifiche sperimentali della teoria di Turing:

We present direct evidence of an activator-inhibitor system in the generation of the regularly spaced transverse ridges of the palate. We show that new ridges, called rugae, that are marked by stripes of expression of Shh (encoding Sonic hedgehog), appear at two growth zones where the space between previously laid rugae increases. However, inter-rugal growth is not absolutely required: new stripes of Shh expression still appeared when growth was inhibited. Furthermore, when a ruga was excised, new Shh expression appeared not at the cut edge but as bifurcating stripes branching from the neighboring stripe of Shh expression, diagnostic of a Turing-type reaction-diffusion mechanism. Genetic and inhibitor experiments identified fibroblast growth factor (FGF) and Shh as components of an activator-inhibitor pair in this system. These findings demonstrate a reaction-diffusion mechanism that is likely to be widely relevant in vertebrate development.⁽⁷⁾

Il successo delle trame di Turing, però, va ben oltre la morfogenesi nei sistemi biologici: si possono infatti trovare una serie di percorsi e trame di questo genere in molti ecosistemi reali⁽⁸⁾

Ad esempio i banchi di cozze (d):

Regular stripes are found in mussel beds occurring on sediments in the Wadden Sea, the Netherlands. The striped patterns, oriented perpendicular to the tidal flow, are suggested to be the outcome of scaledependent feedback. Mussels facilitate eachother over short range, because conspecifics are the main substrate for attachment on soft-bottom sediment. Competition between mussels occurs for algae, affecting mussel intake and growth, and can occur over long range because water depleted in algal stocks, as a result of the mussels, is carried over the mussel beds by tidal currents.⁽⁸⁾

Trame regolari come queste, però, sono possibili solo se è in azione un feedback negativo a lungo raggio (long-distance negative feedback):

ecological interactions resulting in a net negative feedback between organisms and their environment at a particular distance from the organisms.⁽⁸⁾

Con questi elementi di partenza è possibile ottenere un principio alla base della formazione delle trame negli ecosistemi:

which is that organisms modify their environment, inducing a net negative feedback at a certain distance. The strength of this feedback depends on the density of the organisms.⁽⁸⁾

Anche in molti ecosistemi naturali, alla fine, possiamo trovare l'esistenza di dinamiche simili a quelle presenti tra attivatori e inibitori di cui si scriveva poco fa. In questi casi, ad esempio, come attivatore si può immaginare un agente atmosferico, come il vento, che in effetti catalizza delle interazioni a corto raggio, che spostando gli elementi dell'ecosistema genera delle interazioni a lungo raggio semplicemente accumulando l'elemento che sta spostando, come ad esempio l'acqua o la neve, in alcuni punti particolari⁽⁸⁾. Inoltre:

Ecosystems with regular patterns might be more resilient to disturbance and resistant to global environmental change as compared with homogeneous ecosystems.

Possiamo immaginare queste osservazioni come ovvie se osserviamo l'ambiente con gli occhi del contadino, ma non sono altrettanto ovvie se pensiamo che lo stesso comportamento è osservabile anche in ambienti naturali e non solo umani! Una spiegazione semplice è che gli organismi, concentrando le risorse nel loro ambiente di vita, attivano meccanismi inibitori (il feedback negativo a lungo raggio) e creano anche le condizioni per la loro sopravvivenza. E questo comportamento è nella sostanza comune a tutte le forme di vita sulla Terra. In conclusione:

The potential application and relevance of regular pattern formation for global environmental change, ecosystem adaptation and restoration involves transplanting organisms so that they reach a certain threshold density, to induce short-range facilitation, and arranging them spatially in a way to make optimal use of limiting resources.⁽⁸⁾

Una buona conoscenza di questi meccanismi potrebbe fornirci un modo sostenibile di modificare il nostro ambiente e controllare il cambiamento climatico. Ciò che però è più incredibile è che le trame di Turing potrebbero spiegare anche la nostra propensione alla creazione di trame regolari (nei parchi, nelle città, e così via).
Ma la potenza del modello non finisce qui: infatti questo genere di trame sembrano emergere anche nei sistemi elettrochimici:

The electrochemical Turing structures are predicted to exist in systems with a bistable, S-shaped current-potential curve. In view of possible applications, as well as their relevance for modeling biological processes, the most important electrochemical systems of the S type seem to be those in which a first-order phase transition of an organic adsorbate is coupled with a faradaic reaction of some electroactive species.
As a representative of such systems, we used the periodate reduction on Au(111) electrodes in the presence of camphor.⁽⁹⁾

La canfora è l'attivatore delle dinamiche di Turing.

Camphor adsorbed on Au(111) electrodes exhibits two first-order phase transitions upon variation of the electrode potential⁽⁹⁾

E infine un gruppo di ricercatori che utilizzava la tomografia per studiare la reazione di Belousov-Zhabotinsky in una microemulsione ha scoperto delle trame di Turing tridimensionali⁽¹⁰⁾:

Biological Turing patterns in 3D have not yet been reported, even though there has been considerable effort to find Turing-driven morphological phenomena. With the growing interest in Turing’s theory as a model for morphogenesis and emerging examples of 2D Turing patterns in living systems - for example, disposition of feather buds in chicks and hair follicles in mice - the near future seems likely to unveil evidence of 3D self-regulated patterns in living systems. Candidates include skeletal pattern formation in developing chick limbs and the head regeneration process in Hydra, a species that inspired Turing in developing his groundbreaking theory of morphogenesis. In addition, 3D Turing patterns may be useful vehicles for information storage.⁽¹⁰⁾

Per molti versi questa citazione conclusiva non solo descrive la versatilità della teoria di Turing sulla morfogenesi, ma sintetizza anche la versatilità di Turing come matematico e logico (e che spero sia anche emersa in questo lungo articolo dedicato al centenario di Turing). Alan Turing è stato una delle menti più brillanti del XX secolo, che troppo spesso viene ridotta a ciascuno dei suoi contributi presi separatamente e che solo negli ultimi anni, con l'avvicinarsi del centenario, è stata riscoperta nella sua interezza. In questo senso fa ancora più male il modo in cui la sua intelligenza è stata messa da parte semplicemente perché era omosessuale: spingere un uomo intellettualmente attivo e brillante al suicidio, utilizzando una delle sue suggestioni preferite, la mela avvelenata di Biancaneve è stato probabilmente un modo quantomeno ingeneroso nei confronti di una delle persone che ha più di tutti contribuito alla sconfitta di nazismo e fascismo.
Per cui è con immenso piacere che concludo con un sentito: Buon compleanno, Alan!

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Su Chrome experiments: la simulazione di un fluido con le trame di Turing di Felix Woitzel.
Su Wired: una galleria sulle trame di Turing in natura (e nello spazio!).
Su Nature: Pattern of life di Philip Ball e A life computed di James Poskett.

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Su Alan Turing: Britannica | 100 anni fa nasceva Alan Turing, il matematico che decifrò Enigma di Andrea Carobene | Turing, la mela e il serpente di Roberto Natalini | Uomo stravagante, mente geniale di Annarita Ruberto

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(1) Galileo Galilei. Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632)
(2) Turing, A.M. (1952). The Chemical Basis of Morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 237 (641) 72. DOI: 10.1098/rstb.1952.0012 (pdf)
(3) Julijana Gjorgjieva, Jon Jacobsen. Turing patterns on growing spheres: the exponential case. Discrete and continuous dynamical systems, supplement 2007, pp.436-445
(4) Shigeru Kondo, Rihito Asai (1995). A reaction-diffusion wave on the skin of the marine angelfish Pomacanthus Nature, 376 (6543), 765-768 DOI: 10.1038/376765a0 (ebookbrowser.com)
(5) Seita Miyazawa, Michitoshi Okamoto, Shigeru Kondo (2010). Blending of animal colour patterns by hybridization Nature Communications, 1 (6), 1-6 DOI: 10.1038/ncomms1071
(6) William L. Allen, Innes C. Cuthill, Nicholas E. Scott-Samuel, Roland Baddeley (2011). Why the leopard got its spots: relating pattern development to ecology in felids Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 278 (1710), 1373-1380 DOI: 10.1098/rspb.2010.1734
Leggi anche: The evolution of cat coat patterns | Why the leopard got its spots
(7) Andrew D Economou, Atsushi Ohazama, Thantrira Porntaveetus, Paul T Sharpe, Shigeru Kondo, M Albert Basson, Amel Gritli-Linde, Martyn T Cobourne, Jeremy B A Green (2012). Periodic stripe formation by a Turing mechanism operating at growth zones in the mammalian palate Nature Genetics, 44 (3), 348-351 DOI: 10.1038/ng.1090
Leggi anche: Proving Turing's tiger stripe theory | Scientists prove Turing's tiger stripe theory
(8) Rietkerk, M. & van de Koppel, J. (2008). Regular pattern formation in real ecosystems, Trends in Ecology & Evolution, 23 (3) 175. DOI: 10.1016/j.tree.2007.10.013
(9) Yong-Jun Li, Julia Oslonovitch, Nadia Mazouz, Florian Plenge, Katharina Krischer, Gerhard Ertl (2001). Turing-Type Patterns on Electrode Surfaces Science, 291 (5512), 2395-2398 DOI: 10.1126/science.1057830
(10) Tamás Bánsági Jr., Vladimir K. Vanag, Irving R. Epstein (2011). Tomography of Reaction-Diffusion Microemulsions Reveals Three-Dimensional Turing Patterns Science, 331 (6022), 1309-1312 DOI: 10.1126/science.1200815
(11) David Leavitt. L'uomo che sapeva troppo. Codice edizioni, Torino (2007). Trad. Carolina Sargian
(12) Turing, A.M. (1937). On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, s2-42 (1) 265. DOI: 10.1112/plms/s2-42.1.230 (scan version al Turing Digital Archive)
(13) Turing, A.M. (1948) Intelligent Machinery
(14) Turing, A.M. (1950). Computing Machinery and Intelligence, Mind, LIX (236) 460. DOI: 10.1093/mind/LIX.236.433 (pdf)
(15) Turing, A.M. (1996). Intelligent Machinery, A Heretical Theory*, Philosophia Mathematica, 4 (3) 260. DOI: 10.1093/philmat/4.3.256 (ebookbrowse)