Rompicapi di Alice: Il problema del commerciante

Letteralmente sarebbe "merciaio", ma preferisco "commerciante". Originariamente, infatti, il rompicapo era stato chiamato da Henry Dudeney haberdasher's problem. Era stato lo stesso Dudeney a proporlo sulle pagine della sua rubrica, Puzzles and Prizes, il 6 aprile del 1902, per poi fornire una soluzione nel numero del 20 aprile di quello stesso anno.
Il rompicapo è abbastanza semplice da raccontare: trovare un modo per suddividere un triangolo equilatero in modo tale che possa essere successivamente ricomposto per formare un quadrato. Dudeney diede una risposta in 5 sottofigure, ma affermò che tale C. W. McElroy di Manchester aveva trovato una soluzione in quattro pezzi:

Paralipomeni di Alice: Excelsior

Exclesior è noto, nel mondo dei lettori di fumetti di supereroi, come il motto di Stan Lee. La parola, però, non fa parte della lingua inglese, anche se è entrata in uso come sinonimo del migliore dei migliori, ma è latino, e ha come significato più alto, o anche sempre più in alto. E poi c'è una poesia del 1841 di Henry Wadsworth Longfellow, che a sua volta ha ispirato il nome di uno dei più famosi problemi scacchistici della storia, ideato da uno dei più grandi ideatori di rompicapi matematici (almeno secondo Martin Gardner): Sam Loyd.

I rompicapi di Alice: Triangoli rettangoli

Ieri notte sono rimasto sveglio sino alle 4 di mattina sopra questo stuzzicante problema, inviatomi da New York:"trovare tre triangoli rettangoli (di uguale area) con lati espressi da numeri razionali". Ne ho trovati due, i cui lati sono 20, 21, 29; 12, 35, 37; ma non sono riuscito a trovarne tre.⁽²⁾

Questa annotazione è tratta dai diari di Lewis Carroll, datata 19 dicembre 1897. Successivamente pubblicata postuma su Life and Letters nel 1967, è sostanzialmente riducibile alla ricerca di tre terne pitagoriche che rappresentano altrettanti triangoli rettangoli di area uguale.
E' anche interessante notare come Carroll, pur non disponendo di una dimostrazione in grado di poter essere pubblicata su una delle sue rubriche di matematica ricreativa (o che gli permettesse di trovare il terzo triangolo), era convinto che il numero di triangoli rettangoli razionali con area uguale fosse infinito⁽¹⁾.
Carroll, però, non sembra fosse a conoscenza di una particolare osservazione fatta da Pierre de Fermat proprio a proposito dei triangoli rettangoli. Il matematico francese aveva, infatti, trovato una formula che, dati $z$ ipotenusa e $b$, $d$ i cateti di un trinagolo rettangolo razionale, permette di ottenere i lati di un altro triangolo rettangolo razionale con la stessa area⁽¹⁾:

I rompicapi di Alice: Quella sagoma di Arlecchino

- Non sa fare una sottrazione - disse la Regina bianca. - Sei capace di fare una divisione? Dividi una pagnotta con un coltello... che risultato ottieni?
- Suppongo che... - stava per cominciare Alice, ma la Regina rossa rispose per lei. - Pane e burro naturalmente...⁽¹⁾
(Attraverso lo specchio)

Questo passaggio dal secondo romanzo di Alice di Lewis Carroll richiama ai tipici problemi di sezionamento molto diffusi sia nella matematica ricreativa, sia in quella seria. Uno dei più famosi, probabilmente noto già a Carroll, visto che nella sua biblioteca venne ritrovato il libretto The Fashionable Chinese Puzzle, è il tangram, un gioco di sezionamento proveniente dalla tradizione orientale, ideato da tale Tan, forse un saggio forse una divinità. Portato negli Stati Uniti dal capitano Donnaldson, il tangram ottenne il suo primo grande successo grazie al libro The Eighth Book Of Tan, la cui copertina è opera di Sam Loyd, noto divulgatore di giochi e puzzle matematici.

(wiki)

Il tangram è in pratica un quadrato che è stato dissezionato nel modo seguente (5 triangoli, 1 losanga e 1 quadrato):

e partendo da questi è possibile costruire varie altre figure geometriche più o meno regolari. Tra queste ultime si ricordano in particolare il Cappellaio Matto e la Lepre Marzolina realizzate da Henry Dudeney nel suo Amusements in Mathematics

Con i tangram, poi, si possono proporre alcuni piccoli interessanti paradossi di scomparsa (o di apparizione) come ad esempio quello che lo stesso Dudeney ha proposto nel già citato libro:

Queste sono le sagome di due arlecchini che sono esattamente uguali a parte per un dettaglio: uno dei due ha un piede. Ora, entrambe le due figure sono costituite da sette tangrammi. Da dove viene, dunque, il piede del secondo arlecchino?⁽²⁾

E questo è solo uno degli oltre 6500 problemi che sono stati scritti con il tangram. Limitandoci però alle sole figure più o meno regolari, è però possibile determinare il numero di figure geometriche convesse che si possono costruire con i pezzi del tangram. E visto che a trovare il risultato non sono stati due tipi qualunque, ma due ricercatori cinesi, Fu Traing Wang e Chuan-Chih Hsiung, la dimostrazione di quello che possiamo chiamare come il teorema del tangrammo⁽³⁾ è assolutamente formale e non è certo frutto di una serie di tentativi.
La dimostrazione si sviluppa in 4 paginette e parte dal canonico quadrato del tangram questa volta però suddiviso in 16 triangoli rettangoli isosceli. Innanzitutto si stabiliscono le proprietà dei 16 triangoli e dei poligoni convessi che si possono realizzare con essi. Definite infatti le ipotenuse come i lati irrazionali e i cateti lati razionali si può iniziare a costruire la dimostrazione.
Innanzitutto i due ricercatori cinesi stabiliscono che partendo dai 16 triangoli rettangoli isosceli di cui sopra, il poligono convesso costruito sarà tale che almeno un lato razionale di un triangolo non è adiacente a un lato irrazionale di un altro triangolo. Da questo discende un secondo lemma, ovvero che in un poligono convesso costituito dai soliti 16 triangoli i lati saranno costituiti da lati di triangoli dello stesso tipo, ovvero o solo da lati razionali o solo da lati irrazionali e quindi così saranno rispettivamente chiamati i lati del poligono. In generale, poi, i lati razionali e i lati irrazionali di un poligono si alternano.
A questi seguono due nuovi lemmi, anch'essi legati uno all'altro: il primo stabilisce in otto il numero massimo di lati per il poligono convesso che si può costruire con i 16 triangoli isosceli, il secondo stabilisce che il nostro poligono può essere inscritto all'interno di un rettangolo tale che o tutti i lati razionali o tutti i lati irrazionali del poligono appartengono ai lati del rettangolo.
Ed ecco che fatti i calcoli, esaminate le condizioni, distinti i casi, siamo pronti per trovare i 20 poligoni possibili al variare di alcune variabili particolari (la lunghezza dei lati irrazionali e dei lati del rettangolo) e da questi scartare quelli non compatibili con il tangram, ottenendo così i 13 poligoni convessi cercati: