Rompicapi di Alice: Giochi di logica

Il Rompicapo che vi avevo proposto nel Natale 2025 (e che, mannaggia a me, ho pubblicato prima di verificare che fosse risolubile) è un tipico gioco di logica deduttiva che viene generalmente risolto utilizzando uno schema particolare in cui si mettono in ordine indizi e indiziati per associarli visivamente. In questo modo dovrebbe essere abbastanza semplice riuscire a trovare errori.
Questo genere di giochi devo dire che li apprezzo e non poco, anche se purtroppo se ne trovano in giro di pochi (ne ho uno installati un paio sul tablet), a meno di non trovarli sulle riviste di enigmistica (e anche lì non è che abbondino).
Non voglio, però, passare il tempo di lettura di questo articoletto a suggerire app o siti per questo genere di giochi, ma andare a raccontare brevemente le loro origini, che vengono generalmente fatte risalire a Lewis Carroll e al suo libro The Game of Logic pubblicato nel 1886.

Paralipomeni di Alice: Racconti intrecciati

Come promesso, ho deciso di scrivere un breve post con tutti link per leggere o rileggere i Rompicapi dedicati a A tangled tale di Lewis Carroll e le loro soluzioni.
A tangled tale, come potrete leggere meglio nella recensione, è un libro costituito dalla raccolta di una serie di dieci racconti usciti su rivista. Al suo interno per ciascun racconto è presente uno o più problemi di matematica ricreativa, le cui soluzioni venivano discusse da Carroll nel numero successivo.
L'elendo l'ho dunque suddiviso per dieci nodi e per ognuno dei nodi trovate i link ai rompicapi e alle loro soluzioni, tutte pubblicate nella rubrica dei Paralipomeni.

nodo 1

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rompicapo -> soluzione

nodo 2

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rompicapo -> soluzione

nodo 3

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rompicapo -> soluzione

nodo 4

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rompicapo -> soluzione

nodo 5

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rompicapo -> soluzione

nodo 6

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rompicapo -> soluzione

nodo 7

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rompicapo -> soluzione

nodo 8

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rompicapo n.1 -> soluzione
rompicapo n.2 -> soluzione

nodo 9

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rompicapi nn. 1 e 3 -> soluzione
rompicapo n.2 -> soluzione

nodo 10

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Il nodo 10 ha la caratteristica di mettere insieme i protagonisti dei nodi precedenti in un unico racconto. Inoltre i tre rompicapi presenti nel testo non li ho proposti nell'ordine in cui si trovano, questo perché del secondo rompicapo ho fornito una soluzione direttamente nel post in cui l'ho presentato, e questo perché è stato lo stesso Carroll a non averla proposta!
Dopo questa doverosa premessa, eccovi l'elendo dell'ultimo trittico di rompicapi con le soluzioni:
rompicapo n. 1 -> soluzione
rompicapo n.3 -> soluzione
rompicapo n.2

Immagine d'apertura generata con Gemini e pubblicata su NightCafe

Paralipomeni di Alice: La cena dei figli

E' venuto il momento di fornire la soluzione del rompicapo con cui si conclude A tangled tale di Lewis Carroll e che vi avevo raccontato nella precedente puntata dei Rompicapi di Alice.
Dei tre figli di cui bisogna determinare l'età, sappiamo che uno a 21 anni, visto che è per festeggiare la sua maggiore età che si svolge la cena. Inoltre abbiamo alcune informazioni aggiuntive. Innanzitutto quando questa tradizione delle cene venne inaugurata, l'età di due dei figli era ugale a quella del terzo, quindi qualcosa del tipo

Rompicapi di Alice: Le età dei figli

Ci siamo quasi. Dopo aver affrontato il rompicapo dei reduci della battaglia di Trafalgar, affrontiamo il secondo dei tre rompicapi che cstituiscono il nodo 10 di A tangled tale. In effetti questo secondo rompicapo è quello conclusivo ed è un classico quesito sulla determinazione dell'età di tre individui.
Le informazioni per arrivare al risultato finale ce le fornisce il padre nel corso della cena (che tra l'altro riunisce tutti i protagonisti dei nove nodi precedenti). Innanzitutto sappiamo che all'inizio, un certo numero di anni prima:

(...) le età di due di voi insieme erano uguali a quella del terzo (...)

Poi alcuni anni più tardi

Le età di due di voi insieme erano il doppio del terzo.

Abbiamo anche due ulteriori informazioni. La prima è:

Il numero di anni che sono trascorsi dalla prima occasione è giusto i due terzi del numero di ghinee che vi diedi.

Nel corso delle riunioni familiari, infatti, il padre assegnava a ciascun figlio tante ghinee quanti erano gli anni di ciascuno.
La seconda informazione era che uno dei tre figli avrebbe raggiunto quell'anno la maggiore età, che a quell'epoca era fissata a 21 anni.
Usando questi soli dati, determinare le età dei tre figli.

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Immagine di apertura generata con Gemini

Paralipomeni di Alice: I reduci di Trafalgar

Ed è venuto il momento di vedere la soluzione del primo dei tre rompicapi che compongono il decimo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
Ricapitolando, abbiamo i reduci della battaglia di Trafalgar ognuno con una menomazione: chi l'occhio, chi l'orecchio, chi il braccio, chi la gamba. Carroll ci chiede quale dovrebbe essere la percentuale minima di reduci tornata a casa con tutte e quattro le tipologie di ferite.
Per risolvere il quesito possiamo fare i classici conti della serva, un po' come fa lo stesso Carroll. Iniziamo facendo la somma delle percentuali che il matematico ci fornisce: 310.

Rompicapi di Alice: La battaglia di Trafalgar

La celebre battaglia di Trafalgar venne combattuta il 21 ottobre del 1805 dalla Royal Navy britannica contro una flotta franco-spagnola al largo del Capo Trafalgar, nell'Oceano Atlantico. A guidare le 27 navi della flotta britannica c'era l'ammiraglio Horatio Nelson, mentre dall'altro lato dello schieramento l'ammiraglio Pierre Charles Silvestre de Villeneuve aveva sotto i suoi ordini 33 navi da guerra.
Alla fine di quella sanguinosa battaglia, che vide anche la morte dello stesso Nelson, che stoicamente fino all'ultimo guidò i suoi uomini, all'oscuro della ferita mortale che aveva subito, la vittoria arrise alla Gran Bretagna. Mentre Nelson divenne un eroe postumo, molti dei suoi eroi ritornarono in patria con vari gradi di invalidità. Ed è proprio intorno ai vari gradi di invalidità dei reduci della battaglia di Trafalgar che ruota uno dei tre rompicapi proposti da Lewis Carroll nel decimo e ultimo nodo di A tangled tale.
In effetti nella finzione narrativa a proporre il rompicapo alla nipote Clara è Madd Mathesis:

Diciamo che il 70% ha perso un occhio, il 75% un orecchio, l'80% un braccio, l'85% una gamba: questo rende perfettamente l'idea. Ora, mia cara, qual è la percentuale minima di persone che ha perso tutti e quattro gli arti?

La soluzione si spera entro un paio di settimane.

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Illustrazione d'artura generata con Gemini

Paralipomeni di Alice: Un giardino alla Carroll

Con colpevole ritardo arriva la soluzione del secondo rompicapo presentato nel nono nodo di A tangel tale di Lewis Carroll.
Come più o meno intuibile dall'immagine, il rompicapo prevede di determinare le dimensioni di un giardino costituito interamente da un sentiero che gira su se stesso come una spirale. Il sentiero è largo una iarda ed è lungo due miglia e mezzo furlong, dove il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Con queste ultime informazioni possiamo, quindi, ricavare la lunghezza del sentiero in iarde, ovvero 3630.
Inoltre sappiamo che la differenza tra lunghezza e larghezza del giardino è di appena mezza iarda.
Per risolverlo utilizziamo innanzitutto l'informazione che esso sia costituito quasi esclusivamente dal sentiero, e dunque l'area del sentiero coincide con quella del giardino, ovvero 3630 iarde quadrate. Se poniamo con \(x\) il lato più corto, allora per determinare le dimensioni del giardino basta risolvere la seguente equazione di secondo grado: \(x (x+1/2) = 3630\) Con pochi calcoli (ma in effetti anche senza!) si ricava velocemente che \(x=60\) e dunque i due lati del giardino sono 60 e 60.5.

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L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Rompicapi di Alice: Il giardino

Dopo la pubblicazione della soluzione del primo e del terzo rompicapo presenti nel nono nodo di A tangled tale di Lewis Carroll è venuto il momento di vedere il rompicapo intermedio che lo scrittore di Alice nel Paese delle Meraviglie ha proposto ai suoi lettori.
Il rompicapo lo troviamo espresso nel seguente scambio di battute tra Balbus e Hugh:

"Un mio amico possiede un giardino... molto grazioso, anche se non molto grande..."
"Quanto è grande?" chiese Hugh.
"È quello che dovete scoprire!" rispose Balbus allegramente. "Ti dico solo che ha una forma oblunga.. appena mezza iarda più lungo della sua larghezza... e che un vialetto di ghiaia, largo una iarda, inizia da un angolo e lo circonda completamente."
"Si ricongiunge a se stesso?" chiese Hugh.
"Non si ricongiunge a se stesso, giovanotto. Poco prima di farlo, gira un angolo e gira di nuovo intorno al giardino, costeggiando la prima parte e poi entrando di nuovo in quella, serpeggiando sempre più all'interno, e ogni giro tocca il precedente, finché non ha occupato tutta l'area."
"Come un serpente con gli angoli?" disse Lambert.
"Esattamente. E se lo percorri per intero, fino all'ultimo centimetro, rimanendo al centro del sentiero, sono esattamente due miglia e mezzo furlong. Ora, mentre tu scopri la lunghezza e la larghezza del giardino, io cercherò di risolvere l'enigma dell'acqua di mare."

Il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Ci si vede prossimamente con la soluzione!

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L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Paralipomeni di Alice: Una spinta verso l'alto

Il nodo 9, il penultimo, di A tangled tale di Lewis Carroll, presenta tre rompicapi. Di questi, due sono legati alla spinta di Archimede, come abbiamo visto in precedenza. Vale quindi la pena di rivedere un po' cos'è il principio di Archimede.
Questo ci dice che, al netto dei racconti leggendari intorno alla sua scoperta, un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume del liquido spostato. In termini matematici, detta \(S\) la spinta di Archimede, \(V\) il volume del liquido spostato (e quindi anche il volume immerso dell'oggetto), \(\rho_l\) la densità del liquido, la formula per calcolare la spinta è semplicemente \[S = g \rho_l V\] dove \(g\) è l'accelerazione di gravità.
Sulla questione di secchiello piccolo dentro secchiello grande mi sono già espresso nel post del Rompicapo: le procedure portate avanti da Hugh sono, nella migliore delle ipotesi, un po' superficiali.

Rompicapi di Alice: Di secchi d'acqua e laghi

Era dal nodo 2 (la soluzione) di A tangled tale di Lewis Carroll che non ci imbattevamo in Balbus e nei suoi compari. E finalmente eccoli tornare nel nodo 9, il penultimo. Siamo quindi in dirittura d'arrivo con questa lunga serie dei Rompicapi e dei Paralipomeni dedicata al libro di puzzle matematici dello scrittore di Alice nel paese delle meraviglie.
Anche in questa occasione, come per il nodo precedente (prima parte e soluzione, seconda parte e soluzione), siamo di fronte a più di un rompicap all'interno dello stesso racconto, nello specifico tre. Visto, però, che due di essi ricadono nello stesso argomento, realizzo un unico post per i primi due e un post successivo per il terzo. D'altra parte rispondere al primo dovrebbe rendere più semplice anche rispondere al secondo.

Paralipomeni di Alice: Un via vai di omnibus

Il secondo rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll raccontava di un omnibus che dalla città va verso la spiaggia. I nostri viaggiatori vengono raggiunti dall'omnibus proveniente dalla spiagga 12 minuti e mezzo dopo essere partiti dalla fermata in città. A quel tumpo la richiesta era quella di determinare dopo quanto tempo sarebbero stati raggiunti dal prossimo omnibus.
Per rispondere innanzitutto dobbiamo avere in mente che questo omnibus è quello che sarebbe partito dalla città 2 minuti e mezzo dopo quel primo incontro, quindi approssimativamente possiamo considerare il tempo di fermata nullo.
Per questo Paralipomeno non voglio, però, proporvi la soluzione di Carroll, ma una soluzione un po' più matematica (nel senso: con più formule!).
Quando omnibus e pedoni si incontrano, sono passati 12.5 minuti e si trovano in un dato punto \(y\) del tragitto, che diciamo sia lungo in totale \(a\). In quel momento, in particolare, all'omnibus servono altri 2.5 minuti per giungere alla fermata in città. Sapendo che le velocità dei pedoni e dell'omnibus si possono scrivere rispettivamente con le seguenti formule

Rompicapi di Alice: Passeggiando verso la spiaggia

Succede, a volte, quando si va nelle località di mare di perdere l'autobus che ci porta alla spiaggia, o viceversa, o in qualche altra amena località nei dintorni. E poi siamo costretti ad attendere un po'. A volte anche un bel po'. Per cui l'idea migliore diventa quella di iniziare a incamminarsi a piedi verso la propria destinazione, cosa che può anche rivelarsi piacevole a seconda del paesaggio o del tempo atmosferico. E qualcosa del genere è avvenuto anche per i protagonisti del nodo 8 di A tangeld tale di Lewis Carroll. In effetti il rompicapoo che segue è il secondo, presente in quel nodo (ho già pubblicato la soluzione del primo), e potrebbe sembrare analogo al rompicapo dei treni del terzo nodo. Andiamo, però, con ordine e vediamo nel dettaglio cosa dice il secondo rompicapo del nodo 8.
A un certo punto i due viaggiatori si trovano nel punto di partenza dell'omnibus diretto verso il mare. Essendo pieno, i due decidono di avviarsi a piedi verso la spiaggia. Dopo esattamente dodici minuti e mezzo incrociano, proveniente dalla direzione opposta, ovvero dal mare, un omnibus. A questo punto la domanda sorge spontanea:

Quando ci raggiungerà il prossimo omnibus?

Ultimo dato: gli omnibus partono ogni quarto d'ora.
Per la soluzione ci vorranno, come nelle altre occasioni, un paio di settimane circa.

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NughtCafe

Paralipomeni di Alice: Porcili matematici

Il rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll poteva essere tradotto, in termini un po' più matematici, come segue:

Trovare una serie di 4 numeri tali che il successivo è più vicino al 10 rispetto a quello precedente. Inoltre il primo numero deve essere più vicino al 10 rispetto al quarto. Infine la somma dei quattro numeri deve essere 24.

Se esaminiamo matematicamente il rompicapo scritto in questo modo, abbiamo dal primo vincolo che \[d(n_1) > d(n_2) > d(n_3) > d(n_4)\] dove \(d(n_i)\) è la distanza dell'i-esimo numero da 10.
Messa così ci sono diverse soluzioni. Per esempio 3, 5, 7, 9.

• 5 è più vicino a 10 rispetto a 3: le rispettive distanze sono 5 e 7.
• 7 è più vicino a 10 rispetto a 5: le rispettive distanze sono 3 e 5.
• 9 è più vicino a 10 rispetto a 7: le rispettive distanze sono 1 e 3.
• La somma dei 4 numeri è 24.

Rompicapi di Alice: Il girotondo dei maiali

Dopo il problema culinario di Madd Mathesis della nipote (qui la soluzione), nel nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll ritroviamo i nostri amici approdati sull'isola di Kgovjni. Qui, dopo aver affrontato l'enigma della miglior tessitrice di sciarpe (qui la soluzione), si trovano a dover affrontare un nuovo problema posto da Sua Altezza Radiosa.
Uno dei soldati della guardia è in difficoltà. L'annoiata sovrana, infatti

(...) gli ha ordinato di disporre 24 maiali in quei quattro porcili, in modo tale che, girando per la corte, ella possa sempre possoa trovare che il numero [di maiali] in ogni porcile sia più vicino a dieci di quello precedente.

Riusciranno i nostri eroi a risolvere anche questa volta l'enigma?
Ovviamente provateci anche voi!

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NightCafe

Paralipomeni di Alice: Limonate, panini e biscotti

Nel nodo 7 di A tnagled tale di Lewis Carroll avevamo lasciato Clara e la zia Mad Mathesis, alle prese con un problema di conti quotidiani: determinare il costo di due pranzi all'inglese, costituiti da limonate, panini (immagino i classici sandwitch all'inglese) e biscotti.
I pasti da determinare erano così costituiti:

1. un bicchiere di limonata, un panino e un biscotto
2. 2 bicchieri di limonata, 3 panini e 5 biscotti

I dati di partenza, invece, erano i costi di due pranzi precedenti di cui Clara aveva annotato i costi:

1. una limonata, 3 panini e 7 biscotti, con un costo di 1 scellino e 2 penny
2. una limonata, 4 panini e 10 biscotti, con un costo di 1 scellino e 5 penny

Rompicapi di Alice: Pranzo all'inglese

Avevamo lasciato Mad Mathesis e la nipote Clara valutare quadri al nodo 5 (la soluzione) di A tnagled tale di Lewis Carroll. E ora le ritroviamo mentre fanno i conti con le spese del pranzo.
Il pranzo all'inglese di cui discutono è costituito in maniera abbastanza semplice da limonate, panini e biscotti. Possiamo immaginare che questi panini siano, in effetti, i tipici sandwich inglesi: due fette di pane bianco, a volte tostato a volte no, con all'interno quel che si preferisce. Non sto qui a raccontare come i sandwich inglesi siano stati importati in Italia diventando dei tramezzini, visto che ci sono diverse versioni, ma mi porto immediatamente nel cuore del problema.
Partiamo da ciò che sappiamo: nel quaderno degli appunti di Madd Mathesis sono segnati i costi i due recenti pasti svolti nel medesimo locale. Questa pratica di appuntare i costi dei pasti è suggerita, in realtà, dalla nipote Clara, che a causa della sua labile memoria, vuole che questi costi vengano appuntati per poi rifondere delle spese la zia.

Paralipomeni di Alice: L'Imperial Tessitrice di Sciarpe

Come abbiamo visto nel Rompicapo del nodo 6 tratto da A tangled talke di Lewis Carroll, nel fantastico regno di Kgovjni è in corso la scelta dell'Imperial Tessitore (o, visti i nomi di chi è arrivato alla "finale", Tessitrice) di Sciarpe. La scelta deve ricadere tra tre contendenti, che vengono valutate a partire da velocità di produzione, leggerezza e calore. Poiché non ci sono preferenze su una qualsiasi di queste tre abilità, vanno considerate tutte e tre di pari peso.
Il testo del Rompicapo, in questo, è molto chiaro e quindi permette di valutare al meglio le tessitrici. In particolare ogni abilità è valutata descrivendo delle proporzioni tra due delle tre tessitrici, e questo permette di assegnare il numero 1 alla tessitrice in comune tra le due proporzioni che otteniamo per ciascuna abilità, mentre le altre due saranno identificate da delle frazioni. Per esempio nel caso della velocità di esecuzione avremo Lolo 1, Mimi 2/5 e Zuzu 4/3. Avendo l'accortezza di ricordarsi di ritenere migliori le sciarpe più leggere e più calorose, si opera nello stesso modo anche nel caso delle due successive abilità, ottenendo alla fine Lolo 9, Mimi 10 e Zuzu 5, da cui è evidente che la vincitrice è Mimi!

Il problema delle 20000 sterline

Il rompicapo con cui chiudevo il post dedicato al nodo 6 più che un vero e proprio rompicapo è un piccolo gioco d'arguzia che prescinde dalla matematica. La soluzione, infatti, riprendendo quanto scritto da Carroll nell'appendice, è banalmente:

Quel giorno andarono alla Banca d'Inghilterra. A si pose di fronte a essa, mentre B gitò e si mise dietro.

Rompicapi di Alice: Una questione di sciarpe

Con il nodo di oggi, il sesto di A tangled tale di Lewis Carroll, inizia la fase di "discesa" nella sequenza dei dieci nodi di cui è composto il libercolo.
In particolare ritroviamo i nostri amici del quarto nodo (qui la soluzione) che, giunti a Kgovjni, vengono coinvolti da Sua Radiosità, il "re" del luogo, nell'annuale competizione per il posto di Imperial Tessitore di Sciarpe. I nostri amici sono, infatti, invitati a giudicare la migliore a produrre sciarpe. Ci sono tre contendenti al posto: Lolo, Mimi e Zuzu.

Lolo fa 5 sciarpe mentre Mimi ne fa 2; ma Zuzu ne fa 4 mentre Lolo ne fa 3! Di nuovo, l'opera di Zuzu è così leggera che 5 delle sue sciarpe non pesano più di una di Lolo; eppure quella di Mimi è ancora più leggera: 5 delle sue ne bilanciano 3 di Zuzu! E per quanto riguarda il calore, una di Mimi equivale a 4 di Zuzu; eppure una di Lolo è calda quanto 3 di Mimi!

Per determinare chi sia la migliore, bisogna dare un peso uguale a rapidità, leggerezza e calore.
Il nodo, però, presenta anche un problema che non è esattamente un problema:

[Un mio amico] e suo fratello andarono [a Londra] un anno fa, con mille sterline ciascuno; e il primo dell'anno avevano sessantamila sterline tra loro!

Il come hanno fatto non sta, esattamente, nel regno della matematica, ma lo scopriremo nel prossimo Paralipomeno!

Paralipomeni di Alice: Valutare quadri

Dopo una lunga attesa, arriva finalmente la soluzione del rompicapo del nodo 5 di A tangled tale di Lewis Carroll. La sfida prevedeva valutare dei quadri con una serie di croci e cerchi da assegnare secondo alcuni determinati vincoli.
Seguendo i vincoli, la soluzione per le croci è la seguente (le X tra parentesi sono opzionali):

Allo stesso modo per i cerchi si avrà:

Mettendo le due soluzioni insieme si ottiene quella del problema completo:

Rompicapi di Alice: Sfida a Burlington House

Dopo la sfida dei treni (qui la soluzione), ritroviamo l'arzilla signora nota come Mad Mathesis e la nipote Clara mentre si dirigono verso Burlington House, uno storico palazzo di Londra eretto intorno al 1664. All'epoca del racconto, tra il 1880 e il 1885, era ospitata tra le sue sale la Royal Academy of Arts, che aveva preso sede lì sin dal 1867. Negli anni successivi altre grandi istituzioni si unirono alla Royal Academy of Arts all'interno di Burlington House: oggi trovano sede lì anche la Geological Society of London, la Linnean Society of London, la Royal Astronomical Society, la Society of Antiquaries of London e la Royal Society of Chemistry.
Le due protagoniste del quinto nodo di A tangled tale di Lewis Carroll, però, erano interessate all'esposizione di quadri della Royal Society of Arts e questo per poter portare a compimento una sfida piuttosto particolare proposta da Madd Mathesis.