Paralipomeni di Alice: La cena dei figli

E' venuto il momento di fornire la soluzione del rompicapo con cui si conclude A tangled tale di Lewis Carroll e che vi avevo raccontato nella precedente puntata dei Rompicapi di Alice.
Dei tre figli di cui bisogna determinare l'età, sappiamo che uno a 21 anni, visto che è per festeggiare la sua maggiore età che si svolge la cena. Inoltre abbiamo alcune informazioni aggiuntive. Innanzitutto quando questa tradizione delle cene venne inaugurata, l'età di due dei figli era ugale a quella del terzo, quindi qualcosa del tipo

Paralipomeni di Alice: I reduci di Trafalgar

Ed è venuto il momento di vedere la soluzione del primo dei tre rompicapi che compongono il decimo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
Ricapitolando, abbiamo i reduci della battaglia di Trafalgar ognuno con una menomazione: chi l'occhio, chi l'orecchio, chi il braccio, chi la gamba. Carroll ci chiede quale dovrebbe essere la percentuale minima di reduci tornata a casa con tutte e quattro le tipologie di ferite.
Per risolvere il quesito possiamo fare i classici conti della serva, un po' come fa lo stesso Carroll. Iniziamo facendo la somma delle percentuali che il matematico ci fornisce: 310.

Paralipomeni di Alice: Un giardino alla Carroll

Con colpevole ritardo arriva la soluzione del secondo rompicapo presentato nel nono nodo di A tangel tale di Lewis Carroll.
Come più o meno intuibile dall'immagine, il rompicapo prevede di determinare le dimensioni di un giardino costituito interamente da un sentiero che gira su se stesso come una spirale. Il sentiero è largo una iarda ed è lungo due miglia e mezzo furlong, dove il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Con queste ultime informazioni possiamo, quindi, ricavare la lunghezza del sentiero in iarde, ovvero 3630.
Inoltre sappiamo che la differenza tra lunghezza e larghezza del giardino è di appena mezza iarda.
Per risolverlo utilizziamo innanzitutto l'informazione che esso sia costituito quasi esclusivamente dal sentiero, e dunque l'area del sentiero coincide con quella del giardino, ovvero 3630 iarde quadrate. Se poniamo con \(x\) il lato più corto, allora per determinare le dimensioni del giardino basta risolvere la seguente equazione di secondo grado: \(x (x+1/2) = 3630\) Con pochi calcoli (ma in effetti anche senza!) si ricava velocemente che \(x=60\) e dunque i due lati del giardino sono 60 e 60.5.

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L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Paralipomeni di Alice: Gli enigmi di Turandot

Il poster della Turandot - via commons

Visto che è recentemente caduto l'anniversario del centenario della prima messa in opera della Turandot di Giacomo Puccini, ho pensato bene di riportare per un momento la serie dei Paralipomeni di Alice alla sua ispirazione originale, ovvero raccontare di arte e letteratura in qualche modo collegabile alla matematica.
Come raccontato nella recensione di Topolino #3674 la storia di Turandot è quella di una regina cinese che, nella speranza di non torvare marito, pone a tutti i pretendenti una serie di tre indovinelli. E solo chi li risolve tutti può aspirare alla sua mano. I tre indovinelli non hanno una soluzione esattamente matematica o logica, come per esempio gli enigmi della Sfinge, a parte forse il terzo e ultimo, contemporaneamente il più semplice e il più difficile.
Iniziamo dal primo:

Nella cupa notte vola un fantasma iridescente.
Sale e spiega l'ali sulla nera infinita umanità.
Tutto il mondo l'invoca e tutto il mon'implora;
ma il fantasma sparisce con l'aurora,
per rinascere nel cuore
e ogni notte morir.

Paralipomeni di Alice: Una spinta verso l'alto

Il nodo 9, il penultimo, di A tangled tale di Lewis Carroll, presenta tre rompicapi. Di questi, due sono legati alla spinta di Archimede, come abbiamo visto in precedenza. Vale quindi la pena di rivedere un po' cos'è il principio di Archimede.
Questo ci dice che, al netto dei racconti leggendari intorno alla sua scoperta, un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume del liquido spostato. In termini matematici, detta \(S\) la spinta di Archimede, \(V\) il volume del liquido spostato (e quindi anche il volume immerso dell'oggetto), \(\rho_l\) la densità del liquido, la formula per calcolare la spinta è semplicemente \[S = g \rho_l V\] dove \(g\) è l'accelerazione di gravità.
Sulla questione di secchiello piccolo dentro secchiello grande mi sono già espresso nel post del Rompicapo: le procedure portate avanti da Hugh sono, nella migliore delle ipotesi, un po' superficiali.

Paralipomeni di Alice: Un via vai di omnibus

Il secondo rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll raccontava di un omnibus che dalla città va verso la spiaggia. I nostri viaggiatori vengono raggiunti dall'omnibus proveniente dalla spiagga 12 minuti e mezzo dopo essere partiti dalla fermata in città. A quel tumpo la richiesta era quella di determinare dopo quanto tempo sarebbero stati raggiunti dal prossimo omnibus.
Per rispondere innanzitutto dobbiamo avere in mente che questo omnibus è quello che sarebbe partito dalla città 2 minuti e mezzo dopo quel primo incontro, quindi approssimativamente possiamo considerare il tempo di fermata nullo.
Per questo Paralipomeno non voglio, però, proporvi la soluzione di Carroll, ma una soluzione un po' più matematica (nel senso: con più formule!).
Quando omnibus e pedoni si incontrano, sono passati 12.5 minuti e si trovano in un dato punto \(y\) del tragitto, che diciamo sia lungo in totale \(a\). In quel momento, in particolare, all'omnibus servono altri 2.5 minuti per giungere alla fermata in città. Sapendo che le velocità dei pedoni e dell'omnibus si possono scrivere rispettivamente con le seguenti formule

Paralipomeni di Alice: Porcili matematici

Il rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll poteva essere tradotto, in termini un po' più matematici, come segue:

Trovare una serie di 4 numeri tali che il successivo è più vicino al 10 rispetto a quello precedente. Inoltre il primo numero deve essere più vicino al 10 rispetto al quarto. Infine la somma dei quattro numeri deve essere 24.

Se esaminiamo matematicamente il rompicapo scritto in questo modo, abbiamo dal primo vincolo che \[d(n_1) > d(n_2) > d(n_3) > d(n_4)\] dove \(d(n_i)\) è la distanza dell'i-esimo numero da 10.
Messa così ci sono diverse soluzioni. Per esempio 3, 5, 7, 9.

• 5 è più vicino a 10 rispetto a 3: le rispettive distanze sono 5 e 7.
• 7 è più vicino a 10 rispetto a 5: le rispettive distanze sono 3 e 5.
• 9 è più vicino a 10 rispetto a 7: le rispettive distanze sono 1 e 3.
• La somma dei 4 numeri è 24.

Rompicapi di Alice: Il girotondo dei maiali

Dopo il problema culinario di Madd Mathesis della nipote (qui la soluzione), nel nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll ritroviamo i nostri amici approdati sull'isola di Kgovjni. Qui, dopo aver affrontato l'enigma della miglior tessitrice di sciarpe (qui la soluzione), si trovano a dover affrontare un nuovo problema posto da Sua Altezza Radiosa.
Uno dei soldati della guardia è in difficoltà. L'annoiata sovrana, infatti

(...) gli ha ordinato di disporre 24 maiali in quei quattro porcili, in modo tale che, girando per la corte, ella possa sempre possoa trovare che il numero [di maiali] in ogni porcile sia più vicino a dieci di quello precedente.

Riusciranno i nostri eroi a risolvere anche questa volta l'enigma?
Ovviamente provateci anche voi!

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NightCafe

Paralipomeni di Alice: Limonate, panini e biscotti

Nel nodo 7 di A tnagled tale di Lewis Carroll avevamo lasciato Clara e la zia Mad Mathesis, alle prese con un problema di conti quotidiani: determinare il costo di due pranzi all'inglese, costituiti da limonate, panini (immagino i classici sandwitch all'inglese) e biscotti.
I pasti da determinare erano così costituiti:

1. un bicchiere di limonata, un panino e un biscotto
2. 2 bicchieri di limonata, 3 panini e 5 biscotti

I dati di partenza, invece, erano i costi di due pranzi precedenti di cui Clara aveva annotato i costi:

1. una limonata, 3 panini e 7 biscotti, con un costo di 1 scellino e 2 penny
2. una limonata, 4 panini e 10 biscotti, con un costo di 1 scellino e 5 penny

Paralipomeni di Alice: L'Imperial Tessitrice di Sciarpe

Come abbiamo visto nel Rompicapo del nodo 6 tratto da A tangled talke di Lewis Carroll, nel fantastico regno di Kgovjni è in corso la scelta dell'Imperial Tessitore (o, visti i nomi di chi è arrivato alla "finale", Tessitrice) di Sciarpe. La scelta deve ricadere tra tre contendenti, che vengono valutate a partire da velocità di produzione, leggerezza e calore. Poiché non ci sono preferenze su una qualsiasi di queste tre abilità, vanno considerate tutte e tre di pari peso.
Il testo del Rompicapo, in questo, è molto chiaro e quindi permette di valutare al meglio le tessitrici. In particolare ogni abilità è valutata descrivendo delle proporzioni tra due delle tre tessitrici, e questo permette di assegnare il numero 1 alla tessitrice in comune tra le due proporzioni che otteniamo per ciascuna abilità, mentre le altre due saranno identificate da delle frazioni. Per esempio nel caso della velocità di esecuzione avremo Lolo 1, Mimi 2/5 e Zuzu 4/3. Avendo l'accortezza di ricordarsi di ritenere migliori le sciarpe più leggere e più calorose, si opera nello stesso modo anche nel caso delle due successive abilità, ottenendo alla fine Lolo 9, Mimi 10 e Zuzu 5, da cui è evidente che la vincitrice è Mimi!

Il problema delle 20000 sterline

Il rompicapo con cui chiudevo il post dedicato al nodo 6 più che un vero e proprio rompicapo è un piccolo gioco d'arguzia che prescinde dalla matematica. La soluzione, infatti, riprendendo quanto scritto da Carroll nell'appendice, è banalmente:

Quel giorno andarono alla Banca d'Inghilterra. A si pose di fronte a essa, mentre B gitò e si mise dietro.

Paralipomeni di Alice: Il party per l'anno nuovo

La prima cosa che devo confessare è che il Rompicapo natalizio me lo sono fatto generare da Gemini. E la soluzione di quel Rompicapo ci dice tanto su Gemini e le attuali intelligenze artificiali conversazionali. Andando a risolvere, infatti (e se lo avessi fatto prima di pubblicare sarebbe stato meglio), si scopre che quel rompicapo non ha soluzione. Gli indizi del gioco di logica, infatti, sarebbero dovuti essere i seguenti:

• Ognuno ha portato un regalo diverso: una sciarpa, un libro, una tazza e un set di colori.
• Nessuno ha ricevuto il regalo che ha portato.
• La Lepre Marzolina ha portato la sciarpa, ma non ha ricevuto il libro.
• Il Ghiro ha ricevuto la tazza.
• Il Cappellaio ha ricevuto il regalo portato da chi ha ricevuto il set di colori.
• Il Cappellaio Matto ha portato il libro.

In questo modo si vede agilmente, utilizzando il classico schema dei rompicapi logici, che il set di colori lo ha portato il Ghiro (cosa che era possibile determinare anche con l'indizio errato), mentre è il Cappellaio colui che ha ricevuto la sciarpa. Il problema, infatti, era proprio il penultimo indizio.
Innanzitutto, quindi, mi scuso per il rompicapo errato che vi ho proposto: avevo fretta di trovare un gioco divertente a tema natalizio, ma anche carrolliano nello spirito (ma non solo: conto di approfondire la faccenda in una futura puntata dei Rompicapi). Per il futuro cercherò di non affidarmi troppo alle I.A. per la produzione di eventuali giochi e rompicapi originali.
Detto ciò, anche se in ritardo, eccovi ufficialmente un...

Buon anno!

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Immagine d'apertura generata con Gemini e pubblicata su NightCafe

Paralipomeni di Alice: Valutare quadri

Dopo una lunga attesa, arriva finalmente la soluzione del rompicapo del nodo 5 di A tangled tale di Lewis Carroll. La sfida prevedeva valutare dei quadri con una serie di croci e cerchi da assegnare secondo alcuni determinati vincoli.
Seguendo i vincoli, la soluzione per le croci è la seguente (le X tra parentesi sono opzionali):

Allo stesso modo per i cerchi si avrà:

Mettendo le due soluzioni insieme si ottiene quella del problema completo:

Paralipomeni di Alice: Pesare sacchi

Ed è finalmente venuto il momento di svelare il risultato della serie di pesate proposte nel nodo 4 di A tangled tale di Lewis Carroll. Le cinque pesate dei cinque sacchi possono essere riassunte, in termini matematici, con il seguente sistema di equazioni: \[s_1 + s_2 = 12\] \[s_2 + s_3 = 13 + \frac{1}{2}\] \[s_3 + s_4 = 11 + \frac{1}{2}\] \[s_4 + s_5 = 8\] \[s_1 + s_3 + s_5 = 16\] Come per qualsiasi sistema di equazioni, anche per questo si possono utilizzare diversi metodi di risoluzione, anche più di uno contemporaneamente. Ho proceduto come se dovessi ridurre il sistema in forma diagonale, quindi sottraendo prima le prime due equazioni, poi sommando il risultato con la terza, sottraendo quindi alla quarta e infine sommando alla quinta, ottenendo alla fine una relazione tra \(s_1\) e \(s_3\) che ho messo a sistema con la prima equazione ottenuta in questa serie: \[s_1 - s_3 = -1 - \frac{1}{2}\] \[2s_1 + s_3 = 18\] Da qui ho ricavato \(s_3\) e poi tutti gli altri valori, ottenendo: \[s_1 = 5 + \frac{1}{2}, \; s_2 = 6 + \frac{1}{2}, \; s_3 = 7, \; s_4 = 4 + \frac{1}{2}, \; s_5 = 3 + \frac{1}{2}\] ovvero lo stesso risultato di Carroll, ma con un metodo diverso.

Paralipomeni di Alice: Un giro sul treno

via pixels.com rielaborato graficamente con Canva

Dopo un'attesa di un mese, eccoci finalmente a discutere la soluzione del terzo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
La lunga attesa è dovuta a due motivi: per prima cosa voler iniziare a coordinare i Rompicapi tratti dal libro di Carroll con il Carnevale della matematica, nel dettaglio farli uscire prima dell'edizione successiva, mentre le soluzioni solo dopo, dando così tempo a coloro che vengono a conoscenza del rompicapo tramite il Carnevale di poter trovare una soluzione.
Il secondo motivo è strettamente legato al rompicapo in questione: il mio cruccio era trovare una soluzione da fisico. E questo perché la fisica nella soluzione di Carroll non c'è, o se preferite è molto ben nascosta. La sua soluzione, infatti, recita così:

Paralipomeni di Alice: Tutti in salotto!

Proseguiamo con le soluzioni tratte dai racconti matematici che costituiscono A tangled tale di Lewis Carroll. Nel secondo nodo abbiamo incontrato un rompicapo in qualche modo vacanziero: tre amici, infatti, hanno trovato 4 alloggi interessanti che si affacciano su una piazza quadrata. L'idea è scegliere uno di questi 4 alloggi come soggiorno, in particolare quello che li costringe a camminare di meno.
Per procedere con la soluzione mi sono detto: perché non utilizzare i messi moderni, come per esempio geogebra?
Ciò su cui bisogna fare maggiore attenzione è posizionare correttamente le porte, ricordando che queste sono 20 e suddividono il quadrato in 21 parti uguali. Avendo in mente ciò, e ricordando che le stanze visitate sono ai numeri 9, 25, 52 e 73, graficamente avremo una soluzione del tipo:

I paralipomeni di Alice: Ritorno alla locanda

Come promesso alla fine della recensione di A tangled tale di Lewis Carroll, ho iniziato a proporvi nella rubrica dei Rompicapi di Alice i quiz matematici presenti in quella raccolta. Ho iniziato con il primo nodo, proponendo il rompicapo senza alcuna soluzione. Cosa che vi propongo nel post di oggi.
Date le velocità di percorrenza ricavabili dal testo di Carroll relative ai tratti in pianura, \(s_p\), salita, \(s_s\), e discesa, \(s_d\), possiamo scrivere le equazioni che ci permettono di ricavare i tempi di percorrenza: \[t_p = \frac{s_p}{4}, \; t_s = \frac{s_s}{3}, \; t_d = \frac{s_d}{6}\] Il tempo totale, che sappiamo essere di 6 ore, è quindi dato dalla somma dei tre tempi di cui sopra: \[\frac{3 s_p + 4 s_s + 2 s_d}{12}\] Facciamo una prima semplificazione, ricordando che il tempo totale percorso dai due ospiti della locanda è \(s = s_p + s_s + s_d\), e quindi: \[\frac{3s + s_s - s_d}{12} = \frac{3s}{12} = \frac{s}{4}\] dove si ricorda che lo spazio in salita e quello in discesa sono identici e quindi si annullano.
E come detto il tempo di percorrenza è pari a 6 ore, e quindi siamo in grado di calcolare quanto i due turisti hanno percorso: 24 miglia. Che poi è proprio la soluzione indicata da Carroll nella sua rubrica.

Paralipomeni di Alice: MathGPT e il mah-jong

Grazie a un articolo su MaddMaths! relativo alla dimostrazione di Andrew Wiles sull'ultimo teorema di Fermat, ho recentemente scoperto l'interessante Lean, un proof assistant, ovvero una rete neurale specializzata nelle dimostrazioni matematiche. Non è ancora al livello di realizzare da zero una dimostrazione, o almeno così si dice, ma è un utile strumento per verificare i passaggi più ostici delle dimostrazioni. Ho provveduto a installarlo, ma ancora non l'ho provato.
Ho, invece, iniziato a provare alcune reti neurali conversazionali di tipo matematico. In effetti sono un po' più che semplici reti conversazionali, visto che sono in grado di risolvere equazioni, impostare dimostrazioni semplici, realizzare grafici e in alcuni casi, come quello di MathGPT, anche realizzare dei video.

Paralipomeni di Alice: Dissezionare e ricomporre quadrati

Sul 45.mo volume della collana Matematica, Maurizio Codogno propone questo problema:

Come sapete, 81 = 64 + 16 + 1. Quindi la figura formata affiancando tre quadrati di lato 8, 4 e 1, può essere dissezionata e ricomposta sotto forma di un quadrato di lato 9. In quante parti come minimo dobbiamo suddividerla?

Nelle soluzioni, quella specifica a questo problema è tagliata, per cui ho pensato bene di provare a proporre la mia soluzione qui sotto:

I paralipomeni di Alice: Moltiplicare per 11

Giorgio Dendi, enigmista, illusionista e appassionato di matematica ricreativa, è stato uno dei concorrenti della storica trasmissione televisiva Scommettiamo che... Nella puntata alla quale partecipò, scommise di riuscire, in un minuto, a completare lo schema di un cruciverba vuoto. Ovviamente riuscendo nel suo intento.
Da alcuni mesi ho iniziato a seguirlo su YouTube, dove propone interessanti video in cui risolve gli enigmi de La Settimana Enigmistica, rivista con la quale collabora, e degli stimolanti giochi matematici all'interno del TGiochiMatematici, una serie di video aperiodica. Era da un po' che volevo occuparmi dei giochi che propone in questa serie e alla fine ho colto la classica palla al balzo fornita dall'edizione #24 per scriverci su due righe e realizzare contestualmente un video, che troverete alla fine del post.
Il quesito è abbastanza semplice: trovare un metodo per realizzare velocemente le moltiplicazioni per 11 con altri numeri a due cifre e, soprattutto, spiegarlo. Come potete immaginare, non mi sono limitato alle moltiplicazioni di 11 con le sole due cifre. Procediamo.

Paralipomeni di Alice: Le permutazioni della Triennale

L'immagine che vedete qui sopra è una rielaborazione in termini matematici del manifesto che pubblicizza le attività estive della Triennale di Milano. Il manifesto, come si può anche intuire nel banner che si trova in cima alla pagina precedentemente linkata, non è esattamente matematico, ma l'ho reso tale giocando un po' con Gimp.
La domanda è: dopo quante rotazioni l'occhio ritorna nella posizione iniziale esattamente con gli stessi colori di partenza?
La posizione iniziale è quella a destra. Le rotazioni sono in senso orario (quindi dall'occhio di destra di 90° a quello al centro in basso e quindi di altri 90° a quello di sinistra e di altri 90° a un quarto che non ho messo nell'immagine), e le permutazioni dei colori presenti seguono un ordine non troppo difficile da determinare osservando attentamente gli occhi, che però assomigliano anche a delle labbra. Fate voi a cosa vi assomigliano. La risposta alla domanda non è per nulla complicata. Ovviamente ci sono i commenti, che spero di moderarvi in tempo breve, nel caso (considerate che settimana prossima sarò in giro, quindi magari ci potrebbe volere qualche giorno).